Excerpt
skritulyje |z| , LR, (2) 1-2; (2)1. k=l k=l tai funkcija /(z) ir yra ieškomoji meromorfinė funkcija. Vienareikšmės srityje G funkcijos, kurios kiekviename šios srities taške arba yra analizinės, arba turi polių, yra vadinamos meromorfi- nėmis srityje G. …
Excerpt
IX S K Y R 1 U S ANALIZINIS PRATĘSIMAS. DAUGIAREIKŠMĖS ANALIZINĖS FUNKCIJOS $ 62. Analizinio pratęsimo sąvokos aiškinimas - Sakykime, kokioje nors srityje G, yra duota vienareikšmė analizinė funkcija! 74 (z), ir sritis G, (G, £Gą) turi bendrų taškų su …
Excerpt
62 brėž. $ 63. Analizinio tęsinio apibrėžimas. Pilna analizinė funkcija Tiesioginio analizinio tęsinio apibrėžimas. Vienareikšmė. analizinė srityje G, funkcija fi z) yra vadinama vienareikšmės analizinės srityje Gą funkcijos f. (2) tiesioginiu analiziniu …
Excerpt
S y i NS NY J G, 2 63 brėž. Analizinio tęsinio duotai analizinei funkcijai sudarymą vadinsime duotosios funkcijos analiziniu pratęsimu. Sritis G,, apie kurią kalbama analizinio tęsinio apibrėžime, gali tu- rėti bendrų taškų su pradine sritimi G,. Tuose …
Excerpt
tyje G, o funkcija f* (z) — meromorfinė srityje G*. Pašalinsime iš srities G tuos taškus, kuriuose funkcija f(z) turi polius, o iš srities G* — tuos taškus, kuriuose /* (z) turi polius. Likusiose srityse, kurias žymėsime atitinkamai G ir G*, funkcijos …
Excerpt
Iš tiesioginio analizinio tęsinio apibrėžimo išplaukia, kad egzistuo- ja sritis g,, kuri yra piūvio G, , N G, dalis ir kurioje Jt 1 (z)=/š (=) (k= 1, 2,..., nm). Srityse g4, ..., g, laisvai pasirinkime po tašką a, (a, €gy). Taškai a, ir a,,; priklauso tai …
Excerpt
Iš skritulių K,„ir funkcijų S,„(z) sudarymo būdo gauname, kad funk- cijos F(z) elementų sistemoje 160 Jo(z)), 4 Ks S.(2)Js < (Km Sm(Z)) gretimi elementai yra tiesioginiai vienas kito tęsiniai. Be to, kaip matėme, …
Excerpt
65 brėž. Skaitydami, kad z plokštumos sritis G ir apskritimo lankas (arba tie- sės atkarpa) y tenkina nurodytas sąlygas, įrodysime teoremą, vadinamą simetrijos principu. Teorema. Sakykime, kokio nors apskritimo lankas arba tiesės atkar- pa y sudaro …
Excerpt
Tarkime, kad 7, — bet koks srities G* taškas. Funkcijos f(z) me- romorfinės srityje G skleidimo Lorano eilute taško Zz, …
Excerpt
ir D, su bendra kraštine / (87 brėž.). | F(z)dz= f F(z)dz=0, nes D, D, F(z) - analizinė tų daugiakampių viduje ir tolydinė jų kontūrų taškuose (Fedz= | F)dz+ | F()az=0. A D, D, Vadinasi, remiantis Morero teorema, funkcija F(z) yra vienareikšmė ir …
Excerpt
Pažymėkime sritį, gaunamą iš visos kompleksinės plokštumos „iš- metant“ neigiamą realiosios ašies dalį (su nuliniu tašku), G,, o sritį, gau- namą „išmetant“ iš kompleksinės plokštumos teigiamą realiosios ašies dalį, — G,. Funkcija 2 KO= LV (2) (x yra lygi …
Excerpt
Pažymėkime G, ir G, sritis, apibrėžtas 1 pavyzdyje. Srityje G, funkcija fa. (z)=1n z=In |z |+arg z (5) yra vienareikšmė ir analizinė. Srityje G, funkcijos A(z)=1n|z|+i40, | (6) f-,(2)=1In|z|+ixC0, Čia 0 yra Arg z reikšmė iš intervalo (0, 27), o «D — Arg z …
Excerpt
Sakykime, F(z) — daugiareikšmė pilna analizinė funkcija. Jeigu, analiziškai pratęsdami išilgai bet kokio pakankamai mažo apskritimo y su centru taške z, kokią nors funkcijos F (z) vienareikšmę šaką /(z), grįž- tame prie pradinio taško z, (z, sy) ir gautas …
Excerpt
ju, kai yra be galo daug nelygių nuliui koeficientų c, su neigiamais indek- sais m, taškas z4 yra transcendentinis išsišakojimo taškas. Paprasčiausiu atveju, kai z;=0, c;=1, o visi kiti c,=0 (11), gau- | k name F(z)= |/ = su algebriniu išsišakojimo tašku …
Excerpt
88 brėž. vienoje vaizduojame taškus z=re'9, kai (4k—1)z …
Excerpt
90 brėž. Norėdami panašiu būdu sudaryti Rymano paviršių funkcijai w= =Ln z, galėtume imti be galo daug kompleksinių plokštumų, sudėtų vie- na ant kitos, perpiautų išilgai neigiamos realiosios ašies dalies ir sukli- juotų taip, kad kiekvienos plokštumos …
Excerpt
X S K Y R 1 U s KONFORMINIS ATVAIZDAVIMAS $ 69. Vaizdavimas analizinėmis funkcijomis Sakykime, funkcija w=/(z) yra apibrėžta kompleksinės plokštumos („„z plokštumos“) srityje G. Kiekvienam taškui z ) susikirtimo taške w4=/ (z9). Įsitikinkime, kad …
Excerpt
Konstantos c, argumentas yra pastovus, todėl A; Arg €1= 0, taigi, Apu) Arg (w—w4)=n- A; Arg(z—2,) + + A; Arg [+ 22 (Z—2Z)-1--. a) (2) [4 Kadangi A; Arg (z—z,) yra lygus kampui tarp kreivių y; ir y, kirstinių, tai lim A; Arg (z— z,), kai z, ir z, artėja į …
Excerpt
Pastaba. Teoremos teiginys lieka teisingas ir tuomet, kai funkcija f(z) taške z, turi k-tos eilės polių. Iš tikrųjų, tuo atveju galima taikyti įrodytą teoremą funkcijai E=g (z)=[f(z)] ?, kuri taške z, turi k-tos eilės nulį. Po to, pakeitimu w= —, gauname …
Excerpt
Jeigu funkcija /(z) yra vienalapė srityje G, tai f“ (z)*0 srityje G, taigi, atvaizdavimas w=/(z) yra konforminis srityje G. Iš tikrųjų, remiantis $ 69 pirma teorema, jei f“ (z4)=0, z4 €G, tai bet kokioje pakankami mažo- je taško z, aplinkoje atsiras ne …
Excerpt
nuo tam tikro numerio, z„£U. Todėl taškai w,=/ (z„) nepriklauso skritu- liui |w—w4| p ir lim f(z,)žw). Taigi, neegzistuoja tokia seka (z,|, z,—> 00, kuriai lim f (z,)= wo, todėl pagal Sochockio teore- mą ($ 54) be galo nutolęs taškas negali būti esminiu …
Excerpt
w iš pakankamai mažos taško Ww; ( Wo=f (eo) aplinkos ($ 69, 1 teorema), t.y. lim/z=zų, kur zS75(0)Y Funkcija z=/7! (w) yra meromorfinė srityje G. Iš tikrųjų, 7“ (z) £0 visoje srityje G, išskyrus, gal būt, vieną tašką z,, kuriame f(z) gali turėti polių, ir …
Excerpt
atvaizduoja skritulį |C| …
Excerpt
bet kokiam |z| < R. Nuliniame taške (1) nelygybę patikriname tiesiog įstatydami vietoj z nulį. (2) nelygybę gauname iš (4) nelygybės, pastebėję, kad z—0 2 z—> 0 Jeigu kokiame nors taške z4, O Ei AVA J0= > B= Jeigu Pin „M tai funkcija |o (z) | įgyja …
Excerpt
bus vienalapė ($$ 70, 71) skritulyje | w | …
Excerpt
$ 73. Konforminio atvaizdavimo egzistavimas Nagrinėdami konforminį vaizdavimą iki šiol nelietėme klausimo, ar visuomet galima surasti vienalapę funkciją, kuri vieną duotą sritį konfor- miškai atvaizduotų į kitą duotą sritį. Pasirodo, kad labai plačiai …
Excerpt
atvaizduoja y į d, tai, apeinant taškui z vieną kartą kontūrą y, taškas w=/ (=) apeis vieną kartą kontūrą 0. Vadinasi, 1 į , N=5- A,Arg[/f(z)—wl= 5> A5 Arg(w—w)= *1, jei w, yra kontūro y viduje D, ir N=0, jei w, yra kontūro 6 išorėje. Funk- cijos f(z) — …
Excerpt
2 teorema. Sakykime, vienkartsusijusios sritys G ir D yra apribotos uždaromis išplės- tinės plokštumos Žordano kreivėmis y ir Š. Tuomet vienalapė funkcija, konformiškai at- vaizduojanti G į D, yra tolydinė (plačiąja prasme) aibėje G ir atvaizduoja abipus …
Excerpt
91 brėž. ir išveskime apskritimo |1—z|= ę lanką y, viršutinėje pusplokštumėje nuo taško z, iki realiosios ašies dalies, esančios tarp O ir 1 (91 brėž.). Funkcijos w=/ (z) reikšmę taške z, skaičiuosime, integruodami (1) integralą nuo 0 iki I —pišilgai …
Excerpt
Kai z juda realiąja ašimi nuo O iki 1, pointegrinė funkcija f“ (z) įgyja teigiamas reikšmes ir funkcija f(z) monotoniškai didėja nuo O iki skai- čiaus K: 1 dt Aaa MOEDAS Eijų a Taigi, z plokštumos realiosios ašies intervalo (0, 1) vaizdas yra w plokštu- …