Excerpt
$ 3. Kompleksinių skaičių sudėtis, daugyba, atimtis ir dalyba Dviejų kompleksinių skaičių z,=x,+iy, ir z;=x5+iy> suma apibrė- žiama lygybe A +z=6 x )+i GO V), 0) o sandauga — lygybe Zi Za= (MX — V) Li (AV + X5 JI). (3) Iš pateiktojo apibrėžimo matyti, …
Excerpt
(trikampio kraštinės ilgis negali: būti didesnis už kitų dviejų kraštinių il- gių sumą). Įsidėmėtina, kad lygybės ženklas (4) priklausomybėje galioja tada ir tik tada, kai vektoriai z, ir z, lygiagretūs ir nukreipti viena kryp- timi, t.y., kai arg Zz, …
Excerpt
vektoriaus z=z,—z; pradžia yra taške z,, o galas — taške z,. To vekto- riaus ilgis | z, —z, | reiškia atstumą tarp taškų z, ir z,. Šia paprasta išvada toliau dažnai naudosimės, todėl dar pastebėsime, kad ji išplaukia tiesiog iš to, kad kompleksinio …
Excerpt
Zr Z | | | | | epas | | 5 brėž. | | Išnagrinėję šį rezultatą, matome, kad formaliai jį galima gauti, trupmenos x,+iy; X,-+-iys skaitiklį ir vardiklį padauginus iš x;—iy; ir po to skaitiklio komponentes padalijus iš vardiklyje gautos sandaugos (x;+iy> ) …
Excerpt
Pastebėsime, kad aplamai, dauginant iš skaičiaus cos 9 +isino, kurio modulis lygus 1, dauginamasis vektorius tik pasukamas kampu 9. Dalydami kompleksinius skaičius, išreikštus trigonometrine forma, gauname Žž (cos (9, —95) + sin (g) — 25) Ė 2 2 Vadinasi, …
Excerpt
Jeigu z=r (cosą+isinę), w=p (cos O+-i sin O), tai o" (cos n0+i sin 0)=r (cos p + sin 9). Iš čia p"=r, n0=p4+2/7=7,+2k 7 (g; — pagrindinė argumento p reikšmė, Ilir k — bet kurie sveikieji skaičiai). Vadinasi, n = 2ki ;= Vr, 0- 412 n (simboliu |/ žymėsime …
Excerpt
| | Ž L] / 2 S | l 6 i W l (7 | | ni | | 0 2 | (Z) | | o | "są "ALli | E i | 6 brėž. | 4 Pavyzdys. Rasime visas y-4 reikšmes: 4 4 VZ4=| 4(cos (z+2kx) +isin (r+2k7)) = = 1+2kT 7 212 (cos 5 KE pigią EE, 4 4 4 Imdami k=0, 1, 2, 3, gauname V3 (eo TE sisin Z)- …
Excerpt
2 Tuo atveju, kai seka (z,; turi ribą zų, sakome, kad ši seka konverguoja, ir rašome šitaip: lim Z„= Zo: Skritulį, kurio centras sutampa su tašku Zą, O spindulys lygus p, vadi- name taško z, aplinka su spinduliu p. Pastebėsime, kad taškas z priklauso …
Excerpt
Kadangi lim z,=z,, tai bet kurį => 0 atitinka toks numeris N, kad, imant > N, galioja nelygybė |z,—z,| < N, turime nelygybę V G.—x)*+0,—7.)ž nes — ia = 7 E Todėl, imdami minėtas 7 reikšmes, turėsime IZ, —Zą | = V Cx) 0; …
Excerpt
Veiksmus su begalybe atliekame, laikydamiesi šitokių taisyklių: 1. Jei z — bet kuris baigtinis kompleksinis skaičius, tai 00 Z „iz=0, zZž0O=0, — =O, = 0. o 7 2. Jei z — bet kuris kompleksinis skaičius (atskiru atveju z gali būti c0), bet z R. Imkime …
Excerpt
vienas sferos taškas, kurį, kaip ir atitinkamą plokštumos tašką, vadinsi- me tašku z. Jei plokštumos taškų seka Zis Zauiuks Las aaa konverguoja prie baigtinio taško z,, tai atitinkama sferos taškų seka, aišku, irgi konverguoja prie sferos taško z4 (t.y. …
Excerpt
(2) 9 brėž. Pastebėsime, kad pirmajame pavyzdyje sankaupos taškas 1 yra kartu ir tos aibės taškas. Antrajame pavyzdyje aibės sankaupos taškas 1 nepri- klauso tai aibei. Vadinasi, pats sankaupos taškas gali priklausyti aibei, bet gali jai ir nepriklausyti. …
Excerpt
1 (2) R 10 brėž. Tarkime, kad pasirinkome kvadratą O,. Jį savo ruožtu padalykime į keturis lygius kvadratus ir iš gautųjų Eu vėl pasirinkime tokį kvad- ratą O,, kuriame yra be galo daug aibės Z taškų. Tęsdami šį procesą neribotai, gauname begalinę seką …
Excerpt
Kvadratą O, kurio viduje yra visi aibės £ taškai, padalijame į keturis lygius kvadratus. Aibės < taškus, esančius dviejų kvadratų bendrojoje kraštinėje, priskiriame vienam iš tų kvadratų. Bent viename iš keturių gautųjų kvadratų yra tokia aibės £ dalis, …
Excerpt
Teorema. Jei dvi uždaros aibės £ ir V neturi bendrų taškų ir bent vie- na iš jų (sakysime, £) yra aprėžta, tai o (Z, 0) nelygus nuliui. Įrodymas. Imkime bet kurį aibės Z£ tašką z. Kadangi z nepriklauso uždarai aibei 7, tai, kaip įrodyta aukščiau, p (z, …
Excerpt
L2=A/4 12 brėž. 13 brėž. 14 brėž. 15 brėž. …
Excerpt
t kinta nuo « iki 6, taškas z, judėdamas plokštumoje, brėžia folydinę kreivę. Sistema | x=x (1), y=y (1) vadinama tos kreivės parametrinėmis lygtimis. Pastebėsime, kad šią sis- temą galima pakeisti viena lygtimi z=x(1)+iy(1)=A(+). Čia z yra parametro t …
Excerpt
Imame kreivės L taškų seką Ziž za P aA konverguojančią prie Č. Šią seką atitinka parametro / reikšmių seka Eikas aibašė Pastaroji seka gali neturėti ribos. Kadangi ji yra aprėžta …
Excerpt
2. Aibė 3 2. i Ž = turi vienintelį sankaupos tašką 1, kuris šiai n aibei nepriskirtas. Tačiau ji nėra atvira aibė, nes ji iš viso neturi vidinių taškų: kiekvieno šios aibės taško aplinkoje yra taškų, nepriklausančių aibei. Jei atviros aibės bet kuriuos du …
Excerpt
0 AL (Z) 17 brėž. Paprasčiausios sritys gaunamos, naudojant vadinamąją Žordano te- oremą: Kiekviena uždara Žordano kreivė x plokštumą dalija į dvi sritis, kurioms ji yra bendras kontūras. Viena iš tų sričių yra aprėžia (neturi taško co) ir vadinama …
Excerpt
3. Raskite visas šių šaknų reikšmes: 4 6 Klasei 3 a) VI; 6) VSB; O) V2+2: V3; O) VO 4. Duotos trys lygiagretainio viršūnės z,, z> ir z4. Raskite ketvirtąją viršūnę. 5. Trikampio viršūnės yra taškai z,, z; ir z,. Raskite pusiaukraštinių susikirtimo tašką. …
Excerpt
| | Ss K Y R I U s KOMPLEKSINIO KINTAMOJO FUNKCIJA. IšVESTINĖ $ 10. Kompleksinio kintamojo funkcija Imkime kompleksinių skaičių aibę …
Excerpt
TH) 18 brėž. Aibės 9 tašką w4=/(z)) vadiname taško z; vaizdu ir sakome, kad funkcija w=/(z) aibės Z tašką Z4 EV duojo į tašką w, (18 brėž.). Vadinasi, funkcijos w=/ (z) apibrėžimas aibėje £ yra tos žibės atvaizda- vimas į w plokštumos taškų aibę 97. …
Excerpt
L/] Zo w-z2 2 arg Z, | Eli L] (2) 0 (W) 4) | Ž W=z2 Ww | 2 J argzZ Bitės | NL LLAR) A ZA07 AI) | | + Z Va J z i L 20 i | | UL | XIII) Žo 1 M | | J 15 A Ė | | se W=r W Kupa 774 19 brėž. 20 brėž. 21 brėž. 22 brėž. 3. V. Kabaila, P. Rumšas …
Excerpt
0 (2150 (0) 0 (Ww) 23 brėž. Tačiau, jei šią funkciją nagrinėsime tik pirmajame ketvirtyje Z (o …
Excerpt
w=Zz-z2 Z L AL) ns W 2 24 brėž. L, L> =/eit i si Zi Ixį Z=tei (1 -— | 2 0 1 (Z) aa) 1 (w) 25 brėž. Funkcija w=z? minėtas pustieses atvaizduoja į kreives L, ir L,, einančias per tašką w=(1+1)2=2i (25 brėž.). Kreivių L, ir L; lygtys yra w=1—124-2it ir …
Excerpt
Dabar imkime dvi funkcijas f(z) ir g (=), apibrėžtas aibėje Z, kuri turi (baigtinį ar begalinį) sankaupos tašką z,. Jei lim f(z)= A, lim g (z)=B, tai galima įsitikinti, jog li (/0+5(0)=14+8, Lim ("0-5 )=48. be to, kai BZ0, d ans dk Ag Iki šiol, kalbėdami …
Excerpt
w-f/2) Isklų |Z-Z4 0 (Z) 0 (w) 26 brėž. Imkime dvi funkcijas f(z) ir g (z), tolydines taške z,. Kadangi tokiu atveju lim /(=)=/ (20) lim g (2)=s (20) tai lm (/(-)+8(-))=/(e)+e(z0); Iim( f(2)-8 (2))=/ (en)-8 (o) Z—> Zo Jei, be to, g (z4)£0, tai ir dos EL E …
Excerpt
o tokiu atveju, kaip minėjome, galioja nelygybė |/(z)-/(z,) | < …
Excerpt
2. Bet kurls polinomas p (z)=a,2"4+-0;27—14+- ... +-0n, būdamas tolydinių funk- cijų suma, yra funkcija, tolydinė visoje baigtinėje z plokštumoje. 3. Racionalinė funkcija "(= a„zi+a,zt715...kūp B, z1b,Z- 1 Tbm kaip dviejų tolydinių funkcijų santykis, yra …