Excerpt
236 Matricos ir vektoriai [V sk. kur tu = Andis = An Bt Aps Cap = lp Bars 5 Cją = Ojų Dys 3 ri Ppžik T Taj Pigs 5 > — 12712 (> R). Iš pastarųjų lygybių matyti, kad trikampių matricų daugyba nėra komutatyvi. Trikampės matricos, kurių bent vienas …
Excerpt
| L Aniauiindia Ai $ 24] Kuadratinių matricų algebra 237 Pilnosios matricų algebros vienetinis elementas E ir nulinis ele- mentas O yra taip pat diagonalinės matricos. Iš diagonalinių matricų daugybos formulės matyti, kad 4, B,= B, A;, Ž t. y. …
Excerpt
238 Matricos ir vektoriai [V sk. Iš nustatyto izomorfizmo ir kilo skaliarinių matricų pavadinimas. Skaliarinių matricų analogija su skaliarais pasidarys dar ryškesnė, jei mes paimsime bet kokių matricų A ir B sandaugas iš skaliarinės matricos / E: …
Excerpt
. į $ 24] Kvadratinių matricų algebra 239 3 Kitą algebrą su dalyba galime nurodyti ketvirtos eilės matricų “tarpe. | 'Imame ketvirtos eilės matricas | a) ai 05 a3 ž 404) Ša = (2 4 = 43 a; i K 3 — 65 23 G — 4 UN TC, 4 89 kurių elementai a45, -- aą;, Sie …
Excerpt
240 Matricos ir vektoriai [V sk. aibių elementus. Kadangi kvaternionai, kurių koordinatės yra tikrieji skaičiai, sudaro nekomutatyvinę algebrą su dalyba, tai ir ketvirtos eilės matricų aibė M „ sudaro nekomutatyvinę algebrą su dalyba. Ši aibė yra …
Excerpt
or A“: VI SKYRIUS TIESINIŲ LYGČIŲ SISTEMOS S 25. Tiesinių lygčių sistemos Matricų ir vektorių teorija taikoma tiesinių lygčių sistemoms spręsti. Jau determinantų skyriuje sprendėme tiesinių lygčių sistemų atskirą atvejį, kai lygčių skaičius buvo lygus …
Excerpt
242 Tiesinių lygčių sistenios [VI sk. vadinti sistemos matrica. Be matricos A, sistemoms nagrinėti naudo- sime dar kitą matricą gautą iš A, praplčius ją kolona, sudaryta iš sistemos (1) laisvųjų narių. Ta matrica yra Gi Cr Lip Cą np 653 Un Cą k d (3) Lai …
Excerpt
£ 25] Tiesinių lygčių sistemos į 243 kur [Ė'] yra matricos-eilutės [g] transponuota matrica (matrica-kolo- na). Išplėstoj formoj ši matricinė lygtis turės pavidalą N a r Gia MAP ST r sie Gi Gia Gin Ei Ci C> ) Gpp > Ūns Xa C5 - 1 2 = . > Ani aa in X [2 " …
Excerpt
244 Tiesinių lygčių sistemos V [VI sk. Antroji dalis. Leiskime, kad matricų A ir A, rangai sutampa ir yra lygūs 7. Tada matricoje A yra 7 tiesiniai nepriklausomų kolo- nos vektorių, kuriais visi kiti kolonų vektoriai tiesiniai išsireiškia. Aišku, kad tie …
Excerpt
: š 25] Tiesinių lygčių sistemos 245 į Pertvarkę (jei reikia) sistemą (1) taip, kaip aukščiau nurodyta, | sistemos matricos š š E „2 ž i E 2 Tin As, Ū55 Ga, (8 Ake i A A Gp o Gr 1 4 Ari Am mr mn viršutiniame kairiame kampe esantis 7-tos eilės minoras, …
Excerpt
| 246 Tiesinių lygčių sistemos | [VI sk. kur 4=1,2, ---, r. Skaitiklio determinantas gaunamas iš determi- nanto A, pakeitus jo k-tą koloną aj;;> 255, > > > , G, Sistemos (7) deši- nėje pusėje stovinčiais, „laisvaisiais“ nariais. Toliau skirsime du …
Excerpt
$ 16] Kramerio taisyklė 147 Pavyzdžiui, sudauginę 4-tos eilės determinanto |4(9| ketvirtos eilutės ele- mentus su antros eilutės adjunktais ir sudėję, turėsime Andy A- a5A5s + 045455 + a As, = Un G3 Ū14 Ci Cis Ūią =—=Gu| G> Ga 24 | -G> | Gi Gap G | > 212 …
Excerpt
148 Determinantai (IV sk. X X 7, X, vietoje, visas sistemos (21) lygtis paversime tapatybė- mis. Tokią reikšmių b,, B, -- -, 6, visumą vadinsime sistemos (21) sprendinių. Jeigu sistemos determinantas |4|=0Ū, tai sistema arba yra nesu- derinta (visai …
Excerpt
$ 16) Kramerio taisyklė 149 Analogiškai rasime ir kitų nežinomųjų reikšmes. Norėdami rasti k-tą nežinomąjį, dauginame sistemos (21) lygtis atitinkamai iš A,,> A5p, > > > , A,„ ir sudedame: A ož aAj,-- X; . ap App O Ž a Aj, 52 j=1 7=1 Rokas 2 aj Aj) = 3 ej …
Excerpt
150 Determinantai [IV sk. Sistema (23) yra gauta iš sistemos (21) tik algebriniais perdirbi- mais, todėl kiekvienas jos sprendinys yra kartu ir sistemos (23) sprendinys. . Kad formulių (23) reikšmė tikrai patenkina lygtis (21), galima betarpiai …
Excerpt
$ 16] Kramerio taisyklė 151 Prisiminę, kad |4,|= 2 C App 1=1 TIT) Žan(ža4)|-o: Arskliautę skliaustus, išplėtę Z, sugrupavę narius su vienodais Cc; Ir iškėlę tuos daugiklius prieš skliaustus, panašiai kaip tai darėme tik- rindami pirmąją lygtį, turėsime va …
Excerpt
152 Determinantai [IV sk. Norėdami šio determinanto skaičiavimą suvesti į trečios eilės determinantų skaičiavimą, pridedame trečios kolonos elementus prie visų kitų kolonų atitin- kamų elementų. Gautą determinantą išdėstome paskutinės kolonos elementų …
Excerpt
"- $ 16] Kramerio taisyklė 153 2-0 kė 467 i a [-1 -2 —7 ŽAS, 4 lė 4 4 4 5 Į) 2 2 2|= GO 106 : 3 2221 as = L LE Os 1 = —65, OL 7) 99 17 UL 2 3N 9 G KA 41515 , 2 Tais rss |TTŲ al 02010 E P 739 1 4 5 LBS 52 = = — NES 1 = — 21 51 a 3 5 A "ua Dėl : 2 —2 LAZ a …
Excerpt
+. 154 "Determinantai [IV sk. Išskaičiuojame šios sistemos determinantą: As 08 AE 110 1 o a t 0 a“ .109 53770 I [šo 516 4 || U 64 1 |= S 21 464540 DSA 4 60 31 nė B D B 823 Ai a 101 sioki D no 830 244 S as Mora A S Ž £3 E 4—6 A 446 10 ME, I5--—3 247780 i …
Excerpt
"$ 16 Kramerio taisyklė 155 Pavyzdžiui, determinantą |4A,| skaičiuojame taip: 0 1 —1 0 1 0 1 —1 0 1 0 —1 2 3 0 0 —1 2 3 0 A | — 19-13 B 6 4 ak S 55 64 S 0 —1I —4 —6 0 O ALB G, 0 ju Zi Zi BGB 0 iu 54 1 —1 0 | 1 —1 0 1 — || 2 3 0 —l 2 3 =—57 =—57 ū Ža Lt …
Excerpt
156 ė Determinantai [IV sk. Jeigu homogeninės sistemos determinantas yra nulis, tai jau iš sistemos Sri 121 0 15x, — 10x, = 0 matome, kad trivialus sprendinys nėra vienintelis. Ši sistema turi ne- nulinį sprendinį x, =2, x; —3 ir sprendinius, sudarytus iš …
Excerpt
TME S 16 Kramerio taisyklė 157 turi tik trivialų sprendinį 0, 0, "nėra nulis. x, —6x,4-9x4— x4,=0,; 3x,—2x,—4x,1-2x,=0 Ša 3 —4 225 4 Wal O = 14 3 —2 —4 2 2) Homogeninė sistema x11 X) x44-6x,=0, 2x,—3x,—2x,—4x,=0, x, x54-2x,=0, 2x,4-2x,41-3x44-6x,=0, 0, 0, …
Excerpt
158 Determinantai [IV sk. kur A ir / yra bet kokie skaičiai, yra taip pat mūsų sistemos sprendiniai. Iš tikrųjų, 3(244-/)—(34—1)—(—kK-1-4/)—4k=(6E—3k41+4—45)1(314-1—4/1)=0, 10(244-))4-2(3k— )—2(—A414/)—7 -4k= =(204-1-64-1-24 —28k5)-(101—2i—87)=0, …
Excerpt
S 17] . Laplaso teorema 159 "Tačiau iš matricos A galime gauti ir žemesnės eilės determinantų; tereikia išbraukti kai kurias šios matricos eilutes ir tokį pat skaičių , kolonų, o iš likusių elementų, nesuardant jų tvarkos, sudaryti deter- „ minantą. Jeigu …
Excerpt
160 3 Determinantai [IV sk. * Jeigu iš duotojo determinanto |A| (matricos A), sudarome mm-tos eilės minorą M, parinkdami 74, 755 73 > > > ; /„ €ilutes ir A,, k5, ką, +++, k„ kolonas, tai iš likusių 2 —m eilučių įa+15 Jao 75 0 J, ir 2—m kolonų kmi1> Rm+9> …
Excerpt
$ 17] Laplaso teorema 161 Pavyzdžiui, penktos eilės determinanto Gi Ci2 Cip Gi4 Gi5 [AB |= A Ū3p OAz3 Ū34 G55 |5 Ė (30) trečios eilės minoro Aj Ang Ū54 Ms3=| G Az3 Gs4 |> Az, G53 Ū54 sudaryto iš antros, trečios ir penktos eilučių ir pirmos, trečios ir …
Excerpt
162 Determinantai "IV. sk. kampe, taip pat išskirtas tomis pačiomis tiesėmis.) Sujungtinis mi- pe, taip p P j noras M“? yra ir minoro MC? adjunktas, nes (— 1)U+2+---+m)+0121---+m) — m(m4-1) i m(m-+1) (A K) i (SM Taigi, reikia įrodyti, kad kiekvienas …
Excerpt
$ 179 Laplaso teorema 163 Kadangi sandaugos pirmieji indeksai yra natūralioje tvarkoje, tai, su- darę iš antrųjų indeksų perstatinį Bas Ba > Bm Bm Tetas Ym+2 15 Yao į kurį įeina visi skaičiai 1, 2, ---, m, ---, 2 po vieną kartą, leng- vai įsitikinsime, …
Excerpt
164 Determinantai [IV sk. Pažymėsime | 4.„;| determinantą, gautą iš determinanto |A|, persta- čius jo eilutes ir kolonas taip, kaip aukščiau nusakyta. Tada ji ti: +: -+i,+kitk:- pr +k,-m(m+-1) |A(mi) | 2 |A|=(-1) Determinanto |A(„,| minoras M bus viršuje …
Excerpt
$ 17] Laplaso teorema 165 minantų turėsime (") ir jie vienas nuo kito skirsis bent viena ei- lute.) Minėtus determinantus vadinsime matricos A„x„ m-tos (n-tos) arba aukščiausios eilės minorais. Grįšime prie determinanto |A|. Iš jo parenkame 72 eilučių, …