Excerpt
206 Midricas Ar nebiorias IV 4 3 Tą patį vektorių, parinkę baze vektorius [1,]= 2, 0, 0, 0, 0], [> ] = [0, 3, Dž 01, [1)1= [0, 0, Ls 0, 0], m [m ]= [0, 0, 0, DE 0], 0, [5] = [0, 0, 0, V, 3], išreiš-iame taip: [469]=2 [m,]— [15] —2 [15] 49 [14] —2 Is]. 3) …
Excerpt
122 $ 22) Mairicos rangas ir jo nustatymas 207 Dabar rasime tokius kompleksinius skaičius G1> G3, a5 ir a,, kad galiotų lygybė [40]=[37, 2—27, 4, DZ aN= ad =a [01] 45 [65] -- a; [05] + a; [064]. š Iš šios vektorinės lygties gauname tiesinių lygčių …
Excerpt
208 Matricos ir vektoriai | [V sk. galime žiūrėti kaip į 77 n-mačių vektorių I41]=[015 2155 > > > 21,5 [25] = [215 2295 -+-> 25,15 Ke e ei je Tu Ce k a a (26) [c„] ŽT5 [215 Cm25 15 Sa sistemą. Atvirkščiai, 11 7-mačių vektorių sistema vienareikšmiai nusa- …
Excerpt
$ 22] Matricos rangas ir jo nustatymas 208 aukščiausios eilės minoro, nelygaus nuliui, eilė yra +. Kadangi matri- cos rangą apibrėžėme, pasinaudoję jos eilučių vektorių sistemos ran- i gu, o vektorių sistemos rangas nepriklauso nuo tų vektorių sunume- …
Excerpt
210 Matricos ir vektoriai IV sk. Šiame išdėstyme kiekvieno elemento adjunktai nepriklauso nuo A ir todėl jie pažymėti tik su vienu indeksu. Prisiminę, kad visiems 7 ir £ Atr+D —0, turime a „A, T 05451---1-0,A,+-05A—=0. Kadangi A70, tai visiems Ą=—1, 2, …
Excerpt
k. 221 Matricos rangas ir jo nustatymas 211 i o visi 6 jį aprėžiantieji minorai lygūs nuliui: 1 —3 2 1 —3 2 1 —3 | I — S | 35 4 Aaaa sha 21 Ia a ai i 4353 2321 | | Ši S S ka S Ia 5 B A Jau minėjome, kad matricos eilučių ir kolonų vektorių sistemų rangai …
Excerpt
212 Matricos ir vektoriai [Y sk. Pavyzdys. Tegu turime penkių keturmačių vektorių sistemą [44]=[l5 —3, 2, —1Į, [z5]=[3; —9, 6, —3], [45]=[2, —2, —15) 1]; [44]=[1) 5, —8, 5] [25]=[5, —3, —5, 4]. "Iš vektorių koordinačių sudarome 5x4 matricą A; „4 Matėme …
Excerpt
| $ 22] Matricos rangas ir jo nustatymas 2 213 Pavyzdys. Rasime determinanto 3 —8 0 —2 L 122 A(9) | = = | 13 —2 —12 —6 | 2521 at 14 tiesiniai priklausomą eilutę ir tiesiniai priklausomą koloną. Šio determinanto antros eilės minoras IB —8 L anas o jį …
Excerpt
214 2 Matricos ir vektoriai [V sk. $ 23. Mairicų daugyba Jau minėjome, kad matricos atsirado iš tiesinių lygčių sistemų ir tiesinių transformacijų. Tiesinės transformacijos naudojamos įvairiose matematikos šakose. Jau analizinės geometrijos pradžioje …
Excerpt
$ 23] 3 Matricų daugyba 215 Sakykime, kad nežinomuosius y45 Y2, +++, 7, transformuojame dar kartą, įvesdami nežinomuosius z1, 25 +++, Z, Ta transformacija yra: N=Puzi t bis 225--- T br žp R, Sis 25 dn a b, 2227 Ia a Ja atitinka 2 X: matrica (29) bi biz Ss …
Excerpt
216 Matricos ir vektoriai [V sk. t. y. matricos j-tos eilutės k-tos kolonos elementas yra suma sandaugų matricos AAA J-tos eilutės elementų ir matricos B.„, k-tos kolonos ele- mentų. Taip gauta nauja 21 x: matrica C.„„ Vadinama matricų LN ir B.„, …
Excerpt
$ 23] Matricų daugyba 217 Pavyzdys. Imame kūno X matricas. Dauginsime 3x2 matricą iš 2x4 matricos: l 2 2 43 0-2 1 — (Lo 1 2 45 20 0. —5 1 1 1 1 1 3-415-15 3-(-3)+5-2 83-01 5> -(-1) 3:21+5-0 1 | -2-411:45 -2-(-8)11-2 —2-04+1-(-1) —2.211-0 |= 1 0-41+(-5)-45 …
Excerpt
218 Matricos ir vektoriai [V sk. ca B turėtų tiek eilučių, kiek A turi kolonų, t. y. matrica B turi turėti 2 eilučių. Kad matricą A.„„galima.būtų padauginti iš kairės iš B, reikia, kad pastaroji turėtų 77 kolonų. Taigi, matrica B turi būti 2 xm matrica …
Excerpt
$ 23] Matricų daugyba 219 Pavyzdys. Sudauginame dvejopai dvi tas pačias matricas; LAA L lksiaĖ i, Tai rodo, kad ir kvadratinių matricų daugyba nekomutatyvi. Labai dažnai tenka dauginti matricas-kolonas iš matricų-eilučių ir atvirkščiai. Ištirsime 1lxn …
Excerpt
220 Matricos ir vektoriai [V sk. Analogiškai matricų sandaugai vektoriams-eilutėms apibrėžiame jų skaliarinę sandaugą. Dviejų vektorių skaliarinė sandauga yra skaliaras, gautas susumavus tų vektorių atitinkamų koordinačių sandaugas. Skaliarinę vektorių …
Excerpt
| $ 23] Matricų daugyba 291 Kad trijų matricų sandaugą galėtume išplėsti ir vartoti ją be skliaustų, turime patikrinti kokį rezultatą gausime, jei iš pradžių padauginsime matricą B,,,iš C.„„, o vėliau matricą A.„„iš gautos sandaugos. Matricų Erik e …
Excerpt
| 299 o Mairicos ir vektoriai [V sk. Sulyginę abiejų sandaugų atitinkamus narius, matome, kad jie sutampa. Kadangi abi sandaugos yra m2x7 matricos, tai galutinai gauname, kad B) i = A 2) = E G (38) Įrodėme, kad matricų daugyba yra asociatyvi. Pavyzdys. …
Excerpt
“- $ 23] Matricų -daugyba 223 Įrodę, kad matricų daugyba asociatyvi, galėsime matricų daugybą išplėsti bet kuriam dauginamųjų skaičiui ir dauginant sandaugos na- rius jungti kaip tik norėsime. Daugindami matricas, turime prisiminti, kad negalima Keisti …
Excerpt
294 Matricos ir vektoriai [V sk. Lygybės (42) dešinėje pusėje yra formulės (40) dešinėje pusėje esančios matricos j-tos eilutės K-tos kolonos elementas. Taigi, formu- lė (40) yra įrodyta. Įrodydami kairiosios daugybos distributyvumo dėsnį, pastebėsime, …
Excerpt
$ 23] , Matricų daugyba 225 Matome, kad sandaugos rango negalima nustatyti, žinant tik dauginamųjų matric4 rangus, nes abiejų pavyzdžių dauginamųjų matricų rangai lygūs 1, o sandaugos rangas atitinkamai yra 1 ir O. Jis abiem atvejais nedidesnis už dau- …
Excerpt
226 Matricos ir vektoriai [V sk. $ 24. Kvadratinių matricų algebra Šiame paragrafe nagrinėsime n-tos eilės kvadratines matricas. Jas žymėsime didžiosiomis lotyniškomis raidėmis be jokių indeksų. Praeitame paragrafe matėme, kad dviejų »2-tos eilės matricų …
Excerpt
. | $ 24] Kvadratinių matricų algebra 227 Matėme, kad stačiakampės matricos patenkina abiejų daugybų distributyvumo dėsnius. Kadangi kvadratinės x-tos eilės matricas ga- lima ir sudėti, ir sudauginti, tai ir jos patenkina tuos dėsnius; 14 as Ba k …
Excerpt
228 Matricos ir vektoriai [V sk. Šią transformaciją vienareikšmiai atitinka m-tos eilės matrica A. Ieš- kosime matricos A atvirkštinės matricos, pasinaudoję transformaci- jos (46) atvirkštine transformacija. Atvirkštinė transformacija keis nežinomuosius …
Excerpt
G M $ 24] Kvadratinių matricų algebra 229 Šios transformacijos matricą žymėsime A-1: A An 4 Ap Am |A| |A| |A| |A| Ai Asp į Aps App [4] |Al |A |A| S Še nas SR aa ai Aka Au Aso 5 o Ak I (49) IE) |A| 1Aj Ain Am Akai „Ann |A| |Al |A| |A| Nesunku matyti, kad …
Excerpt
230 Maitricos ir vektoriai , [V sk. Iš bendrosios žiedų + teorijos (III skyrių $ 11) aišku, kad neišsi- gimusios matricos A atvirkštinė matrica 4-1 yra vienintelė. Pastebėję, kad |A| yra skaliaras, matricos A-1 išraiškoje (49) ga- lime iškelti prieš …
Excerpt
$ 24] Kvadratinių matricų algebra 231 [0] — nulinė matrica. Ši pirmos eilės kvadratinių matricų aibė yra izomorfinė skaliarų kūnui, nes jos elementai sudedami ir dauginami kaip skaliarai. Jei tokioms matricoms ir skaliarams nustatysime ati- tinkamybę [4] …
Excerpt
232 Matricos ir vektoriai BV“ sk. Panagrinėsime atvirkštinės ir prijungtinės matricos determinantus. Iš tų matricų savybių, matricų sandaugos determinanto savybės ir lygybės (9) gauname: 1 E Ę |4|-|4-!)=|E|, Zl a ap |> 15 |Al145—1 |A|=|Ap=, GI) t. y. …
Excerpt
S 24] Kuvadratinių matricų algebra 233 gausime vienintelį jos sprendinį IL 1E2O kurį vadinsime matricos A dešiniuoju dalnenių iš kad bendruoju atveju šie dalmenys skirtingi. Pavyzdžiai. 1) Matxicos 9.3 5 59 13 5 8 64) matricos B. Aišku, determinantas | A| …
Excerpt
234 Matricos ir vektoriai [V sk: Matricos B kairini ir dešininį dalmenis iš matricos A: 9 —4 3 8 16--—8 A“!'B=| —37 4 9L, BA1=| —5 19 — 4 39 5 —11 690. —38 Matome, kad B“ !A+ AB 1ir A !B +BA 1. Jeigu matrica B yra išsigimusi, tai nei kairinė, nei dešininė …
Excerpt
$ 24] Kvadratinių matricų algebra 235 Kaip matėme, »-tos eilės matricų algebrą, kurią norėdami atskirti nuo jos poalgebrių, vadiname pilnąja »-tos eilės matricų algebra, nėra algebra su dalyba. Tačiau kai kurie jos poalgebriai gali sudaryti algebrą su …