Excerpt
66 Pagrindinės algebros sąvokos [III sk. skaičių yra prieš mažesnius arba kiek mažesnių skaičių eina po di- desnių. Pavyzdžiui, perstatinyje 5, 1, 6, 3, 2, 4 yra 8 netvarkos, nes 5 yra prieš 1, 2, 3, 4 (keturios netvarkos), 6— prieš 3, 2 ir 4 (trys …
Excerpt
S JIE Pakeitimai 67 Taigi, sukeitus du gretimus perstatinio elementus, netvarkų skaičius pasikeičia vienetu; tai rodo, kad perstatiniai (1) ir (2) priklauso skir- tingoms klasėms — jei (1) yra lyginis, tai (2) — nelyginis ir jei (1) yra nelyginis, tai (2) …
Excerpt
68 Pagrindinės algebros sąvokos (III sk. sias keičiame kitu ir būtent kuriuo. Pavyzdžiui, jei turime perstatinį iš šešių elementų 5, 1, 6, 3, 2, 4 ir po pakeitimo gauname perstatinį 2, 5, 4, 3, 1, 6, tai tą pakeitimą galime taip užrašyti: 1129545. 6 B …
Excerpt
s9 Pakeitimai 69 Pabrėžiame, kad pakeitime svarbu, kuris elementas keičiamas ku- riuo, o visai nesvarbu kuria tvarka elementai keičiami. Toliau nagrinėsime ne tik atskirus pakeitimus, bet ir pakeitimų aibes. Pirmiausia nustatysime, kiek bus skirtingų …
Excerpt
70 Pagrindinės algebros sąvokos > MIT SE Iš apibrėžimo aišku, kad galime dauginti tik pakeitimus su vie- nodu elementų skaičiumi. Sandaugos pakeitimas turės tiek pat ele- mentų. Vadinasi, pakeitimų iš n elementų aibė yra uždara daugybos at- žvilgiu. …
Excerpt
s 9 Pakeitimai a Tegu S, S; = S, Tada 2 RSS 2 aka on 5,-5)5,= 55 ( ŽN jž Oma ar NA Tea -( 25 k Ši Ržig SS = Tala > > > Yao Ya Via Te Tr L 25A kis Gi Ti Ma + Nk Tr SS S; — S, seka, kad s =(— Eta -) 2 R Taa Tas Kal ; taigi, / Sia by ais S s)= A LŽ L db Ta …
Excerpt
72 Pagrindinės algebros sąvokos [III sk. Todėl tapatingas pakeitimas S, yra vadinamas vienetinių pakei- timu. Vienetinis pakeitimas, kaip matėme, komutuoja su kiekvienu pakeitimu, t. y. sudauginant jį ir bet kokį pakeitimą, dauginamuosius salima …
Excerpt
s 9] Pakeitimai Ti s Iš atvirkštinio pakeitimo apibrėžimo ir sandaugos vienareikšmiš- kumo turime, kad bet kuris pakeitimas turi tik vieną atvirkštinį pa- keitimą. Pavyzdžiui, pakeitimams iš dviejų elementų ) ) 2) SB. SA = ; b ) == G0) (2.50 — SG > = = ; …
Excerpt
A Pagrindinės algebros sąvokos [III sk. Aišku, kad dešinysis ir kairysis dalmuo nesutampa, nes bendruoju atveju S, sz! EŽ sz! A tačiau, kai S, ir S; komutuoja, gaunamas tas pats rezultatas. Pavyzdžiai. k 4 2 237123 sen) ro AN Pt KB AC i 2-1 AAA 2 15329 …
Excerpt
$ 9] Pakeitimai | 75 Pakeitimai (3) LŽ 2 S) 12 i) SG) ( p 3) sp=(1 23) a Ba a yra lyginės klasės, o pakeitimai „als 2 šos ( 2 3 sp=(1 32): sp=(2 1 3): * Ža — nelyginės. Bendruoju atveju R pakeitimų iš 1 elementų yra lyginių ir "L. nelyginių, nes tiek yra …
Excerpt
76 Pagrindinės algebros sąvokos [III sk. eilučių netvarkų skaičių suma visada bus lyginė arba „nelyginė, ir mes galėsime sakyti, kad bet kuriuo pavidalu parašytas pakeitimas yra lyginis, jei jo abiejų eilučių netvarkų skaičių suma yra lyginė, ir …
Excerpt
Iš 10] Grupės 77 timas. Analogiškai, jei S, lyginis, o S, nelyginis, tai S, yra nelyginis, nes perstatinys Y1> Ya> =--> Yp + 5 ės yra nelyginis. Taigi, lyginio ir nelyginio pakeitimų sandauga yra nelyginis pakei- timas. Pagaliau, jei ir S, ir S; yra …
Excerpt
78 Pagrindinės: algebros sąvokos (III sk. 4. Kiekvienam pakeitimui S, egzistuoja toks jo atvirkštinis pa- keitimas S-!, kuriam S,-S7!= 51 Tuos pačius dėsnius patenkina ir $ 8 išnagrinėta 1-to laipsnio šaknų iš vieneto aibė, kuriai buvome įrodę, kad: 1. …
Excerpt
s 10] Grupės 79 Dažniausiai nekomutatyvinių grupių kompozicija yra vadinama daugyba ir žymima, kaip ir mes pažymėjome, ženklu -, kuris dažnai visai praleidžiamas. Grupę su daugybos kompozicija vadiname mulziplikatyvine. Abelio grupių kompozicija …
Excerpt
80 Pagrindinės algebros sąvokos [III sk. Žinome, kad dviejų skaičių sumos dalijimo iš m, liekana yra skaičius, lygus dėmenų liekanų sumai, arba ta suma, sumažinta skaičiumi m, jei pastaroji yra nemažesnė Už m. Todėl ir tą „,nepaprastą“, gal geriau sakant, …
Excerpt
$ 10] Grupės 81 Kai m=5, tai modulis W; = (0, I, 2, 3, 4) be elemento O,t.y. M, = (1, 2, 3, 43 sudaro Abelio multiplikatyvinę grupę. dal Jei 2 —6, tai nesunku matyti, kad Wi; modulinės daugybos atžvilgiu grupės nesudaro, nes, pavyzdžiui, skaičius 2 neturi …
Excerpt
82 Pagrindinės algebros sąvokos [III sk. 2 teorema. Grupė turi tik vieną vienetinį elementą, kuris yra kartu ir dešininis, ir kairinis vienetinis elementas. Įrodymas. Tegu e yra dešininis vienetinis elęmentas. Tada pagal 1 teoremą bet kokiam grupės …
Excerpt
š 10] Grupės 83 Įrodymas. Kad kiekvienoje grupėje tokie elementai iš tikrųjų yra, galime įsitikinti, paėmę m—a-1*b6. 1 Oias; nes a-x=a-(a-1-b)=(a-a-)-b=e-b=b v-a=(b-a-Y-a=b-(a71-4)=b-e=68. Norėdami įrodyti, kad tie elementai yra vieninteliai, tarsime, …
Excerpt
34 Pagrindinės algebros sąvokos [III sk. Padauginę elementą c iš dešinės iš x, ir panaudoję tik ką gautą ele- mentą 1,4 gausime ša C+ Xi = (Yea* 0): X =Yea" (0: X) =Ya0—C5 taigi, X. =C- Paėmę elementus a ir c ir pritaikę jiems 6 L pirmą lygybę, rasime …
Excerpt
$ 10] Grupės 85 Nesunku matyti, kad jie sutampa, nes, kelis kartus panaudoję aso- ciatyvumo dėsnį ir vienetinio bei atvirkštinio elementų savybes, tu- rėsime: a"-(a-ŲY'=a-a- «--a-a-a-a lga-1.ą-1i ss g-Lig 1 = n kartų n kartų =(4-a- = +-a-a)(a-a-Ų(a-1.ą-1. …
Excerpt
36 Pagrindinės algebros sąvokos [III sk. Taigi, visiems sveikiems m ir s a"-a' =a"*“ ir (E 22 Analogiškus adityvinės grupės dėsnius užrašysime taip: į ma--sa=(m--5)a ir s(ma) = (sm) a. Paimkime bet kokį multiplikatyvinės grupės G elementą a ir panag- …
Excerpt
$ 10] . Grupės 87 Aišku, kad yra ir pats mažiausias laipsnio rodiklis 2, kuriam a'=e. Parodysime, kad tada grupė (aš yra n-tos eilės (turi 2 skirtingų elementų), ir bet kuris sveikasis a laipsnis yra lygus vienam ir tik vienam grupės Ta iEs a,lastios gai …
Excerpt
88 Pagrindinės algebros sąvokos 2 [III sk. Pogrupis, kuris nesutampa su visa grupe ir nėra sudarytas iš vieno elemento, vadinamas tiesioginiu pogrupiu. : Išvardinsime visus ciklinės dvyliktojo laipsnio šaknies iš vieneto grupės tiesioginius pogrupius. Jie …
Excerpt
S 11] Žiedai ir kūnai 89 3. Distributyvumo dėsnis (24+6)-c=a-c4> b6-c, c-(a1+-6b)=c-a--c-b, rišąs vieną kompoziciją su kita. Pirmoji 3 dėsnio formulė yra vadinama daugybos iš dešinės (de- šininės daugybos), o antroji — daugybos iš kairės (kairinės …
Excerpt
90 Pagrindinės algebros sąvokos [III sk. Jau iš menamųjų vienetų sandaugos apibrėžimo matome, kad dviejų kvaternio- nų sandauga visada yra kvaternionas, bet ta sandauga priklauso nuo daugina- mųjų tvarkos. Taigi, kvaternionų daugyba nėra komutatyvi. …
Excerpt
£11) Žiedai ir kūnai 91 Panašiu būdu galima užrašyti ir 2 dėmenų sumą, tik tada vietoje 3 reikia rašyti m. Įvedę šį pažymėjimą, formules (6) užrašome taip: k=1 k=1 k=1 k=1 3 3 3 3 (> 4-0 > (ap:6), b- (> a = (6-5). | (16a) Dabar indukcijos metodu įrodome …
Excerpt
92 Pagrindinės algebros sąvokos [III sk. Norėdami rasti sandaugą (+4;+-.-+2,,+0)- (Hh +-6+---4+6.,+0,)= = (T) (28). laikome pirmąją sumą vienu elementu ir taikome reiškiniui išplėstą kairinės daugybos distributyvumo dėsnį, o toliau atskiriems dėmenims …
Excerpt
$ 117 Žiedai ir kūnai 93 Šiam dėsniui įrodyti pasinaudosime tapatybėmis (a4+-b6—b)c=ac ir c(a4b-—b)=ca. Sugrupavę narius ir pasinaudoję sudėties distributyvumu, turime: [(2 —6)+- ble =ac,; c[(a—6)4-6] =ca, (a—6)c-bc=ac, c(a—b)A-cb=ca. Atėmę pirmoje …
Excerpt
94 Pagrindinės algebros sąvokos [III sk. Ženklų taisyklėms įrodyti naudojomės tik atimties distributyvumu, nulio savybėmis ir tuo, kad turimo elemento priešingo elemento prie- šingas elementas yra pats turimas elementas. Jeigu žiede egzistuoja toks …
Excerpt
$ 1lž Žiedai ir kūnai 95 Kūnas yra dviejų kompozicijų, kurias vadinsime sudėtimi ir daugyba, aibė, turinti mažiausia du skirtingus elementus ir patenkinanti šiuos dėsnius: 1. Aibė uždara sudėties atžvilgiu, a-b=c. 2. Sudėtis asociatyvi, (246) …