Excerpt
166 Determinaniai [IV sk. L] Įrodėme, kad sandaugų sumoje yra m! narių, kurie visi yra skir- tingi, o kiekvienas jų atskirai sutampa su vienu išskleisto determinanto |A| nariu. Pats determinantas |A| taip pat turi 1! narių, kurie visi yra skirtingi, …
Excerpt
$s 1 Laplaso teorema 167 - ; 3 Cu Gp a. a; 22 G25 2444245 2 (RT as 233 Ap Gas As, Ū53 tų G53 Gy 4 4 5 ab Gj Ūzp C> Ūą As G53 Ž ą Ui1 Gp 23 G55 2444345 ap Gai Az3 Ga Gas 251 C55 i a Gi 12 24 055 241445 ar RA Zz, G33 Au 045 25, 453 2, Giza 15 ž L 22 21 023 …
Excerpt
168 Determinantai [IV sk. Stačiakampė matrica, sudaryta iš šio determinanto antros ir ketvirtos eilutės, yra A MO 3 OLABA5 6 a Taas5 E Todėl 52230 2 3 1 4.5 : 0 |A6)|= — —4 6|+ —1 —4 6|+ g 5 0 6 112489 29 80 220 2 ies A 054 žo | = 2 99 i 8 | - o 520 2 Ž i …
Excerpt
$ 17] Laplaso teorema 169 Iš šio determinanto antros, trečios ir šeštos eilutės sudarome 3x6 matricą S S = B: eis (0) | 0 5 0:5 Šios matricos vienintelis trečios eilės minoras, neturintis nulinės kolonos, yra determinantas Žali ai 25 = 25 Pagal Laplaso …
Excerpt
170 Determinantai [IV sk: Išdėstę šį determinantą trečios ir penktos eilutės elementais pagal Laplaso teoremą, zausime B 53 |49|= po SL E 1 a 84. 7'3 3014 Panaudoję Laplaso teoremą, įrodysime, kad x-tos eilės determi- nantų sandaugą galima parašyti m-tos …
Excerpt
"5179 Laplaso teorema 171 Gi, Gar Ap Ain 0 0 0 0 a 233 05p a, 0 0 0 0 Ap Apo Ok „0 0 0 i ALB S Ani 2200 0 Č ls į |-| i 0 0 0 bi bi5 Dip bir i . 0-1 0 0 bu bp bar br, 0 0 1 0 bu bp Di JB 0-0 0 —1 ba bp Čai ta E Iš tikrųjų, išdėstę šį determinantą pagal …
Excerpt
172 Determinantai [IV sk. Panaudoję šio determinanto paskutines 7 kolonas, išdėstome jį x-tos eilės minorais. Vienintelis iš parinktų kolonų sudarytas ir neturįs nu- linių eilučių 7-tos eilės minoras yra determinantas | Išgink ie Čin | Cn Gap Gp Ca | …
Excerpt
$ 17] | Laplaso teorema 173 2) Sudauginsime šiuos determinantus: 1 —3 a 98 AOL | TP 3,14 2 (B 2-1 1-:24+(—3)-3 Le aaN a 2 0 3 4 220 PL Oa Be — 11 S 802 2 Transponuojant determinantą, jo reikšmė nesikeičia, todėl deter- minantų sandaugą, be formulės (38), …
Excerpt
174 Determinantai ; [IV sk. . ir kombinuodami kolonas su eilutėmis — 1 —3 2.53 1 -242-1 L -22- 4 2 0||3 4| [|(—3)-210-1 (—-3)-3> +0-4 4 11 12 G 9 Sudauginsime visais keturiais 'būdais šiuos du trečios eilės determinantus: 3 1 —2 —1l 2 0 ĮA0,=| 0 —4 2 |, = …
Excerpt
d 2 "5 18] Determinantų skaičiavimas 175 pasirinktos eilutės (kolonos) elementai būtų nuliai. Dažnai patogu laikytis šių nurodymų: 1) Jeigu determinanto kurios nors eilutės keli elementai yra pro- porcingi kitos eilutės elementams, tai vienoje jų tie …
Excerpt
176 Determinantai [IV sk. pirmos, iš antros kolonos iškeliame daugiklį 2 ir ketvirtą koloną pridedame prie antros ir trečios. Šiuos perdirbimus patartina daryti ne iš karto, bet dviem žingsniais —taip kaip toliau nurodyta, nes antra kolona keičiama du …
Excerpt
si87i. Determinanli" skaičiūdimas | 0 i ALB 3 Ma = 4 - 5 | ka ARS 1-4) -- ož) 6 0914 al 08115 4] 560 3 6 IS - 44 1 Sa IP 5 [Ga 0 o a kas, I - 35415 2107 621] L 23 So 6 23 4. — 5 321= == m —1 4 —5 3 a] Es ai IN o iai) 55 —3 6-3 4|2=—į Dr GL 5 22 28 k …
Excerpt
178 4 Determinantai [IV sk. kons T TI 14 2151 22 = 744212 = —260 1 = —260 -- 12 —4 42 5 0 25 0|25 la 4-1 M o LT - 30 0 30 0|730 Šį ketvirtos eilės determinantą patogiausia išskaičiuoti, išdėsčius jį antros eilės minorais, panaudojus tam trečią ir ketvirtą …
Excerpt
| $ 18] Determinantų skaičiavimas 179 II metodas. Dažnai I metodą tenka modifikuoti „ir; jį :naudoti kartu su matematinės indukcijos metodu arba su determinanto išdės- tymu kurios nors eilutės (kolonos) elementais, kurių bent du nėra nuliai. Šitas …
Excerpt
180 Determinantai [IV sk. 5) Išskaičiuojame determinantą 4-5 7 —8 1 Da. 0. LSE 0 0 — 5 25 103|=4-3-(—5-10-(-7)=4200. 0 0 0: A0 35 0 0 0 D-— T 6) Išskaičiuosime 1 1-1 eilės determinantą 2 = 1 a 2 E ž 1 x,171 Ž E x= 1 2 2 „n-l aa A XT? ai = Li AU ia a 1 X : …
Excerpt
$ 18] „ Determinantų skaičiavimas 3 18] lygiai nutolusias nuo galo ir pradžios kolonas vietomis. Tuomet pagal II ir X savybę turėsime: 0:0 0 a, žų Ie) 22,—1 42, | AX |= Se O O O IA S A Ik = 0 a Sa-1n-1 | Ške1ų Už, Ra ž J gm Ann ū„ 0 0 0 0 Omi 0 0 = (IDR …
Excerpt
182 Determinantai 8 [1V sk. 0 Na 2001 20523 0 D+5A50 401 0 0:2 0142-1107 74 a Ūla Taa kas = —(—3)-1-3-(—8)-(—10)- 10=7200, 0210-14 6 2524 10 0-6 LE 1 B nes 6—=4-.1 412, 9) Išskaičiuosimę 14 1 eilės determinantą P TA a; |At*5|= LAT T3 Iž> A ia i = Ua 1 X …
Excerpt
$ 18] Determinantų skaičiavimas 185 Įrodysime, kad ĮV0) | = (25 — 34) (44 — 24) (5 —2;) (0 — G a), — a 1) = = II (tp — ai). i i I …
Excerpt
IS aa, Determinantai [IV sk. 11) Išskaičiuosime determinantą A 0---0 0 0 ei sl 210 0 0 žr x--- 0 0 0 AE ŽIĖE T AS asa ax . a, 0 0 x —1 0 L 0 0 0 x —l 34 0 0--- 0 0 x x -1---0 0 0 0 240 0 0 | i ii. Cetijį [42 |= en 0 AE ag 0 + 0 t. 1 0 0 - 0 0 x a B GAL E …
Excerpt
V SKYRIUS MATRICOS IR VEKTORIAI $ 19. Stačiakampės matricos Pracitame skyriuje matėme, kad > lygčių su 2 nežinomaisiais sis- temą galima išspręsti, jeigu tos sistemos koeficientų prie nežinomųjų matricos determinantas nelygus nuliui. Tokia sistema turi …
Excerpt
186 Matricos ir vektoriai [V sk. Sistemos koeficientai prie nežinomųjų ir laisvieji nariai priklauso tam tikram kūnui 15. Jos koeficientai prie nežinomųjų, surašyti į lentelę, sudaro šios sistemos matricą: Li G12: "Gp A= | Gy 055---05, (2) 4.1 2.3 . "Un …
Excerpt
$ 19] Stačiakampės matricos 187 Dažniausiai turime reikalo su vienos rūšies matricomis, t. y. tik su tos pačios eilės kvadratinėmis arba su stačiakampėmis 71x 71 mat- ricomis, Kai turime vienos rūšies matricas, tai paprastai jas vieną nuo kitos skiriame …
Excerpt
188 Matricos ir vektoriai [V sk. Susitarsime tos pačios rūšies matricomis vadinti tokias matricas, kurios turi tiek pat eilučių ir tiek pat kolonų, ir jei visų matricų elementai priklauso tam pačiam kūnui 5. Kaip kiekvienai algebroje nagrinėjamai aibei, …
Excerpt
$ 19] Stačiakampės matricos 189 Naujoji sistema yra gauta, sudėjus atitinkamas sistemos (5a) ir (5b) lygtis, o tos sistemos matrica yra Gi P 55 bp “+ and 052 bp ap bp OL AL Am + Omi Ams -- Ema SA Eini as Todėl natūralu dviejų 71 x 2 matricų — suma laikyti …
Excerpt
* 190 Matricos ir vektoriai [V sk. Pabrėžiame, kad lyginti ir sudėti tegalime tik 72 x 2 matricą su mxn matrica. Sudėję tokias dvi 2 x m matricas arba padauginę m X m matricą iš skaliaro, vėl gausime 77 xm matricą. Pavyzdžiui, negalima sudėti 3x2 matricos …
Excerpt
$ 20 Stačiakampių matricų "tiesinė algebra 191 1. 4 B=C, kur C yra mx»n matrica (7), ir jos elementai Ek EE A 0 —= 12 mų ES 1,.2, 55 a Matricų sumą galima apibendrinti ir $ dėmenų atvejui, nes mat- Ticų sudėtis asociatyvi: i 2: (4A+B)+C=A1(B+6G). Tuo …
Excerpt
192 Matricos ir vektoriai [V sk. 6. Al =1A=G. G nusako formulė (8), o jos elementai yra Eis=lūj (=15 2, > > > , m; k=1, 2, ---, n). Pagal matricos ir skaliaro sandaugos apibrėžimą lengva matyti, kad daugyba asociatyvi: 7. I(h A)=(1h) A. Ši sandauga …
Excerpt
5 20] Stačiakampių matricų tiesinė algebra 198 Viena paprasčiausių matricų yra lx» matrica, kurią vadinsime matrica-eilute. Jų aibė sudaro tiesinę algebrą. Kadangi matricos-eilu- tės turi tik vieną eilutę, tai jų elementams žymėti visai nereikalingas …
Excerpt
194 Matricos ir vektoriai [V sk. Transponuojant matricas, eilučių ir kolonų indeksai susikeičia vieto- mis, ir eilučių bei kolonų skaičius susikeičia. Mes transponuotas matricas žymėsime tomis pačiomis raidėmis, tik virš jos rašysime apostrofą. …
Excerpt
$ 21] n-mačių vektorių erdvė 195 me kolonų vektoriais. Dabar algebroje labai plačiai yra naudojama vektorių teorija. Matricų teorija taip pat ja remiasi, todėl nagrinėsi- me vektorių aibę. S 21. 2 - mačių vektorių erdvė Praeitame paragrafe vektorius …