Excerpt
136 Determinantai [IV sk. liai, paverčia visus narius stai todėl ir toks determinantas yra ly- gus nuliui. IV. Dererminantas, kurio dvi eilutės (kolonos) vienodos, lygus nuliui. Ši savybė yra III savybės išvada, nes determinanto |A| su lygio- mis …
Excerpt
S 15) n-tos eilės determinantai Tegu turime 137 Zi ia 4, A 425 GAC 05, S a.+b. . Til a: 5 a; 0ip GO (PJ Cn 2.2 S, (A Ji išskleidę, gausime "as S d dA | Šo ( 1) Šia, TA j9 ia (25, + ri Uka sea Dada 012 1 7-1 J 1 Mas a A 1 2, 3 r b. La iš ja) kia, aa“ …
Excerpt
138 Determinantai [IV sk. dome sudarytą determinantą į sumą dviejų determinantų. Tada ant- ram determinantui pritaikę V savybę, gauname: An Ap ln Antras determinantas turi dvi Gy LA AS GO An Uro S 223 š 2 , LAA š Gjį ar laą 4;j2 i la> a An P las, Lą [| 2, …
Excerpt
$ 15] n-tos eilės determinantai 139 a15 — 3015 — Žas L 45 (—4> 3-—9-2 (ke) as — aj — Ža 044 Sai) Įvedę šį apibrėžimą, įrodysime svarbią determinantų savybę. VIII. Dererminantas yra lygus nuliui, Jei kuri nors jo eilutė (kolona) yra kitų eilučių (kolonų) …
Excerpt
140 Determinantai „HN sk. 2) Determinantas a4+b k c4+d 1 2 bc | dia 1 c+d m a4b || dra 7 ba A kur a, b, c, d, k, I, m ir n yra bet kokie skaičiai, yra lygus nuliui, nes, prie pirmos kolonos pridėję trečiąją ir iškėlę daugiklį a +54+c4+d, gauname, kad > …
Excerpt
$ 16j Kramerio taisyklė 141 Čia elemento a,,(k=1,2, ---, x) daugikliai A=- 2 IN ia Ai 1k ( ) 23, Caa, E Bas Bas > B,=152, R-1, RTL... a o o, kaip ir anksčiau, reiškia perstatinio 8,, 84, +++, 8, netvarkų skaičių. Panagrinėsime, kas yra elemento a,, …
Excerpt
142 Determinantai [IV sk. eilės determinantą, tai gausime elemento a;, mincrą, kurį žymėsime M;,„ Taip iš determinanto Zil A aipi iki) Uikiai 67 Up 3 235 i lapų 2k | Gopii VE |A|= nurodytu būdu išbraukę /-tą eilutę ir £-tą koloną, gauname to ele- mento …
Excerpt
$ 16] Kramerio taisyklė 143 daugiklį A,,, perstatysime determinanto |A| kolonas taip, kad elemen- tas a,, ir visa K-ta kolona būtų pirmoje vietoje, o kitų kolonų tarpu- savio tvarka liktų tokia pat. Tai atlikę, gausime determinantą ir Ču Gia Ge ir Čia ak …
Excerpt
144 Determinantai [IV sk. Kadangi k gali turėti reikšmes 2,3, ---, m, o kai 4=1, kaip matė- me, 4, = M, tai, kai 4=1,2, ---, nm, turime A„=(—-17+ž Map (17) Įstatę tas A,„ išraiškas į (15), turėsime Ai=anAn+ > A5----- 0, As T Ap = =2, M+ 05(—1Y*Ms+-245(— …
Excerpt
$ 16] Kramerio taisyklė i 145 Norėdami determinantą išdėstyti ne pirma eilute, o bet kuria kita, sakysime j-ta eilute, turėsime tą eilutę atkelti į pirmosios vietą ir paskui išdėstyti jau mums žinomu būdu. Atkeldami 7-tą eilutę į pir- mos vietą taip, kad …
Excerpt
146 Determinantai [IV sk. U> Cip G Au Gp G14 = —Gų| 23p Up Os4 |T 005 A, Ū33 Ūzų , Gj GU43 Gg4 A Gi3 Ū44 | Uu Gp Gi4 Uu Cup Ci3 —A5gi Ag Op Oz |PŪ4 | Ap Ūzp Ops > G Up Ga4 G Op Gaz į Tas determinantas, išdėstytas trečios kolonos elementais. yra …
Excerpt
S 6] Kompleksinių skaičių trig. pavidalas 47 Kadangi argumentas turi būti mažesnis už 22, todėl “ mas 4, 4, — COS 3 Tisin DE Žiriė Beta ak (F-3)]- si a ileos (X 7)+isin 4 į 4(cos x > -: sin 1). Padauginsime ir padalysime tUos pačius kompleksinius skaičius …
Excerpt
48 Kompleksiniai skaičiai [II sk, Aukščiau įrodėme, kad ši formulė teisinga dviejų dauginamųjų atveju, todėl ji yra teisinga trijų, keturių ir aplamai 7 dauginamųjų atveju. Iš formulės (25) galime gauti kompleksinių skaičių kėlimo laipsniu formulę tam …
Excerpt
$ 6 Kompleksinių skaičių trig. pavidalas 49 Pavyzdys. Skaičių i Ti AE +=2(cos K > įsin E) cakelsime penktuoju laipsniu: 351 351 BT Tuo T 5 — 25 risin —)|=32|-cos 7 že ių «5 —2 (cos 8 --isin 8 ) 2 (cos 3 Tisin 2) Žinoma, galėtume laipsniu kelti ir …
Excerpt
50 Kompleksiniai skaičiai [Ii sk. Bet kurio laipsnio šaknies traukimui panaudosime kompleksinio skaičiaus trigonometrinį pavidalą. Sakysime, kad m-:0 Jaipsnio šaknis iš kompleksinio skaičiaus, jei ji yra kompleksinis skaičius, raib pat yra tO paties …
Excerpt
$ 6] Aompieksinių skaičių trig. pavidalas 51 0, 1, 2, ..,n—l, t. ys šaknis 805 815 Ba> > B, 7 Jos visos yra skirtingos, nes jų argumentai skiriasi mažiau negu 22, kuris yra si- nuso ir kosinuso periodas. 2 Taigi, turime Va= V r(cosą +-7sinę) = B, = Vr …
Excerpt
22 Kompleksiniai skaičiai (II sk. Tik ką apibrėžti skaičiai e, yra n-to laipsnio šaknys iš vieneto, nes kompleksiniame skaičių kūne pagal formulę (28) turime / n = 01 2k7 1 025 2 S V1= 1 (000 L isia T) =cos EE sin 8, n (L—=0,; 45 2,47 0—1) , sa šaknų …
Excerpt
Ss 7 Geometrinė interpretacija 53 Kompleksiniai skaičiai vaizduojami plokštumoje ne tik taškais. Algebroje jie dažnai vaizduojami vektoriais. Norėdami kompleksinį skaičių atvaizduoti vektoriumi, imame jo trigonometrinį pavidalą. Nuo koordinačių pradžios …
Excerpt
54 Kompleksiniai skaičiai [I1 sk. Sudedame atitinkamus vektorius pagal lygiagretainio taisyklę. Paro- dysime, kad gauto vektoriaus y projekcijos OC ir Cy į ašis T ir M yra atitinkamai lygios a, +, ir a,4-6,. Ber nes AaDy = A OBB; dėl tos pačios …
Excerpt
sa Geometrinė interpretacija 55 lygiagretainio kraštinė, prasidedanti taške O. Kadangi kompleksiniai skaičiai sudedami kaip vektoriai, tai atimčiai galime taikyti abu tuos' būdus. 6 brėžinyje pavaizduoti abu šie atimties būdai. Lygiagretainio O3ay …
Excerpt
56 Kompleksiniai skaičiai [II sk. Pirmuoju atveju, pasinaudoję 3 brėžiniu, matome, kad lygiagre- tainio Oay3 kraštinė ay yra lygi vektoriaus B ilgiui |B|. Trikampio Oay kraštinės yra |a|, |8| ir |a4-8|. Kadangi kiekvieno trikampio dviejų kraštinių suma …
Excerpt
ša Geometrinė interpretacija ua GYi Dabar pereisime prie kompleksinių skaičių geometriškos daugybos ir dalybos. ( Paprastai plokštumos vektorių daugyba ir dalyba neapibrėžiama, todėl kompleksinės plokštumos vektoriams tuos veiksmus turėsime apibrėžti, …
Excerpt
58 "Kompleksiniai skaičiai [II sk. Kompleksinius skaičius geometriškai dalysime pagal formulę T=r(eosg+ising)=4:2,— T (cos(g, — g) + isin(g) — 94). Geometriškai dalyti galime taip pat dvejopai. Dalydami abiem būdais, pirmiausia atidedame argumentą += 9, — …
Excerpt
Šš 8] Vieneto šaknys 59 Pavyzdžiai. 4 15 Panaudoję geometrinį metodą, rasime visas 1/ 4 šaknies reikšmes. Tu- rėjome ($ 6 51 psl.), kad k 4 Via=V2 (cos 2 gisin 7) (k=0, 1, 2, €). Šios šaknies argumento pagrindinė reikšmė = 0 Išbrėžę spinduliu 2 ap- …
Excerpt
60 Kompleksiniai skaičiai (I: sk. Pati »m-to laipsnio šaknies iš vieneto sąvoka arba formulė (32) parodo, kad visiems k si = 1. (33) Ši formulė gali būti ir n-to laipsnio šaknies iš vieneto apibrėžimas. Iš tiesų, jei bet kuris kompleksinis skaičius, …
Excerpt
$ 8] Vieneto šaknys 61 Daugindami dvylikto laipsnio šaknis iš vieneto, turėsime: 12) „(12 — 2012) 2012). 2(12) — (12) (26 = …
Excerpt
62 Kompleksiniai skaičiai [II sk. Koks bebūtų x, vieneto šaknų aibėje elementas e, išsiskiria tuo, kad, iš eilės keliant jį laipsniais nuo 1 iki 7, gaunamos visos n-to laipsnio šaknys iš vieneto, nes pagal formulę (35) turime: 7 CGk—1.27 75 n— 1), s1 = …
Excerpt
s 8] Vieneto šaknys 63 Dabar nesunku matyti, kad jei m, todėl, dalydami m iš m su liekana, turime m=nąA-T7, r …
Excerpt
64 Kompleksiniai skaičiai [II sk. Pastarąjį skaičių duoda Eulerio funkcija ę(m) Šios aricmetinės funkcijos reikšmės radimas yra skaičių teorijos dalykas ir mes į tai nesigilinsime, o duosime tik rezultatą. Tam reikia turėti skaičiaus m kanoninį …
Excerpt
III SKYRIUS PAGRINDINĖS ALGEBROS SĄVOKOS S 9. Pakeitimai Visos iki šiol nagrinėtos aibės buvo skaičių aibės, o veiksmai — aritmetiniai. Dabar susipažinsime su pakeitimais — aibe, kurios ele- mentai nėra skaičiai, o veiksmai net neprimena aritmetinių …