Excerpt
106 Pagrindinės algebros sąvokos [III sk. iš tikrųjų skaičių dvejetų ir nusakytam $ 5. Kadangi izomorfizmas yra tranzityvi sąvoka, tai ir visi tikrųjų skaičių kūnų praplėtimai, gauti, prijungus lygties (27) šaknį, yra tarp savęs izomorfiniai. Tuo teoremos …
Excerpt
3 12] Izomor|izmas ir homomorfizmas į 107 Jeigu grupės 6 ir 6 būtų nemultiplikatyvinės, bet adityvinės, tai sandaugų atitikimo vietoj turėtume įvesti sumų atitikimą ir parei- kalauti, kad a+6b+——> 616. Aišku, kad, kai multiplikatyvinės grupės izomorfinės, …
Excerpt
108 Pagrindinės algebros sąvokos [III sk. Žinoma, jei kokia nors multiplikatyvinė grupė yra izomorfinė adi- tyvinei grupei, tai ta multiplikatyvinė grupė turi būti Abelio grupė. Tai ir matome iš abiejų pastarųjų pavyzdžių. Jeigu tos pačios grupės vienam …
Excerpt
- 5 12] 1zomor[izmas ir homomorfizmas 109 Įrodymas. Kadangi aibė G yra uždara daugybos atžvilgiu, tai turime įrodyti asociatyvumo dėsnį. Tegu turime bet kokius tris aibės G elementus d, 6, 6. Pagal teoremos sąlygą į kiekvieną jų atsivaizduoja bent vienas …
Excerpt
"į 110 Pagrindinės algebros sąvokos [TTT sk: 3. Kompleksiniai skaičiai sudaro adityvinę grupę 8. Jei kiekvienam komp- leksiniam skaičiui priskirsime tą tikrųjų skaičių adityvinės grupės S elementą, kuris sutampa su kompleksinio skaičiaus tikrąja …
Excerpt
IV SKYRIUS DETERMINANTAI $ 13. Antros eilės determinantai Klasikinės algebros pagrindinis uždavinys, kaip minėjome, yra lygčių sprendimas. Paprasčiausios yra pirmo laipsnio lygtys, tad nuo jų sprendimo ir pradėsime. Šiame skyriuje sprendžiamų lygčių …
Excerpt
412 Deierminantai [IV sk. Priėmę, kad a,6; — a,b, 0, gauname sistemos (1) sprendinį Cb> — Cb) AC — Az S ia S AL 2 ab; —a,b, ? a,b, —a,b) (2) Pavyzdys. ? Išspręsime sistemą 3x11+4y=l1, 4x— y= 2. Šioje sistemoje reiškinys a,b; —a;5b, =3-( —1)—4-4—= —19 70, …
Excerpt
$ 13] Antros eilės determinantai 113 Grįšime prie atvejo, kai a,b;— a,b, 0. Palyginę formulių (2) vardiklius, matome, kad jie yra vienodi ir išreikšti lygčių sistemos (1) koeficientais brie nežinomųjų. Surašome tuos koeficientus į lentelę a, b, - “| Tokią …
Excerpt
114 Ueterminantai [IV sk. "Taigi, sistemos (1) sprendinį galėsime taip užrašyti: 4 6 a, 1 cb; 5 Cą E „= . (2a) a, bi a, 6; a; bp la, b; Pereisime prie antros eilės determinanto savybių. I. Dererminanto reikšmė nepasikeičia, jei jo eilutes ir kolonas …
Excerpt
kadais Š 13] Antros eilės determinantai i 115 Sakysime, kad pirmosios kolonos elementai yra dviejų dėmenų sumos, tada a 0, bi AD (a, Fi) 62 — (25-05)b, = (ų1b;— 256) 1 a b, € bi T (abs " bi) 13 4; b, C3 b; i Ši savybė dažnai naudojama, kai determinanto …
Excerpt
116 Determinantai [IV sk. Šią sistemą spręsti taip, kaip sprendėme 1 pavyzdžio sistemą, būtų nepa- togu, nes reikėtų dauginti keturženklius skaičius. Šito galima išvengti, panau- dojus determinantų savybes. Pradžioje išskaičiuojame sistemos determinantą …
Excerpt
. $ 13] „ Antros eilės determinantai | 117 Kad šios reikšmės tenkina sistemą, matome iš tapatybių 4187 —6174 + 1987=0, 7129 — 7858 + 529=—0. 3) Išspręsime lygčių sistemą su kompleksiniais koeficientais: | G+4)x-—-A)y=1—4 —3ix 1+(2—4i)y=9. Pirmiausia …
Excerpt
118 Determinantai [IV sk. 5 14. Trečios eilės determinantai Spręsdami dviejų lygčių su dviem nežinomaisiais sistemas, ma- tėme, kad determinantai padeda greičiau surasti sprendinius ir su- prastina skaičiavimą. Sprendžiant trijų lygčių su trimis …
Excerpt
$ 14] Trečios eilės determinantai 119 -- 053055015 — 255015035 4- 033015055 T 253055013) X; = = C1055055 — C1 255053 )- CoA52015 — C212033 T- C301:025 — C3020 Aj 3 Šioje lygtyje koeficientai prie x; ir x; susiprastina. "Tada | (A1059055 — A110350551- …
Excerpt
- 120 Determinantai [IV sk. Panašiai kaip ir sistemos su dviem nežinomaisiais, reiškių (6) vadinsime sistemos (42) (faib pat ir matricos AD) dererminantu ir žy- mėsime taip [lų Cis Ca5 |4A'?|= |ū3 255 255|= 011055055 1- 2150> 5033 Ą- 2132510557- O31 433 …
Excerpt
2 1 “ $ 14] i 2 Trečios eilės determinantai 121 Iš čia matome, kad narys su natūralios tvarkos antraisiais indeksais turi ženklą plius, jei pirmųjų indeksų tvarka ciklinė, ir ženklą mi- nus — jei ta tvarka neciklinė. Ciklinę ir neciklinę indeksų tvarką …
Excerpt
122 Determinantai Aso [IV sk. viršų, ir vėl, vienoje istrižainėje esančius elementus sudauginę, imame tas sandaugas su ženklu minus. Sudėję visus narius, gauname deter- minantą: , || p 2 41,0550353 +- 45,435013 -- 43,0,5055 7- 33' — Šu l50j5 — 211032453 — …
Excerpt
$ 14] “) Trečios eilės determinantai 123 Pavyzdžiai. —13(—8)-(—4)—1-(—2):0—3-12( — 12) = 136, =3-(—4)-4+(—4)-:2.412.2.121 —4-(—4):2—2.2-3—4.27( —4)= —20. TS ŠTAS a Sie S + nes atitinkami nariai su 4 17 su — gauti pagal trikampių schemą: : | DAS NS X arba …
Excerpt
ŠA “ TL MR £ A UIA Ržadiss ir Mal 124 Determinantai > [IV sk. Parodysime, kaip trečios eilės determinantą išreikšti antros eilės determinantais. Formulės (62) dešinės pusės narius sugrupuojame po du pagal pirmos eilutės elementus. Iš narių, turinčių a, …
Excerpt
en $ 14] Trečios eilės determinantai 125 Pavyzdžiai. 1) Išskaičiuokime determinantą, išdėstę jį pirmos kolonos elementais; 2 —1 0 1 —3 3170 —l 0 i Lina E = 4 —2 4 —2 4 1 —3 1 —2 4 =2-2-Ž(-441. 22 Čia pirmoji sandauga turi ženklą plius, nes indeksų suma …
Excerpt
126 Determinantai [IV sk. III savybę įrodome, išdėstę trečios eilės determinantą ta kolona arba eilute, kurios visi elementai lygūs 0, nes O ir antros eilės deter- minantų sandaugų suma yra lygi nuliui. IV savybę lengvai įrodysime, išdėstę determinantą …
Excerpt
S 14] " Trečios eilės determinantai 127 2) Išspręsime sistemą > 947x, + 841x, + 255x, = 257, 324x, — 128x, + 779x, = 782, 161x, > 183x5 > 140x, = 141. Šią sistemą sprendžiant, labai nepatogu determinantus skleisti scheminiais būdais arba išdėstyti juos …
Excerpt
128 Determinantai j [IV sk. to iš pirmų eilučių elementų atimsime trečią eilutę, padaugintą iš 2, o iš antrų — trečią, padaugintą iš 3: 2 841 255 0 475 — 25 d,=|3 —128 779|=|0 —677 359, 1 183 140| 1 183 140 BA. 32 0255 22570. — 25 d,=|324 3 779|=|-—159 0 …
Excerpt
$ 14] Trečios eilės determinantai 129 Iškšlę iš trečios kolonos daugiklį 2, gausime (žr. 127 psl.) EA 8 2 H d,= —100-2|234 11 3|=2-4= — 153600, 16-31 Sistemos sprendinys yra d d d. TT = 2 == = T Įstatę šias reikšmes į sistemos lygtis matome, kad —2, 1, 2 …
Excerpt
130 š Determinantai [IV sk. Išdėstome šį determinantą trečios kolonos elementais ir iš antros eilės determi- nanto pirmos eilutės iškeliame daugiklį 2: , 444 4461 E Iš antros kolonos elementų atėmę atitinkamus pirmos kolonos elementus, gauname …
Excerpt
S 15] n-tos eilės determinantai 131 Tegu turime kokį nors Kūną 5. Iš to kūno elementų sudarome n eilučių ir 2 kolonų lentelę Au 3 a. a; a „BS 21 622 22) (9) A 42 i Un "Tokią lentelę vadiname n-r0s eilės kvadratine matrica, o kūno 1 ele- mentus a;, — …
Excerpt
132 Determinantai = UVS ir minus, jei jis yra nelyginis. Determinantą, parašytą pavidalu (13), vadiname išskleistu determinantu, o kiekvieną sumos dėmenį su jo ženklu vadiname determinanto nariu. . Išskleidę determinantą ir atlikę veiksmus, gauname tam …
Excerpt
$ 15] n-tos eilės determinantai 133 Kai n= SK Ci A 431 determinanto Ci Ci2 43 09p 43, 233 44, 242 Oi Lis 055 05|=(— 1) 211 25505541-(— IL ai 055 0551 435 33 +(— 1) 050523 +-(— UL aps an 0554-(— 1)ž 215033 0551 +-(— 1)š 013 025 031 = Aj4 455 035 — Ci 225 …
Excerpt
134 Determinantai Žin Pastebėsime, kad »x-tos eilės determinantai patenkina visas savybes kurias įrodėme antros ir trečios eilės determinantams, ir, be to, dz kelias, kurių anksčiau neturėjome. Visas savybes mes čia iš nauj suformuluosime ir įrodysime. I. …
Excerpt
$ 15] n-tos eilės determinantai 135 ir atvirkščiai. Savybės įrodysime tik eilutėms arba kolonoms, 0 dės- nius formuluosime eilutėms ir kolonoms. II. Determinanto ženklas pasikeis, jei dvi j0 eilutes (kolonas) sukei- sime vietomis. ; Sukeitus dvi …