Excerpt
XVIII SKYRIUS KVADRATINĖS FORMOS $ 86. Kvadratinės formos ir jų dvitiesinės formos Šiame skyriuje nagrinėsime 2 nežinomųjų *;; X25 ---> 3 kvadrati- nes (antro laipsnio) formas 4 3; Ais Xi Xš (1) j,k=1 arba > Gai (2) j,k=1 su koeficientais iš tikrųjų arba …
Excerpt
$ 86] Kvadratinės formos ir jų duiliesinės formos 771 Galima nagrinėti formas, kurių matricų elementai yra iš bet kokio nulinės charakteristikos kūno B. Tuo atveju dažniausiai naudojamas kvadratinės formos pavidalas (1). Jei kūne T yra apibrėžta sujungti- …
Excerpt
Ms p TS 770 "Kvadratinės formos [XVIII sk. Paimame vektorių Ę ir 1 išraišką bazėje [w - E=x,0,2-43051---- TX, 0, = 01 V 021 > > TI A ir laikome dvitiesinę formą p(E, 7) I rūšies tiesine funkcija abiejų vektorių atžvilgiu. Tada pagal $ 59 turėsime ę(Es 1)= …
Excerpt
$ 86] Kvadratinės jormos ir jų dvitiesinės formos 773 Pažymėję naujoje bazėje ( < į dvitiesinės formos matricą A., turėsime 9 (E, = Iš]. 4; [nlž. (13) Įstatę formulių (12) reikšmes į (11) ir prisiminę žvaigždutinės opera- cijos savybes, turėsime ę(E m)= …
Excerpt
T7Ą Kvadratinės formos [XVIII sk. Analogišką reikšmę simetrinėms formoms dvitiesinėms formoms (8) turi hermitinės formos, kurioms ę= (E, 1)= ę(1; E). (20) Iš formulės (10) seka, kad p — a (E 2 a), (21) Vadinasi, bazėje f03 hermitinės formos matrica yra …
Excerpt
$ 86] 4 Kuadratinės formos ir jų dvitiesinės formos 775 Vadinasi, kvadratinės formos matrica | 3 --1 S= 3-1 —2|, Lk 2 4 todėl ją atitinkanti dvitiesinė forma Ji 9(6 M= lt > 45] S | v> |= 2 Yz = [x 3 —X55 Ix Xp --2X5 — X — 255 445] | y5 Y3 = dk —Xa91 TB Ya …
Excerpt
775 Kvadratinės formos [XVIII sk. Parašysime tą dvitiesinę formą bazėje (s,, £3, €53, kai perėjimo iš bazės ie) į bazę ( 0 Pažymėsime dvitiesinę formą «(E, 7). Kadangi jos matrica bazėje (e) yra simetrinė, tai ir bazėje …
Excerpt
$ 86] ė Kuvadratinės formos ir jų duitiesinės formos 777 Ši transformacija bus simetrinė, nes S1=(0907= (0-3 8'0'= 05071=4, ir jos simetrinė matrica bazėje 4 w ! bus S. = 05,01. Į matricą O galime žiūrėti, kaip į erdvės vektorių ortonormalinės bazės fw1 …
Excerpt
778 Kvadratinės formos [XVIII sk. kur /,, 55 -..,/, yra matricos H nuosavi vektoriai. Šį hermitinės dvi- tiesinės formos pavidalą taip pat vadinsime diagonaliniu. Vadinasi, įrodėme ir teoremą: Kiekvieną kompleksinę hermitinę dvitiesinę formą p(E, 1) su …
Excerpt
$ 87] š Simetrinės ir hermitinės formos 779 Galime parašyti kelias nesimetrines dvitiesines formas su sveikais teigia- mais koeficientais, iš kurių ši forma galėjo būti gauta: 9; (E 1)= 21 V1 144195 243925 95 (E M) = x191 31195 + *191 --2x3 925 9 (5 = 191 …
Excerpt
780 Kvadratinės įormos [XVIII sk. kurią buvome gavę aukščiau, pasinaudoję tik kvadratinės formos si- metrine matrica. Paprastai formulė (30) tam tikslui beveik visai nenaudojama, nes skaičiavimas yra gana ilgas, o simetrinės matricos gavimas yra labai …
Excerpt
$ 87] Simetrinės ir hermitinės formos 781 | i ž i g (1: = į[P6+1E1+0—96-—-0E—-)— 96 Lin, Er /m) + Tię(E— in, E — žm) L (35) Šiomis lygybėmis kai kurioms kvadratinėms formoms galima nustatyti ryšį tarp ę(E, m) ir ę(n, E). Panagrinėsime pavidalo (32) …
Excerpt
782 Kvadratinės formos [XVIII sk. Tuo pačiu mes įrodėme, kad pavidalo (31) dvitiesinė forma bus tik tada hermitinė, kai jos kvadratinė forma visų vektorių atžvilgiu yra tikrasis skaičius. Mes toliau tirsime tik tokias pavidalo (2) arba (32) kvadratines …
Excerpt
$ 88] Kvadratinių formų kanoninis pavidalas 783 Jei visi 2,,—=0, kur k=1,2,...,n, tai bent vienas a;jp, kur J7k, nėra lygus 0, nes kitaip forma būtų tapatingai lygi O ir jau turėtų kanoninį pavidalą. Jei a;, 770, tai pakeičiame koordinates, imdami X1=J;: …
Excerpt
Mei o pala ss S TS 25 ži 784 Kvadratinės formos . [XVIII sk. + X aka= an ans ka, 1, k=2 —ūjl (,x41--- -a1,1 250345 1 > > > - n + 2 in r-1 X) T "2 Ap Xi Xp 1, k=2 Gautoje p(E, -Ę) išraiškoje antrų skliaustų reiškinys su savo daugikliu n ir X aj, X; X, …
Excerpt
$ 88] Kvadratinių formų kanoninis pavidalas 785 Vėl išskiriame vieną narį su pilnu kvadratu. Taip kvadratų išskyrimą galėsime tęsti tol, kol visos naujos koordinatės kvadratinėje formoje bus tik antrame laipsnyje. Jeigu tai įvyks po 7 žingsnių, tai ę(E6)= …
Excerpt
786 | Kvadratinės formos [XVIII sk. Jos matrica 0 (00 Et Tokia transformacija, kurios matrica yra trikampė, pati yra vadinama trikampe. Iš XIII skyriaus transformacijų teorijos žinome, kad koor- dinačių transformacija ir bazės elementų transformacijų …
Excerpt
4 Ė2 turėsime kanoninį pavidalą $ 881 Kvadratinių formų kanoninis pavidalas 787 kur 7 yra matricos H rangas, o visi 4, 45 +-3x5 1-4x2 1+4x,x, — 8x, 43 1- Xp Ay. Šios kvadratinės formos matrica Do ži EMEA) 1 = 5 4 todėl ji yra neišsigimusi ir jos kanoninis …
Excerpt
788 Kvadratinės formos [XVIII sk. Šio pavidalo kvadratinės formos matrica 2 0 0 010 0 Gi 020 yra diagonalinė ir neišsigimusi. Galutinė transformacija, kuri koordinačių sistemą x4; X;; X4 pakeičia į 245 Zą> Z, yra 1 27=M+5 X; — X35 1 3 Z,= Atis 1 Zį= 170 …
Excerpt
$88] Kvadratinių formų kanoninis pavidalas 789 Formos matrica —2 6 —12 Kadangi matricos S rangas yra 2(! S|= 0), tai jos kanoninis pavidalas turės tik du narius. Formą pertvarkome taip: F= (xi — 25115 — 4x,4x5) + 12xp x, — 1242 —= = (41 —*3 — 2x5)? — 13 L …
Excerpt
790 A SE Kvadratinės formos [XVIII sk, Bazės keitimo matrica T-(WVy= o gautos hermitinės formos matrica Sio dakai so Zi 4 9-3 |-zLia 2 5) Rasime kompleksinės simetrinės kvadratinės formos O, =2xį 1 4ix x, -(2—1) 12 kanoninį pavidalą. O, =2(13 1+2ix1x1) …
Excerpt
$ 88) Kvadratinių formų kanoninis pavidalas 791 vadinsime kvadratinės formos ę(E, Ę) matricos, arba kvadratinės for- mos ę(Ė, Ę) vyriausiais minorais bazėje Į wį. Tegu nė vienas jų nėra lygus nuliui, t. y. A,750 (L=1,2,..., m). Įrodysime teoremą: …
Excerpt
792 Koadratinės formos [XVIII sk. ir k E) = plej Ei 01 pa T I Eko Opa T pk 05) = = tao 0) p pls 0) T T pk 9(ep> 05) + + pole 05)= 0. Kadangi forma 4ę(E, £) yra simetrinė, tai iš p(e;; =,)— 0 turime ą(ep; €;)=0, todėl sąlyga (49) yra tolygi sąlygoms (48). …
Excerpt
$ 88] Kvadratinių formų kanoninis pavidalas 793 Išsprendę ją, turėsime E i ris IB Lisas 4; "A Lione A 3 T A, == Aš . Toliau taip pat sprendžiame sistemas, iš kurių gauname vis naujus f, Pavyzdžiui, ieškodami e; (/ fiksuotas), turėsime sistemą el di Tija …
Excerpt
794 Kvadratinės formos [XVIII sk. Įstatę į šią kvadratinę formą vietoj antrojo vektoriaus Tj 10-11 Ųj0j)= = tipe 01) + ap (aj 0) > > > Tj 19085 051) T-€ 159 (6p> 0;)- Panaudoję sąlygas (49) ir (50), turėsime Ir= Ij (= 1, 2. o) n). Iš čia pagal lygybę (53) …
Excerpt
£ 88) Kvadratinių formų kanoninis pavidalas 795 Ji yra neišsigimusi ir jos visi vyriausieji minorai i —2 —2 5 A, =l, 4, = =1, 4,=|A|= —3 nelygūs nuliui, todėl jos kanoninį pavidalą galime gauti pagal formulę (46). Jis yra 1 96 E) =uį -u —- > 45. 2) …
Excerpt
796 Kvadratinės formos (XVIII sk. Formos matrica yra 2. B LTA0 3445-0592 I- 02251 OK-2-0422 o vyriausieji minorai — Ž 4 A,=2, „| 6 EE 2 A=|3 4 0|=—6 Ą=[S|= —24, 4. 1-0 bi taigi, F-> -4rR Aid aii d- -L4-L4i2 aig a $ 89. Kvadratinių formų inercijos dėsnis …
Excerpt
$ 89) Kvadratinių formų inercijos dėsnis 797 Tegu yra duota rango 7 kompleksinė kvadratinė forma 96 O= X, Šat 1, K=1 | Kaip besuvestume tą formą į kanoninį pavidalą, visada gausime ę(b = > Lb į (57) k=1 kur visi /, yra nelygūs nuliui kompleksiniai …
Excerpt
798 1 Kuvadratinės formos [XVIII šk. Dabar pereisime prie tikrųjų ir hermitinių kyadratinių formų. Tokio paprasto normalinio pavidalo šioms kvadratinėms formoms ne- gausime, nes kanoninio pavidalo koeficientai /; jau yra tikrieji skai- čiai, o iš jų …
Excerpt
$ 891 Kvadratinių [formų inercijos dėsnis 799 Todėl į klausimą pilnai atsako kvadratinių formų inercijos dėsnis, kurį toliau įrodysime. Jis sako, kad teigiamų narių skaičius yra kvad- ratinės formos invariantas. Prieš įrodydami tą dėsnį, įrodysime bendro …