Excerpt
158 VIII. Diferencialinių lygčių sistemos kai išpildytos $ 20 3 teoremos sąlygos, turi sprendinį Y=Y( X Yo Vos Yo 5 ISO), (11) tolydiškai priklausantį nuo pradinių reikšmių X4> Vos Yo ---> »V—U. Tos pačios lygties (11) bendrąjį sprendinį, ati- tinkantį $ …
Excerpt
IX SKYRIUS AUKŠTESNIŲJŲ EILIŲ DIFERENCIALINĖS LYGTYS $ 22. Kvadratūromis išsprendžiamos aukštesniųjų eilių lygtys 1. Aukštesniųjų eilių diferencialinių lygčių sprendiniai egzis- tuoja gana bendromis sąlygomis, tačiau išreikšti šiuos sprendinius baigtine …
Excerpt
160 IX. Aukštesniųjų eilių diferencialinės lygtys lygties (1) sprendinys (3) virsta š, x E š y= [af dra až J roats (4) Išvesime formulę, išreiškiančią n kartų kartotinį integralą (4) vienu paprastu integralu. Pažymėję šį integralą I-(x), turime, kai n=2, …
Excerpt
$ 22. Kvadratūromis išsprendžiamos aukštesniųjų eilių lygtys 161 Matematinės indukcijos keliu įrodysime bendrą formulę LG) = 757 [ (OE-D 46. 6 Kaip rodo lygybė (5), formulė (6) yra teisinga, esant n=2. Laiky- damai, kad ji teisinga tam tikram n ir …
Excerpt
162 ; IX. Aukštesniųjų eilių diferencialinės lygtys kuria pasinaudoję, galime parašyti Koši uždavinio sprendinį (3) su viena kvadratūra: IE Ši pr + i KO 45, ) turintį Teiloro formulės su liekamuoju nariu pavidalą. Laikant y4> VY» > VVP laisvomis …
Excerpt
$ 22. Kvadratūromis išsprendžiamos aukštesniųjų eilių lygtys 162 2. Diferencialinę lygti y) = f (yt—D), (11) pakeitimu y“—D=z, suvedame į lygtį (su atskiriamais kintamai- siais) = =f(2), kurios sprendinys, kai f(z)Z0, yra dz | T) =x*1+C1 (12) ir, įstatę …
Excerpt
$ 22. Kvadratūromis išsprendžiamos aukštesniųjų eilių lygtys 165 2 pavyzdys. Rasti lygties y“21+y72=1 bendrąjį sprendinį ir ištirti, ar lygtis neturi dar kitų sprendinių. Parašome duotą lygtį (14) pavidalu: y =sints 94 — cost Panaudoję lygybę dy“ = y“ dx, …
Excerpt
166 IX. Aukštesniųjų eilių diferencialinės lygtys Integruodami gauname y ir, prirašę x, turime bendrąjį sprendinį a 1 +—alnlt[ GO S 5 TSC Iš pirmosios lygybės išreiškę : = + < Z— “1 =“ įstatome į antrąją, Ž x—C, ta > 5 | Kiske G Integralinės linijos yra …
Excerpt
168 IX. Aukštesniųjų eilių diferencialinės lygtys Pertvarkę gautąjį energijos integralą dę |? E A (=) = 7-7 Bie (20) ištirsime tris jo atvejus: De> 2. Esant tokiam (pakankamai dideliam) kampiniam pradžios grei- čiui, dešinė lygybės pusė visą laiką lieka …
Excerpt
: $ 23. Eilės pažeminimo atvejai. Tarpinis integralas 171 Taigi, radę tarpinį integralą, suvedame duotos diferencialinės lygties sprendimą į žemesnės eilės lygties sprendimą, pažeminame lygties eilę. ę Ištirsime eilę atvejų, kuriais galima pažeminti …
Excerpt
as 23. AT Eilės pažeminimo atvejai. Tarpinis integralas 173 „Suprastinus kairėje pusėje išnyksta u, todėl pakeitimu = (8) gauname n— 1 eilės lygtį F(x 15 5-5 sa Tokiu pat būdu ieškotume sprendinių y = 0. (9) „Kairė šios lygties pusė patenkina tapatybę 1 …
Excerpt
174 IX. Aukštesniųjų eilių diferencialinės lygtys kur daugtaškis formulėje reiškia praleistą tiesinę mažesnės už k eilės y išvestinių funkciją. Formulę (12) patikriname matematinės indukcijos keliu, dar kartą ją diferencijuodami x-u ir gaudami analogišką …
Excerpt
$ 23. Eilės pažeminimo atvejai. Tarpinis integralas 175 Sujungę abu minėtus pakeitimus į vieną, turime, išreiškę X ir y: x=eš, y=ue5- Šiam pakeitimui atlikti skaičiuojame y išvestines, įstatydami m dyla d, ALpAS e = Tūx dę dx (ueš)= 7 2 4 dy > ė o ar e a …
Excerpt
176 IX. Aukštesniųjų eilių diferencialinės lygtys Eulerio teorema. Tegul n eilės diferencialinis reiškinys F(x, y, V", y", —--, Y0)) yra, kai …
Excerpt
178 IX. Aukštesniųjų eilių diferencialinės lygtys galiojančia, ir jis turi patenkinti sąlygą (17). Iš lygybės (17), istatę (A Ž S A dun į ją vietoj F reiškinį F-—- £ ir pertvarkę, gauname: EK BS 45) = LG (7-5 0 dk dx | Oy“ 2) dpsiNops dg | T ala 0 | dun - …
Excerpt
6 23. Eilės pažeminimo atvejai. Tarpinis integralas 179 Gavome sąlygą, analogišką lygybei (17), ir tuo pačiu įrodėme są- lygos (17) būtinumą. Antra vertus, jei F=F(x, y, y, --„yU*) tapatingai patenki- na sąlygą (27), tai iš jos turime lygybę 02F 0 (yC+132 …
Excerpt
180 IX. Aukštesniųjų eilių diferencialinės lygtys reiškinys F(x, y, VY, „> y?) patenkinąs sąlygą (17), tai r nepriklauso nuo y“? ir iš jo išskaičiuojame n—1 eilės reiškinį — 0F ži 7 £ ma [256 Du 1 (6 Mar Oa a se y. Kaip rodo formulė (25) (pakeitus joje n …
Excerpt
r $ 23. Eilės pažeminimo atvejai. Tarpinis integralas 181 iš kurio padauginta lygtis (15) patenkina sąlygą (17). Turėdami lygties (14) integruojamą daugiklį, galime rasti jos pirmąjį inte- gralą. Kai n=1, tokius daugiklius buvome nagrinėję $ 7. Padauginę …
Excerpt
182 IX. Aukštesniųjų eilių diferencialinės lygtys Įstatę į duotąją lygtį, gauname pirmos eilės diferencialinę lygtį 5ą*—3z4 SL=0, iš kurios, atskirdami Euikšinuoss dą 5 dz 5 5 > > MM p MI Pllė L az ir įstatę g=z', turime pirmuoju būdu gautą lygybę 5 3 …
Excerpt
SS, Eilės pažeminimo atvejai. Tarpinis integralas 183 Kai p3z0, suprastinę p, gauname Klero lygtį 42 (22 B D dy dy)? kurios bendrasis sprendinys yra 2= Cy— Ci. | (31) Surasime tos pat Klero lygties pavienį sprendinį — kreivių šeimos (31) gau- biamąją. Tam …
Excerpt
184 IX. Aukštesniųjų eilių diferencialinės lygtys Konstantai C rasti turime dvi lygtis, turinčias bendrą šaknį C=—2, iš kurios gau- name dar vieną Koši uždavinio sprendinį i ė 6 b) Istatę pradines sąlygas y(0)=2, y/(0)=—3 į bendrąjį sprendinį (33), turime …
Excerpt
188 X. Normalinės tiesinių diferencialinių lygčių sistemos Įrodėme, kad normalinė tiesinių diferencialinių lygčių sistema (1) nekeičia savo bendro pavidalo, tiesiškai pakeitus priklausomus kintamuosius, be to, tiesinių homogeninių lygčių sistema (2) …
Excerpt
iš 24 Tiesinių homogeninių lygčių sistemos 189 Kitoms homogeninės sistemos (7) savybėms gauti, parašome ją 1matricų pavidalu: dY į pažymėję | > | Pu (x) > Pin (X) gle ep i Vn Pa (3)> ae D. (X) 2 teorema. Jei yra duota m homogeninės sistemos (8) sprendinių …