Excerpt
260 XI. Tiestnių diferencialinių lygčių sistemos su pastoviais koeficientais Prilyginę vienodų x laipsnių narių koeficientus, parašome koefi- cientams-g+ apskaičiuoti algebrinių lygčių sistemą | FP (0) + FUD (0) + FUD)... + FP (0)=D0 | 1 I 21. a("T)PP0)+a …
Excerpt
$ 29. Specialaus pavidalo tiesinių nehomogeninių lygčių sistemos 261 polinome, esančiame (12) pavidalo sprendinyje (šiuo atveju — me- namame), realią ir menamą dalį. Įstatę į lygtį (26) jos sprendinį (27) ir pakeitę abi lygybės puses sujungtinėmis …
Excerpt
262 XI. Tiesinių diferencialinių lygčių sistemos su pastoviais koeficientais Kada 0 nėra $ 28 (13) pavidalo charakteringosios lygties JA — DA a AO Ba Lan Dj AS AB 0 (33). šaknis, lygtis (32) turi y=* 0, (In x) 4 pavidalo sprendinį, kur O+(In x) yra ne …
Excerpt
264 XI. Tiesinių diferencialinių lygčių sistemos su pastovlais koeficientais Įstatę Koši uždavinio sąlygas (37), turime apibrėžtinę algebrinių lygčių sis- temą K — 5 44C, 4 »(0)=-2C,+C,+4C,-1=1, K0— 0-1 Gr1i=4 Apskaičiavę konstantas ir gavę C;=1, C> =0, …
Excerpt
4 - | $ 29. Specialaus pavidalo tiesinių nehomogeninių Tygčių sistemos 265 iš kur v kB GB Sa AE ir iš bendrojo sprendinio (47) parašome ieškomąjį sprendinį: : A y=y,cosar+ 20 sin at + Za (coskt —cosai)+ B 3 ks T= rų (sia EA Pin at). (48) 2 atvejis. k=a …
Excerpt
XII SKYRIUS ANTROS EILĖS TIESINĖS LYGTYS $ 30. Antros eilės tiesinių lygčių prastinimas Panagrinėsime antros eilės tiesinių homogeninių diferencialinių lygčių suvedimą į specialius pavidalus, kurie dažnai taikomi šioms lygtims spręsti ir jų sprendiniams …
Excerpt
268 XII. Antros eilės tiesinės lygtys Išsprendę šią lygtį u(x) atžvilgiu, randame: p= ži a 6) Nagrinėjamu atveju pakanka imti vieną sprendinį. Formulėje (5) imame C=1. Padauginę lygtį (1) iš gauto daugiklio u(x), turime: [rod š [PG)dx [PG dx V"1 P(x e y …
Excerpt
270 XII. Antros eilės tiesinės lygtys Funkciją u(x) parenkame taip, kad koeficientas prie z' būtų ly- gus nuliui, t. y. 2u“ (x) — “1 P(x)=0. u(x) Šios lygties bendrame sprendinyje S Ža 22 Iro dx imame C=1. Tada turime sprendinį a (17 iš kur u(x) = — = …
Excerpt
Š. 30. i Antros eilės tiesinių lygčių prastinimas 271 Nesunku įsitikinti, jog antros eilės dviejų diferencialinių lyg- čių invariantų lygybė yra būtina ir pakankama sąlyga, kad vieną iš tų lygčių (15) pavidalo pakeitimu suvestume į kitą lygtį. Kai K(x) — …
Excerpt
272 XII. Antros eilės tiesinės lygtys Įstatę pakeitimą (25) į lygtį (14), turėsime: R(x) 5 P(x) | y'=72; 1] y=ye'+2, L =y [+2+P0=+R60]=0. Padalinę šią lygybę iš y ir sutvarkę narius, tikrai gauname Rikačic lygtį: z = — [+ P6)=+ RG). (2 Taigi pakeitimas …
Excerpt
274 XII. Antros eilės tiesinės lygtys Atsižvelgę į formulę (20), turime pakeitimą 1 dx x Zz y=e E (33) kuris lygtį (31) suprastina: 4 + 1-—Ž- z=0. (34) Kai E + pakeitimas (33) redukuoja atitinkamą Beselio lygtį 1 Ay++(2-4)5=0 (35) į lygtį E z—0); kurios …
Excerpt
š 30. Svyruojaniieji ir nesvyruojantieji sprendiniai 275 n = m +. 4 pavyzdys. Išspręsti lygtį xy"—2y' 4+2xy=0. 3 (39 Šiuo atveju P(x)= — Ž. Be to, nesunku pastebėti, jog y;=x yra: duotos lygties sprendinys. Taigi, pasinaudoję formule (23), randame …
Excerpt
276 XII. Antros eilės tiesinės lygtys yra funkcijos (5) nulinės vietos. Atstumas tarp šių bet kurių abiejų T gretimų taškų yra lygus r. Be to, kiekviename intervale (a, b), kurio ilgis b-a> 7, egzistuoja lygties (2) bet kurio sprendinio bent viena nulinė …
Excerpt
$ 3t. Svyruojantieji ir nesvyruojantieji sprendiniai 277 pavidalo lygčių tyrimu, nes, kaip anksčiau matėme (žr. $ 30), pa- keitimu y=u(x)2, kur LI p no, bet kurią Po) V + PL) V B () y =0 (10) pavidalo lygtį galime suvesti į (9) pavidalą. Be to, …
Excerpt
278 XII. Antros eilės tiesinės lygtys * lo. Nenusižengdami bendrumui, šiame intervale galime imti vyi(x)> 0, nes priešingu atveju imtume sprendinį — y;(x). Turime Yi(Xo) > 0, nes y; į dešinę nuo x, didėja. Be to, y; (x4) Z0, nes prie- šingu atveju būtų …
Excerpt
$ 31. Svyruojantieji ir nesvyruojantieji sprendiniai 279 jeigu būtų, pavyzdžiui, y»(Xo) =0, tai turėtume W(xo)=0, kas prieš- tarautų Vronskio determinanto žinomai savybei. Kadangi W (x) nevirsta nuliu, tai ši funkcija yra pastovaus ženklo; leiskime, kad W …
Excerpt
280 XII. Antros eilės tiesinės lygtys ir jų atskiri tiesiškai nepriklausomi sprendiniai: AL — cos. 12 SUS (17) 21 C08217. > > SinJ+ (18) Pasinaudoję formulėmis (12) ir (13), įsitikiname, jog tarp bet kurių dviejų lygties (15) bet kurio iš sprendinių (17) …
Excerpt
Š.a1. Svyruojantieji ir nesvyruojantieji sprendiniai 281 arba . (91 21—2191) = [0: ()=0, G)) Y121- Padauginę šią lygybę iš dx, ją integruojame atkarpoje [X0, Xi]: x. [0210-2105 0|L-> = i [0-0 0710 216) dx. Kadangi yi(xo)=y1(x:)=0, tai iš čia gauname: Vi …
Excerpt
282 XII. Antros eilės tiesinės lygtys 1 3 . Anksčiau matėme, jog lygties (2) bet kurio sprendinio dviejų gretimų nulinių vietų atstumas yra lygus -- Lygtį (19) pakeitę lygtimi | y +my=0, o lygtį (20) — duota lygtimi (9) ir atsižvelgę į palyginimo teoremos …
Excerpt
Ž | | ; sai Svyruojantieji ir nesvyruojantieji sprendiniai 283 2 2 patenkina sąlygas: O(x)> I, jei n* < 2 I O(x) 7 1 0(+)= Lo n= == Di Palyginę lygtį (24) su lygtimi y"+y=0, matome, kad lygties (22) bet kurio sprendinio dviejų gretimų nulinių vietų at- …
Excerpt
284 XII. Antros eilės tiesinės lygtys $ 32. Tiesinių diferencialinių lygčių sprendimas eilutėmis. Beselio ir hipergeomeirinė lygtys 1. Išreikšti antros eilės tiesinių diferencialinių lygčių su kinta- mais koeficientais bendrus sprendinius elementariomis …
Excerpt
$ 32. Tiesinių diferencialinių lygčių sprendimas eilutėmis 285 Matome, kad nelygūs nuliui koeficientai yra išreikšti pirmai- siais koeficientais d; ir a,, kurių gautos lygtys neapibrėžia. Vadi- nasi, šie du koeficientai yra laisvos konstantos. Įstatę …
Excerpt
1 286 XII. Antros eilės tiesinės lygtys | čių metodu suvedame į jau išnagrinėtą atvejį. | 4 Tada pakeitimu x—a=Ę lygties (1) sprendimą laipsninių eilu- | Pastebėsime, jog nurodytu metodu galime spręsti bet kurios eilės tiesinę diferencialinę lygtį. Tik …
Excerpt
"—" $ 32. Tiesinių diferencialinių lygčių sprendimas eilutėmis 287 Ištirsime sprendinį, atitinkantį reikšmę r,=n, tuo atveju, kai n nėra sveikas skaičius. Lygties (6) sprendinį taško x=0 aplinkoje ieškome apibendrin- tos laipsninės eilutės pavidalo į ao = …
Excerpt
288 XII. Antros eilės tiesinės lygtys Išskaičiuotas koeficientų reikšmes įstatę į formulę (8), gauname:: co =" AA 1 Yv 4, ži 2 2 "Ei S jai) er (10) kur ad; — laisvai parenkama konstanta, o eilutė konverguoja visoje x ašyje. Tokiu būdu, funkcija (10) yra …
Excerpt
E $ 32. Tiesinių diferencialinių lygčių sprendimas eilutėmis 289 Sprendiniai (12) ir (13) yra tiesiškai nepriklausomi. Tokiu būdu, kai n nėra sveikas skaičius, funkcija v= CJ, (x) + GC: J (X) (+ 70) yra Beselio lygties (6) bendrasis sprendinys. Jeigu n …