Excerpt
rių E ir 7 koordinačių eilutes fiksuotoje bazėje 6,, 8,, ..., 8,, sudarykime dvie- jų vektorinių argumentų skaliarinę funkciją (Ė, 7)g= 2 2 bij Xi Vj. (6) i=1 j=1 Jei £' — bet koks erdvės V, vektorius, kurio koordinačių eilutė minėtoje bazėje yra“ (5.52 …
Excerpt
ž ! Ė R Kitaip tariant, kvadratinė funkcija (£)F yra vieno vektorinio argumento skaliarinė funkcija, gauta iš dvitiesės funkcijos (š, 1)/ sutapatinus abu jos argumentus. Įrašę į (9) lygybę 1= £, randame (, £)A=(E, £)f. Todėl kvadratinę funkciją (£)F …
Excerpt
$ 57. Kvadratinės formos kanoninė išraiška Imkime bet kokią 7 kintamųjų kvadratinę formą virš kūno K: Dodo 25 E A € a;; X; Xi. (1) i=1 j=1 X Pažymėję jos matricą raide A, o kintamųjų stulpelį ( ) — raide X, tą kvadratinę formą galime užrašyti šitaip: Xn 7 …
Excerpt
Tikrai, pakeitę (4) formulės kintamuosius y,, ..., y, kintamaisiais Z4, +; Zz, pagal formulę FBZ (5) (čia B — n-osios eilės kvadratinė matrica su elementais iš kūno K, o ZT= =(Z1: .--; Z,)), iš (4) ir (5) formulių gauname lygybę K (CB (6) Kadangi CB yra …
Excerpt
formai g (j1, --., V,„), tai tų formų kintamųjų stulpeliai X ir Y susieti lygybe X=CY, kurioje C yra neišsigimusioji matrica. Iš čia Y= C-1X. Todėl g(y,, AV) (64,52). "Pagaliau išspuielaidos: f; 52 E 015 VA) AC gs 5 V)Z AZ, -, Z,) išplaukia šitokios …
Excerpt
kvadratinės formos (1) išraišką galime pertvarkyti į šitokią: T Gi A) An (i Taa. Tais) TE Aa (9) n—1 kintamojo kvadratinei formai g (x;, ..., X„) tinka indukcijos prielaida, todėl yra neišsigimęs tiesinis kintamųjų keitinys virš kūno K | Us S Div — 2.1), …
Excerpt
f(45 ---, X,) užrašysime nario 2a,5x;x5 ir narių, į kuriuos neįeina bent vienas iš kintamųjų x;, X;, suma. Tiesinio kintamųjų keitinio X. — Zi Za X, =Zį+ Z3, (14) 2 GTR matricos determinantas e —e 0 „0| e e 0 „d gas G Vigi) = 2670 (nes e — nelygios 2 …
Excerpt
Todėl f (as Aa, X) = (ks 4-2x1)*— 2xi 1-X5 + 31 Aa. Po to grupuojame narius su A3: 3 Rai fa Xa, > G Da) (i Ža) i 2 3 a 0 Pažymėję y;=AX4, Ya=X- + 20 Y,=AX54-2x,, gausime kvadratinės formos f (x4, Xa, xx) ka- noninę išraišką: 17 fk O Yo Ya)= p VIVA TVS 2. …
Excerpt
X,=i o tiesiniu kintamųjų keitiniu Ar — kanoninę išraišką 7; (r, £5)= i 2 =61:3—2tž. Todėl kyla klausimas, kada tos išraiškos yra kongruenčios. iame paragrafe iš pradžių suformuluosime kvadratinių formų su komplek- siniais koeficientais, po to ir …
Excerpt
pr fa (ar, TPA) ŽELESA a G O EN E 5 2 E Kvadratinių formų kongruentumas yra ekvivalentumo sąryšis, todėl Jas sa aa X) TE (is CM] 2) Sąlygos būtinumas išplaukia iš 57 paragrafo 3 teoremos. Jei kanoninės realiosios kvadratinės formos nenuliniai koeficientai …
Excerpt
3 teorema (realiųjų kvadratinių formų inercijos dėsnis). Realiosios kvadra- tinės formos normaliosios išraiškos teigiamų kvadratų skaičius nustatomas vienareikšmiškai. Įrodymas. Sakykime, r-ojo rango (r > I) realioji kvadratinė forma /(x;, x,„) turi dvi …
Excerpt
Jos lygčių skaičius k4+2—/=n—(!—k) mažesnis už n, todėl (11) lygčių siste- ma turi nenulinį (realųjį) sprendinį X1=C1, Xa= Ca, 5 Xn= Cn: (12) Tada ž a;;C;= 0 (A 24 | k), (13) j=1 ir s. bijo; 2006 L mi) (14) j=1 (12) sprendinį įrašykime į (9) ir (10) …
Excerpt
APM 1 išvada. Realiosios kvadratinės formos normalioji išraiška nustatoma viena- reikšmiškai. Įrodymas. Teiginys teisingas, kai kvadratinė forma yra nulinė. r-ojo ran- go (r> 1) realiosios kvadratinės formos f(x;, ..., X„) normalioji išraiška yra suma r …
Excerpt
$ 59. Teigiamai apibrėžtos kvadratinės formos Aptarsime realiąsias kvadratinės formas, kurių įgyjamos reikšmės yra ne- neigiamieji skaičiai. Realioji kvadratinė forma f(xį, , Xs) = x; +2x54+3x3 yra teigiamai apibrėžta, nes f(c;, C> , C5) > 0, kai X1=C4, …
Excerpt
Pastaroji kvadratinė forma, kaip 2 kvadratų suma, yra teigiamai apibrėžta. Remiantis 1 teorema, teigiamai apibrėžta ir kvadratinė forma f(x4, --., X,). Dabar tarkime, kad realiosios kvadratinės formos f(x4, ..., x„) teigiamasis indeksas p(f) mažesnis už …
Excerpt
Vieno kintamojo realioji kvadratinė forma f(x,)=a,,x; yra teigiamai api- brėžta tada ir tik tada, kai yra teigiamas jos vienintelis pagrindinis minoras M,=a,, todėl tai formai tinka teoremos teiginys. Tarę, kad teiginys teisingas visoms 7 — 1 kintamojo (1 …
Excerpt
Tada tiesinis kintamųjų keitinys n-1 Sa a ina 4 (12) X. =JYn taip pat neišsigimęs, nes jo matricos determinantas lygus (11) kintamųjų kei- tinio matricos determinantui. Pritaikę (12) kintamųjų keitinį (9) kvadrati- nei formai, gausime jai kongruenčią …
Excerpt
Uždaviniai 1. Lagranžo metodu raskite kvadratinių formų kanonines išraiškas ir užrašykite tiesi- nius kintamųjų keitinius, kuriuos atlikus gautos minėtosios išraiškos: a) f (41, Xx. Xs)=2x3 143 +4x5 — 41 Aa — ŠA Aa, b) f, Aa, Xs)= XI —- 3Xa Aa. …
Excerpt
IX SKYRIUS EUKLIDO ERDVĖS Svarbiausios vektorinės erdvės sąvokos yra susijusios su geometrijos sąvo- komis, tiksliau su geometrinio vektoriaus sąvoka. Iš analogijos geometrinių vektorių veiksmams apibrėžėme vektorinės erdvės vektorių sudėtį ir daugybą iš …
Excerpt
3 išvada. Euklido erdvės nulinio vektoriaus 0 ir bet kokio jos vektoriaus x skaliarinė sandauga lygi 0. Kadangi 0=0x, tai 0-x=(0x)-x=0 (4 -x)=0. 4 išvada. Euklido erdvės vektoriaus « skaliarinis kvadratas lygus nuliui tada ir tik tada, kai tas vektorius …
Excerpt
Pastovų daugiklį galima iškelti prieš integralo ženklą, todėl 1 1 (CE) * 1= [ cE (A) N(x)dx=c / EO)nO)dx=c(EŽ+1) (VeeR). 0 0 Iš prielaidos = (x)*0 išplaukia, jog galima nurodyti atkarpa [a; 5] (0 0. 0 a 3. Aritmetinėje erdvėje R" apibrėžtos realiosios …
Excerpt
S 2. a;b; + Ž c;b;=40B-+-yo B. i=1 i=1 Padauginę vektorių x iš bet kokio realiojo skaičiaus c, gauname cx4= n - 5 (ca;) a;. Todėl i= 1 (c4)+B= > . (ca)b;=c NY, a; b;=c (ko B). i=1 i=1 Ho iš prielaidos «+0 išplaukia nelygybė > a; > 0, rodanti, jog «04 = …
Excerpt
2 teorema (Koši—Buniakovskio! nelygybė). Be: kurių Euklido erdvės vek- "torių « ir B porą sieja nelygybė |4-8] 0. Remdamiesi skaliarinės daugybos 1—3 aksiomomis, gauname (x -x)x?+2(+-8)x+8-8> 0. Kvadratinis trinaris su realiaisiais koeficientais yra …
Excerpt
Jei Euklido erdvės vektorių « ir B skaliarinė sandauga lygi O, tai jie vadinami tarpusavyje ortogonaliais vektoriais ir rašoma «x | B. Bet kuris iš tarpusavyje ortogonalių vektorių vadinamas ortogonaliu kitam vektoriui. 1 išvada. Euklido erdvės nulinis …
Excerpt
Iš čia, remdamiesi indukcijos prielaida 8,0, randame = —(x4-8)/(B; > B;) (j=1, | n— |). (4) Taigi vektorius n-1 B.=4— 2, Ke: BD/(B:- 801 B; (5) i=1 yra n-asis ortogonaliosios nenulinių vektorių sistemos vektorius. Pagal 1 teoremą vektoriai 84, ..., 8, …
Excerpt
Euklido erdvės bazė vadinama ortonormuotą ja, kai jos vektoriai sudaro or- tonormuotąją sistemą. Toliau erdvės E, ortonormuotąją bazę …
Excerpt
Padauginę abi pastarosios lygybės puses skaliariškai iš vektoriaus …
Excerpt
Taigi ortogonalioji matrica (ir tik ji) yra Euklido erdvės ortonormuotosios bazės keitimo ortonormuotąja baze matrica. Išvada. Ortogonaliosios matricos determinantas lygus -+-1 arba —1. Įrodymas. Ortogonalioji matrica O tenkina (13) lygybę. Paėmę abiejų …
Excerpt
Iš čia (D bi a4)=0 (= ne m Šios lygybės rodo, kad vektorius B= = b;c«; yra ortogonalus kiekvienam iš i=1 vektorių a,, .-., €4,„, taigi ir tų vektorių tiesiniam apvalkui L (24, ..., 4 „).Ka- dangi 8 yra to apvalko vektorius, tai 8=0. Todėl vektorių sistema …