Excerpt
„BvVV“ Ku 270 Ž 740 Tiesinės transformacijos unitarinėje ir euklidinėje erdvėje [XVII sk. Įsitikiname, kad a tikrai yra abiejų transformacijų nuosava reikšmė, atitinkanti nuosavą reikšmę I (abiem transformacijom): [2 “le =[tlL A =[22, —a, —2a]= 1 Itl0> …
Excerpt
$ 82] į * Normalinės transformacijos 741 todėl ž e, SL =(1— 21) E15 s, D =(—4—2iją,, , …
Excerpt
742 Tiesinės transformacijos unitarinėje ir euklidinėje erdoėje [XVII sk. kur a, b ir c yra bet kokie tikrieji skaičiai. Tie trys vektoriai tikrai yra "tie- siniai nepriklausomi. Jie yra abiejų matricų nuosavi ve ktoriai, atitinką skirtingas nuosavas …
Excerpt
$ 82] ) Normalinės transtormacijos 743 Transformacijos €J( nuosavą reikšmę 3 atitinkantį nuosavą vektorių ran- dame iš lygčių sistemos ) 2x, 1+-2x5—=0, 0=0, —2x, +-2x,=0. Šios sistemos determinantas lygus 0, o jos sprendinys: yra x, = x =0, O x, bet koks. …
Excerpt
744 Tiesinės transformacijos unitarinėje ir euklidinėje erdvėje [XVII sk. 7. Tikroji transformacija O, kurios simetrinė matrica ortonormalinėje ba- 2G E ABB 2.18 B Leo A g A yra normalinė. Rasime bazę, kurioje tos transformacijos matrica bus diagonaline. …
Excerpt
$ 83] S Sau sujungtinės transformacijos 745 Euklidinės erdvės sau sujungtines transformacijas žymėsime 6. Pagal apibrėžimą 9'= J. (29) Kiekvienoje ortonormalinėje bazėje fe) hermitinės transformacijos matrica yra hermitinė. Iš *— XX seka bazėje …
Excerpt
746 Tiesinės transformacijos unitarinėje ir euklidinėje erdvėje [XVII sk. Euklidinės erdvės simetrinei transformacijai panašiu būdu teoremos įrodyti negalima, nes normalinė transformacija gali visai neturėti nuo- savų reikšmių. Toje erdvėje teorema …
Excerpt
$ 83] "Sau sujungtinės transformacijos ; 747 Vadinasi, sau sujungtinės transformacijos Keičia vektorių ilgius — „,iš- tempia“ ar „suspaudžia“ pačią erdvę įvairiomis kryptimis. Jei kurios nors nuosavos reikšmės J, ar s; yra nuliai, tai ta kryptimi vektorių …
Excerpt
+ r 748 Tiesinės transformacijos unitarinėje ir euklidinėje erdvėje [XVII sk. 3 teorema. Unirarinės ar euklidinės erdvės įstrižai simetrinės transformacijos charakteringosios šaknys yra nuliai arba grynai menamieji dydžiai. Įrodymas. Jei / yra įstrižai …
Excerpt
> 13 841 Unitarinės ir ortogonalinės transformacijos 749 5 teorema. Euklidinėje erdvėje yra tokia ortonormalinė bazė, kurioje įstrižai simetrinės transformacijos matrica yra pseudodiagonalinė. Visi pirmos eilės langeliai yra nuliai, o antros eilės …
Excerpt
750 Tiesinės transformacijos unitarinėje ir, euklidinėje erdvėje (XVII sk. . Daugindami lygybes (37) ir (38) iš abiejų pusių atitinkamai iš ir O, gausime, kad *U=UU*=€, OO0=00'=C. (39) Šios lygybės gal apibrėžti unitarines arba ortogonalines transfor- …
Excerpt
$ 841 i Unitarinės ir ortogonalinės transformacijos, į KTS į "Iš šios lygybės matome, kad vektorius (01 -04* — €) turi oūti nuli- nis, nes E yra bet koks vektorius. Kadangi 1 taip pat bet koks vek- torius, tai transformacija WWų1*—€=0 ir uu: — G. …
Excerpt
A MMS T uo aa ės 752 Tiesinės transformacijos unitarinėje ir euklidinėje erdvėje [XVII sk. Suprastinę ją iš 2, gausime lygybę (40), vadinasi, transformacija 94 yra unitarinė. Euklidinėje erdvėje paėmę tiesinę transformaciją O ir vektorius E ir 1, pagal …
Excerpt
$ 84] Unitarinės ir ortogonalinės transformacijos P ižiė" 753 Tada (E -101) = *1V1 T X2V2L- AV = (E). Vadinasi, 9; bus unitarinė arba ortogonalinė transformacija. Bet šios transformacijos kiekvieną ortonormalinę sistemą palieka ortonormaline, todėl ir …
Excerpt
754 Tiesinės transformacijos unitarinėje ir euklidinėje erdvėje [XVII sk. Antra vertus, kai tiesinės transformacijos matrica turi pavidalą (42), ta transformacija pagal tą pačią $ 82 teoremą turi būti norma- linė, o jos sujungtinės transformacijos matrica …
Excerpt
$ 84 Unitarinės ir ortogonalinės transformacijos 755 4 teorema. Euklidinėje erdvėje galima parinkti tokią ortonorma- linę bazę, kurioje ortogonalinė transformacija turės pseudodiagonalinį pavidalą —1 a 1 1 —1 D — ( - 7 +. (43) —1 0, 0, I 022 kur O, yra …
Excerpt
756 Tiesinės transformacijos unitarinėje ir euklidinėje erdvėje [XVII sk. Unitarinė ir ortogonalinė transformacija nekeičia vektorių ilgių ir kitų erdvės metrinių dydžių. Kadangi jos kiekvieną ortonormalinę bazę keičia ortonormaline, atseit, pasuka visą …
Excerpt
> $ 84] Unitarinės ir ortogonalinės. transformacijos. «751 Tą patį galime pasakyti ir apie formulės (36) įstrižai simetrinę met- ricą I. Vietoj jos gausime sl ON 0 =P k (364) O 0 Mi kur V yra unitarinė matrica. Pavyzdys. Ištirsime dvimačių ir trimačių …
Excerpt
758 Tiesinės transformacijos unitarinėje ir euklidinėje erdvėje [XVII sk. kuri atitinka nuosavą reikšmę, lygią 1. 3) Transformacijos O viena nuosava reikšmė yra 1, o kitos dvi — —1. Ši transformacija yra tiesiogiai ortogonalinė, nes jos matrica turi vieną …
Excerpt
$ 85] Bet kokių transformacijų išdėstymas ir išskaidymas 759 1 teorema. Umitarinėje arba euklidinėje erdvėje kiekvieną tiesinę transformaciją galima vienareikšmiškai išreikšti dviejų transformacijų suma, kurių viena yra sau Sujungtinė, o kita — įstrižai …
Excerpt
760 Tiesinės transformacijos unitarinėje ir euklidinėje erdvėje [XVII sk. Kiekvieną kompleksinę arba tikrą matricą A visada galima išdėstytž dviejų matricų S ir I suma: Ė A= SLI, kur S yra sau sujungtinė, o I— įstrižai hermitinė arba įstrižai simer- rinė …
Excerpt
$ 85] Bet kokių transjormacijų išdėstymas ir: išskaidymas 761 Transformacija 0. (50) 2 teorema. Būtina ir pakankama sąlyga, kad sau sujungtinė transformacija būtų neneigiama (teigiama), yra, kad jos 21505 nUOSAJOS reikšmės būtų neneigiamos (teigiamos). …
Excerpt
762 Tiesinės transformacijos unitarinėje ir euklidinėje erdvėje [XVII sk. Tegu dabar J, yra sau sujungtinė transformacija, kurios nuosa- vos reikšmės yra Lp Žo. I, ir I,> 0 (teigiamoms /„> 0), kai £--1, 2, ..., n. Nagrinėjamoje erdvėje pasircnkame …
Excerpt
$ 85) Bet kokių transformacijų išdėstymas ir išskaidymas 763 Iš transformacijos C apibrėžimo matyti, kad jei transformacija 6; yra teigiama (/,— 0, kai k—1, 2, „.., m), tai matrica C yra neišsigi- musi ir Y//,> 0, k=1, 2, ..., m, t. y. C yra teigiama. …
Excerpt
764 Tiesinės transformacijos unitarinėje ir euklidinėje erdvėje [XVII sk Šiuo neišsigimusios transformacijos < atveju C ir 04 yra nustatytos vienareikšmiai. Kai t„-= V I, bus tikrieji neneigiami skaičiai. Vadinasi, ep 91 = p (s1sl*)= Ra, (k=1, 2... n). …
Excerpt
$.85]- Bet kokių transformacijų išdėstymas ir išskaidymas 765 aa V Iš pirmos lygčių (63) sistemos matome, kad tiesinės transformacijos C matrica ortonormalinėje bazėje fe! yra e AD OL 12 40 T= S > (64) OL 0-7 Ji neneigiama (;,> 0, kai £=—1, 2, „.., m). Iš …
Excerpt
765 Tiesinės transformacijos unitarinėje ir euklidinėje erdoėje [XVII sk. Pavyzdžiai. 1) Išreikšime tikrą transformaciją Al ai piL6 4 6 Dabar gauname, kad A=S+L, iš kur …
Excerpt
$ 85] Bet kokių transformacijų išdėstymas ir išskaidymas 767 Imame transformacijos < sujungtinės transformacijos S/* matricą bazėje (e) 443 —2Ų 2-i A*=| 4 1—2 —3 21: 4—-i 3 ir sudarome naują matricą 4 2—i 2-1 H=Ž(41+44= 244 1 24i|=H*. 21: 24: 3 Ši matrica …
Excerpt
768 Tiesinės transformacijos unitarinėje ir euklidinėje erdvėje [XVII sk. 4) Išreikšime kompleksinę matricą aermitinės ir įstrižai hermitinės matricos suma. Taip pat išreikšime ją dviejų hermitinių matricų, vieneto ir menamojo vieneto i sandaugų suma. …
