Excerpt
710 Euklidinės ir unitarinės erdvės [XVI sk. Taigi, vektorių [x] ir [8] kampas Z(ta. 1) [8]) =arc cos 2 o —arccos 0,5788. 2) Rasime trimatės tikrosios erdvės vektorių > > = =: = —- =z a=2i—3/ +6k ir b=4i43j kampo kosinusą: 2-44+(—3)-34+6-0 === COS Za, "- …
Excerpt
$ 78] Metrinės sąvokos 711 Čia R(x-8) yra skaliarinės sandaugos (2-8) tikroji dalis. Aišku, kad R(a-B) 5—2V 7. 2) Parodysime, kad tos pačios nelygybės galioja trimatės tikrosios erdvės vektoriams > > Log“ 371 6k, 547157. Vektorių sumos modulis —> — …
Excerpt
712 š2 Euklidinės ir unitarinės erdvės [XVI sk. $ 79. Vektorių oriogonalumas. Ortonormalinė bzzė Unitarinėje ir euklidinėje erdvėje labai svarbūs yra ortogonalin'ai vektoriai. Tokie vektoriai apibrėžiami analogiškai, kaip statmeni vek- toriai euklidinėje …
Excerpt
$ 79) Vektorių ortogonalumas. Ortonormalinė bazė 713 Vektorių Gi> Uzs < -> A, Sistemą vadinsime ortogonalia, jeigu kiekvieni du šios sistemos vektoriai yra ortogonalūs. Įrodysime, kad ortogonalių vektorių sistema, jei tarp jų nėra nu- linio vektoriaus, …
Excerpt
714 Euklidinės ir unitarinės erdvės [XVI sk. Nesunku matyti, kad pagal formulę (32) (G 2)= (4 -2)=(Ę-2)5 (K-2)= (E- 255 4 la, į* (G-2)= (6-2) 5 (Gm) = (E- 2.) Sudarome vektorių C—E ir padauginame jį skaliariškai iš visų aj, App 5, Sistemos vektorių: …
Excerpt
$ 79] Vektorių ortogonalumas. Ortonormalinė bazė 715 Vadinasi, vektorių sistema e,, €5, ..., e, Yra ortonormalinė, jei 1, kai /= k, Gy p= | 0, kai įk. (33) Kiekvienoje unitarinėje (euklidinėje) erdvėje galime rasti ortogonalią bazę. Sukonstravę tokią bazę …
Excerpt
716 “* Euklidinės ir unitarinės erdvės [XVI sk Toliau sudarysime e4, pasinaudoję w5 ir jau sudarytais vektoriais e, ir e,. Imame e3— 05 — ks 6> — kj 63. (37) Panašiai kaip ir anksčiau parenkame skaliarus /+5 ir Iz, tokius, kad £5 Le, ir e; | «,. …
Excerpt
$ 79 Vektorių ortogonalumas. Ortonormalinė bazė 717 Ortonormalinė bazė labai patogi, nes išreikštų tokioje bazėje vek- torių skaliarinė sandauga išsireiškia jų koordinačių ir jų sujungtinių dydžių sandaugų sumomis. Unitarinėje erdvėje 800 imame ortonor- …
Excerpt
718 Euklidinės ir unitarinės erdvės [XVI sk. Sekantį bazės elementą parenkame, pasinaudoję e;=*—į- Kad sį būtų ortogonalus Su s;, turi galioti lygybė 1 1 0=(e'-£4)=(x—1-1) = — ži Ža == Om“ =Y3 6x— 1). V ueije Vrs Trečią bazės elementą parenkame, paėmę e; …
Excerpt
$ 79) Vektorių ortogonalumas. Ortonormalinė bazė TA95 arba Įstatome šių skaliarų reikšmes į 55) — hi (E1 > £> ) + — lol -2)) = (42 - e;) — I525 iš Čia 1 -— „2 5 Is =V5 Jeos- Ep a L 0 Emi 0=(e5-6,)= (2 61) — 555 vadinasi, 1 Aa 3 ių V3 [eei-nar-"hp ag p 0 š …
Excerpt
720 Euklidinės ir unitarinės erdvės [XVI sk. Norėdami sunormuoti vektorių 4, randame jo modulį =WV7 (2042 — 3042 + 125 —7). 20V7 Mūsų surasta erdvės LU ortonormalinė bazė yra | I, V3 €ex—1), V5 (62 —6x 11), VT 00 —302—12x—1) | Patariame skaitytojui …
Excerpt
$ 80] Izomorfizmas. Ortogonulinės sistemos 721 Pasirenkame erdvėje 80 ortonormalinę bazę fe = fe,s 695 a]; 8+—> [8]= [245 655 ---; 6,)- Nesunku įsitikinti, kad vektorių n ax-4-bB— ž. (aa, > - bbp) ep k=1 atitiks vektorius-eilutė a[2]+-5[8] = [aa, + b6;, …
Excerpt
729 Euklidinės ir unitarinės erdvės [XVI sk. Izomorfizmas įgalina nagrinėti tik vieną kokią nors iš anksto pasi- rinktą unitarinę ar euklidinę erdvę, o rezultatus taikyti bet kokiai tokio pat matavimo skaičiaus tiesinei unitarinei arba euklidinėi erdvei. …
Excerpt
$ 80] Izomorjizmas. Ortogonalinės sistemos 723 Įrodymas. la 051 B= (r p = k = (21:21) K (02:01 - > > + (4-0) 1 3, (4;:0)= J,s=1 FS = || +-]a5|BE--- Ta, |. Beselio nelygybė. Ortonormalinei vektorių sistemai 4,55, SD ir bet kokiam vektoriui 4 galioja …
Excerpt
724 Euklidinės ir unitarinės erdvės [XVI sk. sistemos neturi bendrų vektorių, arba vienintelis jų bėndras vektorius yra nulinis vektorius. , Iš ortogonalių sistemų galima pereiti į ortogonalius poerdvius, nes poerdvis ir pati erdvė yra tam tikra vektorių …
Excerpt
XVII SKYRIUS TIESINĖS TRANSFORMACIjJOS UNITARINĖJE IR EUKLIDINĖJE ERDVĖJE S 81. Sujungtinės transformacijos Tirdami dvitiesines formas ir tiesines transformacijas, nustatėme, kad, pasirinkus erdvėje bazę, kiekviena dvitiesinė forma ir tiesinė …
Excerpt
726 Tiesimės transformacijos unitarinėje ir euklidinėje erdvėje [XVII sk. Pirmus du dauginamuosius galime sujungti ir nagrinėti [Iš], A ir [n]ž atskirai. Prisiminę XIII sk. $ 62 formulę (17), matome, kad sandauga [E] A yra vektoriaus C eilutė, kur C=E£1= …
Excerpt
$ 81] Sujungtinės transformacijos 727 Iš lygybės (5) atėmę pastarąją, turėsime 0= (E1- 1) — (E8- 1). Iš čia (š(e— 8)-1)=0. Kadangi ši lygybė galioja bet kokiems vektoriams £ ir 1, tai transfor- …
Excerpt
728 Tiesinės transformacijos unitarinėje ir euklidinėje erdvėje [XVII sk. pakanka parodyti, kad (Ę-1. …
Excerpt
$ 82] Normalinės transformacijos 729 4. (St*)*= SL, (SY = SI, Ša lė = Es =. k (05 = (VL O'=0. Šias formules galima įrodyti, ir betarpiai pasinaudojant lygybėmis (7) arba (8). Pavyzdžiui, įrodysime 2 savybę: (š (Ist)- 1) = (: (ES). 1) =I(ESl-1)= IE - 151) …
Excerpt
730 Tiesinės transformacijos unitarinėje ir euklidinėje erdvėje [XVII sk, Šis poerdvis yra invariantinis tiesinės transformacijos 8 atžvilgiu. Tuo įsitikiname, paėmę bet kokį to poerdvio vektorių a ir transformavę jį transformacija J: (498) s!= + (BS) = a …
Excerpt
| * $ 82] Normalinės transformacijos 731 mėms J» I, ..., I, atitinka tiesiniai nepriklausomi nuosavi vektoriai, tai transformacija “B turi tokių vektorių m. Tai reikėjo įrodyti. Pastaba. Šioje teoremoje netvirtiname, kad visi His As ska ių yra skirtingi. …
Excerpt
i + 732 Tiesinės transformacijos unitarinėje ir euklidinėje erdvėje [XVII sk. atseit, transformacijos )= (g hs)=h(g- g). Kadangi (4-7) 0. tai I=h. Todėl normalinei transformacijai ir jos sujungtinei turime tokį bendrą nuosavą vektorių g, kuris patenkina …
Excerpt
$ 82] į Normalinės transformacijos 733 Jeigu ji neturėtų nuosavo vektoriaus, tai turėtų dvimatį invariantinį poerdvį, apibrėžiamą lygybėmis ($ 65, formulė (53)): 210 = ap, — 2 g50C = ap, 1 bgs. Kadangi g,, ga€ 82, tai jie būtų transformacijos 9C nuosavi …
Excerpt
734 Tiesinės transformacijos unitarinėje ir euklidinėje erdvėje [XVII sk. Įrodymas. Imame normalinę transformaciją OC, kuri turi bent dvi skirtingas nuosavas reikšmes į ir Z5(4)35/). Sakykime, kad tas reikšmes atitinkantieji bendrieji transformacijų OC ir …
Excerpt
: 8 $ 82] Normalinės transformacijos 735 Analogiškai sudarome vektoriui e, ortogonalų poerdvį £67-2. kuris bus ortogonalus £67—D ir invariantiškas transformacijų 9 ir 9C* ar- žvilgiu. Jame parenkame normalų bendrą abiem transformacijom nuo- savą vektorių …
Excerpt
736 Tiesinės transformacijos unitarinėje ir euklidinėje erdvėje [XVII sk. lygtis neturi nuosavų reikšmių. Tada charakteringoji lygtis turi dvi sujungtines kompleksines šaknis. Tegu jos yra ir 530. Parinkę erdvėje ortonormalinę bazę (ež, tirsime eilučių …
Excerpt
$ 821 Normalinės transformacijos 737 transformacijos “X invariantinis poerdvis. Kadangi skaliarinė sandauga abiejose erdvėse sutampa, tai (6-1) = (IE19C- [11)=0, (EAC-3)= (IEC B= 0. (24) Dabar įrodysime euklidinės erdvės normalinėms transformacijoms tokią …
Excerpt
738: Tiesinės transformacijos unitarinėje ir euklidinėje erdvėje [XVII sk. invariantinių poerdvių (jų turės būti 1— = ). pagaliau prieisime nulinio matavimo poerdvį. 3 Paėmę visus s nuosavus vektorius bazės elementais ir prijungę prie - L 2 visus 1 bazės …
Excerpt
$ 82] Fa Normalinės transformacijos 739 1 Surandame transformacijos +7 nuosavą vektorių iš matricinės lygties [x15 x4](1E — A)= [0]. Iš jos gauname skaliarinių lygčių sistemą (—2+1)1 +(—212)11—0, (2—74x, 1+(21:)x,=0. Šios sistemos bendrasis sprendinys [cl …