Excerpt
12. FUNKCIJŲ R"—-R DALINĖS IŠVESTINĖS Taigi sekos (x“?) taškų koordinačių sekos (x49), ..., (x*0) tenkina Koši kriterijaus skaičių sekoms sąlygas (II. 7). Todėl šios koordinačių sekos kon- verguoja ir pagal 1 teoremą erdvės R" taškų seka (x€*) irgi …
Excerpt
IX KELIŲ KINTAMŲJŲ FUNKCIJOS Taigi funkcijos f dalinės išvestinės kintamuoju x; reikšmė taške a yra realios vieno realaus kintamojo x; funkcijos g (x;)=/ (43, .-., Gk15 Xks Ūkis +, 4,) išvestinės reikšmė taške x,= g. Norėdami rasti funkcijos / dalinę …
Excerpt
12. FUNKCIJŲ R'—-R DALINĖS IŠVESTINĖS Sakykime, kad xa, xe V. Tada J0)-7(0)= =f(Xų, Xa, Xzs X.) —f(a;, X3, Xzr5 Eoala +/ (ai, X, Az Tr) — f(a, a;, X3, 5 255: Tf(0> 58 ak dei, a alia S (Gr «+ Aka Ak Xkkios 5 x,)-+ elja Jau a aleja a ee) el apa žiale e a aa …
Excerpt
IX KELIŲ KINTAMŲJŲ FUNKCIJOS Tegu 0. Kadangi funkcijos f dalinės išvestinės yra tolydžios taške a, t. y. In AGS Ejo) OXų OXx > IE - sm, tai egzituoja toks Š> 0, kad (A62) Of (a) | sK | Pas 15 Ee Eos 2) 0. Iš (5) lygybės išplaukia: | 21046) - e |xk—Gp| Es …
Excerpt
12. FUNKCIJŲ R"—R DALINĖS IŠVESTINĖS kai h—0. Jei skaičiai c4, …
Excerpt
X KELIŲ KINTAMŲJŲ FUNKCIJOS > Perėję (6) lygybėje prie ribos, kai 4—0, gausime: Iim (7 (a + 1) -/ (6))=1im (/()-/(0))=0, todėl lim f(x) =/ (a), t. y. funkcija f — tolydi taške a. Pasirinkime ke N, …
Excerpt
12. FUNKCIJŲ R"—R DALINĖS IŠVESTINĖS 3 teorema. Jei kokioje nors taško a e R" aplinkoje egzistuoja funkcijos J Je S. J [J „S i Of 0 E AS V. f: R"-—-R dalinės išvestinės r asas ir tos dalinės išvestinės yra to- a CX; Ž - An Jydžios taške a, tai funkcija f …
Excerpt
X KELIŲ KINTAMŲJŲ FUNKCIJOS =f(a+-h) (g (a+h)—g (a)) +g (a) (/(0+1)-/(1))= =/(a) (g (2+1)—g (a)) + (a) (/ (ah) —/(a))+ +(/(4+h)-f(a)) (g (2+/)-g (a))= =/ (a) (d, g (2) + 25 (h)) +8 (a) (d, f …
Excerpt
13, AUKŠTESNIŲJŲ EILIŲ DALINĖS IŠVESTINĖS Funkcijos f: R-R išvestinės taške a, t. y. f (a), nereikia painioti su a 0). : dalinių iš- funkcijos / dalinių išvestinių reikšmėmis taške a, t. y. su vestinių reikšmės taške 4 yra realieji skaičiai, o f' (a) yra …
Excerpt
IX KELIŲ KINTAMŲJŲ FUNKCIJOS si p Ai Ri 02 į Ž A 2 S a Jei antroji išvestinė 2 egzistuoja aibėje A, tai jos dalinė išvestinė i J 0 02. JA : | : .- 0 S Ž 2) kintamuoju x; vadinama funkcijos f trečiąja daline išves- PAS MRR ABS 0 f tine kintamaisiais X;, …
Excerpt
13, AUKŠTESNIŲJŲ EILIŲ DALINĖS IŠVESTINĖS 1 teorema (apie mišriąsias dalines išvestines). Jei kokioje nors taško (a,b) e R? aplinkoje egzistuoja funkcijos f: R?—-R baigtinės mišriosios dalinės ef 2E0p os reikšmės taške (a, b) yra lygios, t. y. Oa) OEG) …
Excerpt
IX KELIŲ KINTAMŲJŲ FUNKCIJOS čia 0,, 0, todėl iš (3) ir (5) išeina, kad 0* f(a+0,h, b+0, k) 0 f(a4+0,h, b+0; k) : 0X Oy Oy 0x 2 (6) čia 0,, 0,, 05, 0, < (0, 1) ir …
Excerpt
13, AUKŠTESNIŲJŲ EILIŲ DALINĖS IŠVESTINĖS rencijuojama aibėje 4 funkcija kiekvienam fiksuotam AeR". Du kartus diferencijuojamos aibėje 4 funkcijos antruoju diferencialu d; f, atitinkančiu pokytį A, vadinsime pirmojo diferencialo diferencialą: d; f=d,, (d, …
Excerpt
IX KELIŲ KINTAMŲJŲ FUNKCIJOS pat, kiek skirtingų elementų yra aibėje (1, 2, ..., nį“, t. y. n“. Jei, pavyz- džiui, 13110 /5—22 Tai "2 Ai, i = I1s Ia (52539) = 1-4 T 051 + 05505 T Os K Ū32 +G33. Indeksai prie sumavimo ženklo X dažnai visai nerašomi, t. y. …
Excerpt
13, AUKŠTESNIŲJŲ EILIŲ DALINĖS IŠVESTINĖS a. Pagal pirmojo diferencialo formulę (IX. 12, (7) formulė) ir (11) bet ko- kiems 1=(h;, .-., h,)eR" taške a 2 0 a ap /= d. (dk SD DS i =1 m "m n 0 Ogi | E Ox | 2, RK O AIA LE a =1 iš iai OSB 2 HD 2 Oh O LE IS < …
Excerpt
IX KELIŲ KINTAMŲJŲ FUNKCIJOS pirmosios eilės dalines išvestines ir todėl ji yra diferencijuojama aibėje A (IX. 12, 3 teorema). Tai ir reiškia (pagal apibrėžimą), kad f yra m kartų diferencijuojama aibės A taškuose. R) antrąjį diferencialą džu. …
Excerpt
14. TEILORO FORMULĖ FUNKCIJOMS Ri—R yra diferencijuojama intervale (x, R) ir F'(1)= 2 O visiems te (x, B). (1) It= (91 (1), ---, 9, (0) > Tegu f Ke B) AA (i (O (O) 92 (+)) ir a=(a;, -.., a,)=(9; (Fo) PR (14)). Taigi Xx=05 (7), S (t), kai K— ln …
Excerpt
IX KELIŲ KINTAMŲJŲ FUNKCIJOS 2 pastaba. Pažymėjus x; (1)=o0; (+), (1) lygybę galima užrašyti ir ši- taip: d = 6) dali T), 5 20)= 3, TP AO, (1a) i=1 Hilas (610) 2210)): Teiloro teorema. Jei a=(a;,, -.., a„)ER", B — atvira rutulinė taško a aplinka erdvėje …
Excerpt
14. TEILORO FORMULĖ FUNKCIJOMS R'—-R —— ; i) (čia | b—a|=p (a, b)— atstumas tarp a ir b). Tada a+1(b-—a)eB, nes e(a+1(b-a), 0) ILE]! b-a| i) (bi, — 4;,) (25 UA) i=1 i=1 Išdiferencijavę gautąsias sumas panariui, gausime FO()= Y T) Gk=a) L Ba) G) J ia > i, …
Excerpt
IX KELIŲ KINTAMŲJŲ FUNKCIJOS Tačiau 1 EV (dk f (a+0h) di f (a))=0 (I), kai /—0, nes [dk f(a+0h)—dį f(0)| | |A|š da y 0“ f(a4+0h) 0“ f(a) TTK | > ——— L £ ti R OF f(a+0h) DS A(O) 2 Ii iu, | S ELTA LS š he Dž Ox Doi [A] ae TS i JA + EO g Ok 9Xi, Ok 6 Ox, | …
Excerpt
15, FUNKCIJŲ R'—-R EKSTREMUMAI 2 pavyzdys. Užrašysime taško (1, 2) aplinkoje funkcijos f(x, »)= =e*" Teiloro formulę su asimptotiniu liekamuoju nariu ir pagrindine da- limi su dalinėmis išvestinėmis iki antrosios eilės imtinai. ANK DL 5 GEB) Ox RUaų Šyša …
Excerpt
IX KELIŲ KINTAMŲJŲ FUNKCIJOS 1 teorema (apie būtinas ekstremumo egzistavimo sąlygas). Jei funkci- ja f taške a turi visas pirmąsias dalines išvestines ir a yra funkcijos f lokalaus ekstremumo taškas, tai 0 AC) a 00 Li (1) Oz OXn > Sakykime, kad a=(a4, …
Excerpt
15. FUNKCIJŲ R"--> R EKSTREMUMAI Įrašę į (2) lygybę th vietoj / (> 0), gausime: f(a+1)-f(0)=> 7 d3-f (0) +0(|th B= o(t*) ) į => Pp+o()=P (54 (3) kai /—0. Kadangi 2 2 ) 0, kai /—0 ir p> 0, tai egzistuoja toks 6> 0, kad p+0(t*)/1*> 0 visiems te(0, 8), t. y. …
Excerpt
IX KELIŲ KINTAMŲJŲ FUNKCIJOS 4) visi determinantai yra teigiami. Panašus teiginys teisingas ir tada, kai O yra neigiamai apibrėžta kvad- ratinė forma. Šiuo atveju 2—4 teiginiai pakeičiami šitokiais: 2a) egzistuo- ja toks m> 0, kad O (A) < —m| h |*; 3a) …
Excerpt
15. FUNKCIJŲ R'—-R EKSTREMU MAI ekvivalenti (1) sąlygai. Iš tikrųjų aišku, kad iš (1) išplaukia (7). Kita vertus, jei teisinga (7), tai, pasirinkę A0)=(1, 0, ..., 0), gausime 0 af (= 2 — Panašiai įrodoma, kad A e =() visiems ž=1, ..., n. 3 teoremos tada > …
Excerpt
IX KELIŲ KINTAMŲJŲ FUNKCIJOS visos tikrinės reikšmės yra teigiamos, tai a — lokalaus minimumo taškas, jei neigiamos, tai a — lokalaus maksimumo taškas, o jei matrica D turi ir teigiamų, ir neigiamų tikrinių reikšmių, tai a nėra funkcijos f ekstremumo …
Excerpt
15. FUNKCIJŲ R'—-R EKSTREMUMAI Pažymėkime D(x, y) matricą, sudarytą iš funkcijos f antrųjų dalinių išvestinių taške (X, y): „fG. VY) UT G. 9) De -[ a GD BGN UP Oy Ox Oyž 1. Tirsime ekstremumo egzistavimo sąlygas taške (0, 0). Matricos D(0, = ( 2 tikrinės …
Excerpt
IX KELIŲ KINTAMŲJŲ FUNKCIJOS Išsprendę tą sistemą, gauname tris stacionariuosius taškus: (0, 0, 0), (2, 1, 0) ir (—2, 1, 0). Funkcijos 1 ekstremumai gali būti tik tuose taškuose. Norėdami ištirti stacionariuosius taškus, randame funkcijos 1 antrąsias …
Excerpt
15. FUNKCIJŲ R'--R EKSTREMUMAI Kadangi 21-55, iai — CA in a =Xi--- Xn-i(€—X1—---—X„-1). Uždavinys bus išspręstas, jei rasime tašką (xį, ..., Xš—1) su teigiamomis koordinatėmis, kuriame funkcija u=Xą Xi (CA) CaO 0) gyja: didžiausią! reikšmę. 0u a * k 22 …
Excerpt
IX KELIŲ KINTAMŲJŲ FUNKCIJOS charakteristinė lygtis užrašoma šitaip: a-)h d kai a | a a-)M a 0 (8) | a a a-) | Jei )=0, tai visi charakteristinės lygties determinanto elementai yra ly- gūs, todėl A=0 yra šios lygties šaknis. Taigi funkcija u netenkina 3 …