Excerpt
8. IŠMATUOJAMOS FUNKCIJOS IR IŠMATUOJAMOS AIBĖS Apibrėžimas. Sakysime, kad funkcijos f apibrėžtos beveik visur n-ma- čiame stačiakampiame gretasienyje O, integralas tuo stačiakampiu gretasie- „niu yra lygus 4-00, ir rašysime [| /Odx=+0, 0 jei egzistuoja …
Excerpt
XI DAUGIALYPIAI INTEGRALAI Toliau šiame poskyryje raide O žymėsime bet kokį n-matį stačiakampį gretasienį (baigtinį arba begalinį, uždarą, atvirą, arba nei uždarą, nei at- virą). Išmatuojamas n-mačiame stačiakampiame gretasienyje O funkci- jas dėl …
Excerpt
8. IŠMATUOJAMOS FUNKCIJOS IR IŠMATUOJAMOS AIBĖS Išvada. Aibės A < R" siena 0A yra išmaiuojama Lebego matu erdvėje n - 7 teorema*. Jei išmatuojamos Lebego matu erdvėje R" aibės E (k= =1, 2, ...) poromis nesikerta, tai s 8 teorema“. Aibė E < R" yra nulinio …
Excerpt
X; DAUGIALYPIAI INTEGRALAI Iš apibrėžimo išeina, kad aprėžta aibė E < R" yra išmatuojama Žordano prasme tada ir tik tada, kai jos siena 04 yra nulinio Žordano mato aibė. Kadangi šiame vadovėlyje visur, išskyrus poskyrį apie Rymano daugia- lypius …
Excerpt
10. ERDVĖS R"+n AIBIŲ PJŪVIAI 2) jei f€ L (e,) visiems ke N ir > > €k tai fe L (E) ir teisinga (2) lygybė. Lema*. Jei aibė E < R" yra išmatuojama Lebego prasme ir AE ECE) tai kiekvienam < > 0 egzistuoja tokia aprėžta beveik visur aibėje E funkcija g€L(E) …
Excerpt
XI DAUGIALYPIAI INTEGRALAI Iš 2 savybės ir (1) nelygybės išeina, kad stačiakampių gretasienių sistema (On+15 Onios ps 2 uždengia aibę A ir jos stačiakampių gretasienių tūrių suma yra mažes- nė …
Excerpt
10. ERDVĖS Rm +" AIBIŲ PJŪVIAI tai O yra lygi m-mačio stačiakampio gretasienio A =(a1, B) X... X (am, bp) ir n-mačio stačiakampio gretasienio B=(c4, d)X...x (e, d) Dekarto sandaugai: O=4 xB ir |0|=(64—-4,;). . „(bm — Gn)(d,—c,). . (= Ca) —| A |B|. …
Excerpt
XI DAUGIALYPIAI INTEGRALAI visiems k < N. Pagal Levi teoremą ribinė funkcija S6)= lim 5 6)= > IB, |x4,00 — integruojama erdve R" ir todėl baigtinė beveik visiems x e R", t. y. |(B;|xa,0) < 0 (3) 7. || j=1 beveik visiems x e R". Sakykime, kad taške x4 < R" …
Excerpt
11. FUBINIO IR TONELIO TEOREMOS ja J integruojama stačiakampiu gretasieniu A, tai jos integralą aibe A vadinsime funkcijos f kartotiniu integralu ir žymėsime šitaip: [SO4= [de [f dy: (2) A B A Suprantama, integralas [ J(x) dx yra m-lypis. A Jei / < L(A …
Excerpt
XI DAUGIALYPIAI INTEGRALAI „N, je L: »dy= J D | 76 dy) = 4; i=1 A, J || MZ iš T JE S ! dx [ f(x, y) dy. 2 atvejis. feL,(A x B). Pagal klasės L, apibrėžimą (XI. 4) egzistuoja tokia didėjanti laiptuotų stačiakampiame gretasienyje A x B funkcijų seka (9,4), …
Excerpt
5. PIRMOJI PAGRINDINĖ LEMA čiuojamą arba baigtinę aibę (O,), k=1, 2, ... Pažymėkime e;=e D0A Pagal jau įrodytą teoremos dalį g (e4) yra nulinio mato aibės, todėl ir aibė (0=U 60 k yra nulinio mato aibė kaip suskaičiuojama nulinio mato aibių sąjunga. < 4 …
Excerpt
X DVILYPIAI INTEGRALAI Pirmoji pagrindinė lema. Jei laiptuotų stačiakampyje O funkcijų seka (o,) mažėja ir „0 beveik visur stačiakampyje O, tai lim EI 0, (x, y) dxdy=0. (1) 0 > 1) Pažymėkime E, aibę tokių taškų (x, y») < O, kuriems Luis 0, (X, V)* 0, …
Excerpt
5, PIRMOJI PAGRINDINĖ LEMA aibis. Todėl egzistuoja toks 1, < N, kad 9, (x, y) < < visiems (x, y)€g; ir juo labiau o, (x, ») < < visiems (X, y) € g, ir visiems n> n,. Didžiausią iš tokių skaičių 74 pažymėkime N. Pasirinkime n> N. 5 I Ikkes sė > ra5Iklt …
Excerpt
X DVILYPIAI INTEGRALAI 6. Antroji pagrindinė lema Nagrinėsime didėjančias laiptuotų stačiakampyje O funkcijų sekas 9). Jei seka (0,„) didėja, tai seka (9,—2,) yra didėjanti neneigiamų laiptuotų funkcijų seka. Todėl kiekviename taške (x, y) < O arba abi …
Excerpt
7. BENDRAS DVILYPIO INTEGRALO APIBRĖŽIMAS Kadangi stačiakampių sistemą -Zk+,,„ sudarėme papildę sistemą us tam tikrais stačiakampiais, tai Xi .S XZyii,. Visiems ke N. (1) 2. Jei sistemą .Z,,„ sudaro stačiakampiai 4, ..., g, tai 2 m M m M u=> || > X) [| > …
Excerpt
X DVILYPIAI INTEGRALAI . tegruojamų funkcijų klase (VII.5). Panašiai apibrėšime ir dvilypį dviejų. kintamųjų funkcijos integralą stačiakampiu O. Sakykime, kad O — bet koks baigtinis arba begalinis, atviras, užda- ras arba pusiau uždaras stačiakampis …
Excerpt
7. BENDRAS DVILYPIO INTEGRALO APIBRĖŽIMAS Pavyzdys. Sakykime, kad f, => jei j-1s|a| …
Excerpt
X DVILYPIAI INTEGRALAI se stačiakampio O taškuose, tai funkcijų 04 apibrėžti „laiptuoti kūnai“ (erdvės Rš aibės) A,=į(3, J, z)ERė: (x, v)e0, …
Excerpt
8. DVILYPIO INTEGRALO APIBRĖŽIMO KOREKTIŠKUMAS 1 teorema. Jei (94) ir (Wy) yra dvi didėjančios laiptuotų stačiakampyje O funkcijų sekos ir LDB Ok (x, B Ur (x, J) (1) beveik visur stačiakampyje O, tai im [ | ae(as 0) dady < lim [ | es 9) dady. (2) > …
Excerpt
X DVILYPIAI INTEGRALAI 2 išvada. Jei f, g < L4(O) ir f(x, y) Pagal L;(0O) apibrėžimą egzistuoja tokios didėjančios laiptuotų funkcijų sekos (95) ir (4), kad 9,—> /f ir U„—g beveik visur stačiakampyje OF BE TOS IE ok < M, ir (Bi Ų /+g beveik visur ir IE (G …
Excerpt
9. PAPRASČIAUSIOS DVILYPIŲ INTEGRALŲ SAVYBĖS 9. Paprasčiausios dvilypių integralų savybės 1 teorema. /ntegruojamos stačiakampyje O funkcijos reikšmės yra beveik visur šiame stačiakampyje baigtinės. > Jei fe L;(0), tai egzistuoja tokia didėjanti laiptuotų …
Excerpt
X DVILYPIAI INTEGRALAI 3 teorema. Jei f, ze L(O) ir ce R, tai: 1) cfe L(O) ir [f 6 pady=c | [166 7) dsdy; 0 0 2) f+g 0 ir f < L,(0O). Tada egzistuoja tokia didėjan- ti laiptuotų funkcijų seka (0,4), kad 9;—7 beveik visur, f | 0, [Js Laiptuotų funkcijų …
Excerpt
9. PAPRASČIAUSIOS DVILYPIŲ INTEGRALŲ SAVYBĖS beveik visur. Iš tų lygybių išeina, kad J+8=(A+81)-(/> +2> ) beveik visur, be to, /1+-81, /-+g> € £4(0) pagal lemą iš X.7, todėl /+ +g€L(0O) ir LEA OS -[[s+ [f a- [[1-[[a= (L [5- [1A+([[a- [f 8) [Je [Je 3) Jei …
Excerpt
X DVILYPIAI INTEGRALAI 3 išvada. Jei O — baigtinis stačiakampis, f < L(O) ir m 3 beveik visur, ir egzistuoja to- kie M,, M,c < R, kad i …
Excerpt
9. PAPRASČIAUSIOS DVILYPIŲ INTEGRALŲ SAVYBĖS Pastebėkime, kad laiptuotų funkcijų sekos (min (gi, 14) ir (max (or, V;)) didėja, min (pp, min (/; g) ir max (ok, 4)-> max (7, g) beveik vi- sur stačiakampyje O. Be to, min (9;, …
Excerpt
X DVILYPIAI INTEGRALAI 5 teorema. Tegu 2 yra kokia nors stačiakampio O dalai U— > m) — dalos 2 daliniai stačiakampiai ; 1) jei fe L (O), tai fe L (ą;) visiems Ia In IE [f re naxdy= 7, J f 70 Adadys (4) 0 i=1 4; 2) jei f€ L (g;) visiems i=1, ..., m, tai fe …
Excerpt
10. TOLYDŽIŲJŲ FUNKCIJŲ DVILYPIAI INTEGRALAI g; sienos taškas. Aišku, seka (34) didėja stačiakampyje O ir 24—/ beveik visuose vidiniuose dalinių stačiakampių g, taškuose, t. y. beveik visur stačiakampyje O. Be to, If = X If n= X ff aus X M=M Sakykime, kad …
Excerpt
"| X DVILYPIAI INTEGRALAI j=0, 1, ..., 2". Pažymėkime P.= [X X Xn Į, P.= (0 ao) sieks Jr J. Sistema -2,= f P/,, P,,) yra stačiakampio O dala. Pažymėkime Gm, U= = tak) — Hdlašė 2.„atviruosius dalinius stačiakampius ir Um, j— funkcijos tikslųjį apatinį rėžį …
Excerpt
11. PERĖJIMAS PRIE RIBOS DVILYPIUOSE INTEGRALUOSE ir juo labiau JO, Y)-e N. Tai ir reiškia, kad lim o, (x', »)=f(6', y'). Įrodėme, kad funkcijai J egzistuoja tokia didėjanti laiptuotų stačiakam- pyje O funkcijų seka (9„), kad o„—> / beveik visur …
Excerpt
X DVILYPIAI INTEGRALAI visiems ke N, tai ribinė funkcija J(x, V) > (x, J) irgi yra integruojama stačiakampyje O ir lim | [AC »)dedy= | | F6 »)dxdy. (I) 0 0 > Įrodymas toks pat kaip Levi teoremos vieno kintamojo funkcijoms (VII. 10). < 1 išvada. Jei …