Excerpt
98 7. Stratonovičiaus integralas ir lygtys 7.1. Apibrėžimas. Sakykime, X ir Y yra Ito procesai. Proceso Y Stratonovičiaus integralu intervale [0 7] proceso X atžvilgiu vadinama riba , i EA olų — | Velo do E— AD K ne L Čia toliau naudojame įprastinius …
Excerpt
7. Stratonovičiaus integralas ir lygtys 99 Įrodymas. 1 savybė. Remiantis stochastinių integralų I-ąja savybe (6.8 teiginys), Zo(eX + BY) = Ze(eX + BY)+ 5(Z,aX + BY) S OZ Aaa (eZ, X) + 8(Z, Y)) L o(Z-xX at = Z, X)) si B(Z+Y h (2, Y)) Ia B G 2 savybė. …
Excerpt
100 7. Stratonovičiaus integralas ir lygtys (ZWMiL (X, B= ZMK JE Ž(ZW, (X20Ą) = (ZW)e (X, Y). Čia pasinaudojome tuo, kad dviejų Ito procesų kovariacijos (kaip reguliaraus proceso) ir bet kokio trečio Ito proceso kovariacija lygi nuliui. A 7.4. Teorema …
Excerpt
7. Stratonovičiaus integralas ir lygtys 101 Įrodymas. Pažymėkime EO | Ap) (o) NSEIEE < IR? 0 Kadangi F € C2S ir Fl(r, x) = f(t, x), (r, x) < IR, x IR, tai, remiantis 7.4 teorema, 1 1 įeis X")odX" = Flr, X;)— F(O, XI) — [Ele X")ds 0 0 1 — Flr, X,)-— F(O, …
Excerpt
102 7.6. 7578 7. Stratonovičiaus integralas ir lygtys 1 1 = 0(0, Xo) + [bele X,)ds + [ves X;)dB, 0 0 1 += [ais X,)dlo(-, X.), B) 2) 0 5 1 2 1 1 sa [es X,)ds + = [očeids X,)ds 0 Žada 1 = [vai (s, X,) dB, + reguliarus procesas. 0 (o(-, X.), B) S [acts …
Excerpt
7. Stratonovičiaus integralas ir lygtys 103 Įrodymas. Tarkime, kad o tenkina tokias aprėžtumo sąlygas: Ore = a (2) LG (+,x) < R, x R. Užrašykime lygtį diferencialiniu pavidalu dX, = b(t,X,)dh E ot, Xu)ield Zr: Remdamiesi 7.3 teiginio 3 savybe, abi lygties …
Excerpt
104 7. Stratonovičiaus integralas ir lygtys Kadangi C“! < G,(r, x) < …
Excerpt
7. Stratonovičiaus integralas ir lygtys 105 Dėl šio nario negalime tikėtis konvergavimo |X" — X,| — O, nes iš procesų Z" ir Z artumo neišplaukia jų kvadratinių variacijų artumas. Pakanka panagrinėti paprastą atvejį, kai Z = B yra Brauno judesys, 0 Z" — jo …
Excerpt
106 8. Tiesinės stochastinės diferencialinės lygtys Kristus, sakydamas „Palaiminti išalkę, nes jie bus pasotinti!“, sprendžia tikimybės lygtį. Charles Baudelaire, Intymūs dienoraščiai 8.1. Apibrėžimas. Tiesine stochastine diferencialine lygtimi (TSDL) …
Excerpt
8.4. 8.5. 6. Tiesinės stochastinės diferencialinės lygtys 107 Įrodymas. Patikriname analogiškai: 1 dė;! = d(e7Ž!),= = 2 dZ, > S d(Z), 1 -|2 (a; (1) — 10) dr +e Žbi(t) dB, | + se BR) dt = e"Ži(—a; (1) + 63(1)) dt — e 761 (r) dB, (—a1(1) +63(1))677 dr — bi …
Excerpt
108 8. Tiesinės stochastinės diferencialinės lygtys Kai a > O, ši lygtis aprašo dalelės, judančios klampiame skystyje ir veikiamos chao- tiškų molekulių smūgių, greičio kitimą. Koeficientas a > O charakterizuoja skysčio klampumą, o 5 > 0 — molekulių …
Excerpt
6. Tiesinės stochastinės diferencialinės lygtys 109 Sprendinys: 15 X, = ToP, = XoeXp |(a — 52 4- bB,|, LŽ) 2. Nehomogeninė lygtis su pastoviais koeficientais: dX, — (aX, + c) dr - (bX, + d) 65), Xo = Xo. Sprendinys: I 1 X, = Š, Ė + (c— bd) Jo; *as vafajan …
Excerpt
110 6. Tiesinės stochastinės diferencialinės lygtys kurios sprendinys yra 1 1 5 E(r) = exp | Jauoos| | + [edos |- Javai! i) 120 0 0 0 Beje, šią formulę galima gauti ir pasinaudojus ta pačia 8.4 teorema, imant b; = b> = O. Dabar pritaikykime Ito formulę …
Excerpt
8. Tiesinės stochastinės diferencialinės lygtys 111 Diferencijuodami gauname lygtį d0O(t) dt su pradine sąlyga O(0) = x2. Jos sprendinys yra = (2a; (+) + 63 (2)) O(r) + 2(as(r) + bi (1)b2(1)) E (r) + b3(t) 1 I S O(r) ep] Jasas (si + [aso |- Jasonas) L (05 …
Excerpt
112 8. Tiesinės stochastinės diferencialinės lygtys 8.1 pav. Lygties dX, = —aX, dr + bdB,, X, = O, sprendiniai, kai b = lira = 1; 4; 16. kurios sprendinys yra ai Y,= (x1 — Xoje"" — 0, I — 00, ir konvergavimas tuo greitesnis, kuo didesnis a. Ateityje (9 …
Excerpt
8.9. 6. Tiesinės stochastinės diferencialinės lygtys 113 Kitos išreikštiniu pavidalu išsprendžiamos lygtys. Lygtis AG, = žo(Xijo (Xi)ar ko (X) aB, a 0, su teigiamu koeficientu oc. Pastebėkime, kad Stratonovičiaus pavidalu ji užrašoma dX, =o(X,)odB;, X os …
Excerpt
114 8. Tiesinės stochastinės diferencialinės lygtys Ją galime interpretuoti kaip Voltero integralinę lygtį, kai duota funkcija B,, + > O, ir spręsti funkcinės analizės metodais kiekvienai konkrečiai stebimai Brauno judesio tra- jektorijai. Jei mums ypač …
Excerpt
8.10. 8.11. 6. Tiesinės stochastinės diferencialinės lygtys 115 gautojoje sprendinio X išraiškoje negali būti dalybos iš nulio; be to, galime ir tiesiogiai patikrinti, kad šia formule apibrėžtas atsitiktinis procesas iš tikrųjų tenkina Ferhiulsto lygtį. …
Excerpt
116 6. Tiesinės stochastinės diferencialinės lygtys F'(Z,) = X,. Todėl pritaikę Ito formulę (6.12 teorema) gauname 1 1 Ne Xo+ Jr "ZAlaz +5 [r zdia 0 0 J A J dZ, + 5 [ka 0 1 3 k d(Y), 4 +5 [kat 0 E L Jau Ip r ] 8.12. Teiginys. Jei Y ir Z yra du Ito …
Excerpt
8.14. 6. Tiesinės stochastinės diferencialinės lygtys 117 Teorema. Tarkime, kad H ir Y yra Ito procesai, Yo = O. Tada (464) lygties sprendinys yra 1 X, = Šy(Y), = st | e Įstnsata Žž 20 * 0 Įrodymas. Pasinaudosime diferencialinių lygčių teorijoje žinomu …
Excerpt
118 8. Tiesinės stochastinės diferencialinės lygtys 8.15. Išvada. Tarkime, kad H yra tolydus suderintas procesas, 0 Y - Ito procesas, Yg = O. Tada (+) lygties sprendinys yra I X, = Sy(Y): = H, + S(Y), Įsvonsatr = (MU s 0 Įrodymas. Pažymėkime Z, = X, — H,. …
Excerpt
8. Tiesinės stochastinės diferencialinės lygtys 119 Jei X) > Yo ir blt, x) > c(t, x) su visais t > 0, x € IR, tai beveik tikrai X, > Y, su visais t 2 O. Jei Xo Z Yo ir blt, x) > c(t, x) su visais t > 0, x € IR, ir bent vienos iš lygčių koeficientai …
Excerpt
120 8. Tiesinės stochastinės diferencialinės lygtys Figūriniuose skliaustuose esantį procesą išreikškime taip: 1 V. := X — Ja T Jews dH, 0 I = Xo — Yo + Įeuyik. ds 0 1 = Xo — Yo + [k dA,; 0 čia A, := J5E(N);!ds, t > 0, - nemažėjantis procesas. …
Excerpt
121 9. SDL sprendiniai kaip difuziniai Markovo procesai I can feel guilty about the past, apprehensive about the future, but only in the present can I act. Aš galiu jaustis kaltas dėl praeities suvokdamas ateitį, bet tik dabartyje aš galiu veikti. Abraham …
Excerpt
122 (4 9. SDL sprendiniai kaip difuziniai Markovo procesai Bendruoju atveju Markovo procesą galima apibrėžti taip: atsitiktinis procesas X vadinamas (realiuoju) Markovo procesu su perėjimo tikimybe P(s,x,t, B) …
Excerpt
9. SDL sprendiniai kaip difuziniai Markovo procesai 123 Iš čia gauname, kad (+) lygybės dešinėje esantis sąlyginis tankis (kai X — B) PijiB,, „BipB, „Bs (YIT Aa ks X) Bilistos aks LE a) D.(čis 255 AEL EG GD ooo ILO) Plika Jolita 11142 —X1)-P(K— Ik 1 XX …
Excerpt
124 9.2. 95: 9. SDL sprendiniai kaip difuziniai Markovo procesai Teiginys. Su visais t > s M — B b.t. (+++) Pastaba. Tai dar vienas Markovo savybės formulavimas — procesas X? bet kokiu laiko momentu s prasideda iš naujo nuo proceso reikšmės X* momentu s …
Excerpt
9. SDL sprendiniai kaip difuziniai Markovo procesai 125 9.4. Teiginys (difuzinio proceso Markovo savybė). Su kiekvienu x € IR procesas X* yra Markovo procesas ir su visomis aprėžtomis (mačiosiomis) funkcijomis f:1R — IR E(f(X:)IXr Xi Xi X) > B(/ (XI )IXS) …
Excerpt
126 1 9.6. 9. SDL sprendiniai kaip difuziniai Markovo procesai Toliau paprastumo dėlei nagrinėsime homogeninius (laike) difuzinius procesus X = (X*), ty. tarsime, kad (7) lygties koeficientai nepriklauso nuo laiko: 5 = b(x), oc = o(x), x € IR. Tada 9.3 …
Excerpt
9. SDL sprendiniai kaip difuziniai Markovo procesai 127 Įrodymas. Pažymėkime g(x) = b(x) f (x) + žo?(x) f" (x). Remiantis Ito formule, I AE) = 06) + [raiaks + 1 o I I = JA63)) + Įslkijas + [or (aijan, 20) 0 0 Imdami vidurkius, gauname I I B/(X) = f(x) +B …