Excerpt
58 3. Stochastinis integralas Brauno judesio atžvilgiu S B(/5 X.dB Jė a6IE( [B X ad2 Be to, yra teisingos tokios nelygybės stochastinio integralo maksimumui (Dūbo“ nely- gybės): 6. Pisup, 3) < 5EL J, X, dBĮ", A> 0, p> 1; atskiru atveju Pilsupio 1) 65 di …
Excerpt
3. Stochastinis integralas Brauno judesio atžvilgiu 59 2'. Ši savybė taip pat įrodoma perėjus prie ribos kvadratinio vidurkio prasme laip- tiniams procesams X" jau įrodytoje lygybėje (su kiekvienu aprėžtu atsitiktiniu dydžiu Z e J4) — > z | xpas = | …
Excerpt
60 3. Stochastinis integralas Brauno judesio atžvilgiu o tai ir yra įrodomoji lygybė. 3. Įrodomąją lygybę gauname perėję prie ribos, kai 1 — oo, lygybėje Ti | ID 0 "T 2 r Iš tikraj 7 i X" dB > Y = 1 X, dB,, todėl pasinaudoję normų savybėmis gauname 2 1 2 …
Excerpt
3. Stochastinis integralas Brauno judesio atžvilgiu 61 nors ši savybė teisinga ir su visais p > 1. Tegul p = 1. Tada su visais įvykiais A € Zfį = El Ja dB, i) 0 E(|M7|14) = E|M714| > |E(M714)| = I Iš El Įkran i) L El [aa 2 0 I = |E(M,14)]. Čia …
Excerpt
62 3. Stochastinis integralas Brauno judesio atžvilgiu Procesas I(1),r € (0, T], yra tolydus", todėl pakanka patikrinti, ar 1 el E aa P| max I(ų) > 4| £ E 1 AO, (25) su bet kokiais 2 e INir0O = 71 < 1 < --- < „= T. Pažymėkime Ar = (t) = M jų kia UA LE ls …
Excerpt
32) 3. Stochastinis integralas Brauno judesio atžvilgiu 63 Pritaikę Koši nelygybę, gauname BIF? < JB (0) B) 7 Galiausiai padalijame abi nelygybės puses iš (EY?)!2: (Er:) O, tai 1 kai 2 : n n o n | dB, = L?- lim 2 X(PJ(B(" ) — B(L?)). 0 B Įrodymas. Iš …
Excerpt
3. Stochastinis integralas Brauno judesio atžvilgiu Dėl X tolydumo kvadratinio vidurkio prasme E|X" — X,|2 — 0,1 — oo, su visais t € [0, T|. Antra vertus, dėl EX? aprėžtumo (EX? < C) E|x? — X.|" < 2(E(X7)? + BX?) < 2( max EX; + max BX; 2) R KHx- < 46 160 …
Excerpt
3. Stochastinis integralas Brauno judesio atžvilgiu 65 Stochastinį integralą galima šiek tiek apibendrinti ir apibrėžti tiems atsitiktiniams procesams X, su kuriais P| [xžai < 40) E (8) Tam mums prireiks stochastinio integralo lokalumo savybės. 3.11. …
Excerpt
66 3. Stochastinis integralas Brauno judesio atžvilgiu ir todėl Bifag M dr < N. Vadinasi, visi stochastiniai integralai kai dB,, N e IN, yra apibrėžti. Pažymėkime įvykius Oy := Wo dt < N), N e NN. Pastebėkime, kad X) = XUW) — X įvykyje Ox su visais N > M. …
Excerpt
3. Stochastinis integralas Brauno judesio atžvilgiu 67 Dar apibrėšime du stochastinio integralo apibendrinimus — begaliniam ir atsitikti- niam laiko intervalams. 3.15. Apibrėžimas. H?(O, 00) žymėsime aibę visų suderintų atsitiktinių procesų X = (X,, t 2 …
Excerpt
68 3.16. (4 3 (4 3.18. 3.8b. 3. Stochastinis integralas Brauno judesio atžvilgiu Kad dešinėje esantis integralas egzistuotų, reikia, kad būtų suderintas (Brauno judesio atžvilgiu) ne tik atsitiktinis procesas X, bet ir atsitiktinis procesas 1ro,„1(7), / > …
Excerpt
69 4. Ito formulė If you see a formula in the Physical Review that extends over a guarter of a page, forget it. It's wrong. Nature isn't that complicated. Jei fizikos žurnale jūs matote formulę, netelpančią į ketvirtį puslapio — pamirškite ją. Ji …
Excerpt
70 4. Ito formulė Todėl įrodomoji formulė yra teisinga, kai Did) — 2 sup |F“(y)— F“(x)|, h> 0. 2 Ir-yl …
Excerpt
4. Ito formulė zh Pirmoji suma, kaip tolydžios funkcijos F"(B,),.t € |0, T|. Rymano integralinė suma, konverguoja į jos integralą kia F"(B,) dt (beveik tikrai, taigi ir pagal tikimybę). Patik- rinsime, kad antroji suma konverguoja į O kvadratinio vidurkio …
Excerpt
72. 4. Ito formulė (svarbiausia!) sutampa su F intervale [—n,n], ty. F(x) = F(x), kai x € [-n, nl. Tokioms funkcijoms Ito formulę jau įrodėme, todėl galime rašyti T Iš F.(Br) - 12 (Bo) = = Įrzte )dB, EA Į Ele) dr, n e IN. 0 0 m|| Kadangi F,(B;) = F(B,).1 …
Excerpt
4. Ito formulė 78 4.1 pav. Funkcijos F € C?(IR) aproksimavimas funkcijomis F, € CŽ(IR). 4.3. Pavyzdys. Pritaikykime Ito formulę funkcijai F(x) = x"*! (n e IN); Iš T BO 2) ) f5ras + 24 =(n + 1)r J [aps "di 0 0 Iš čia U Bilų n H [aras => —Ž [ala n e IN. LEO …
Excerpt
74 4. Ito formulė Įrodymas. Lygindami su 4.2 teoremos įrodymu, nurodysime tik pagrindinius skirtumus. Kaip anksčiau, teoremos įrodymą galima suvesti į atvejį, kai funkcija F yra aprėžta ir tolydi kartu su savo pirmosios ir antrosios eilės dalinėmis …
Excerpt
4. Ito formulė 13 Lieka panagrinėti papildomai skleidinyje atsirandančias tris sumas: 1 al Ein BIJAT [zu B,)dt i 0 2 E (t, B;)At? — O, y E! (4, B) AB; At; > O. Pirmosios sumos konvergavimas aiškus. Antrąją sumą nesunku įvertinti: 1 2 VAL Av LA = [Ieie: …
Excerpt
76 5. Stochastinės diferencialinės lygtys Svarbus atradimas, geniali mintis patraukia daugybę žmonių: iš pradžių norima tik žinoti, paskui — suprasti, vėliau — įsigilinti ir galiausiai — rutulioti toliau. Johahn Wolfgang Goethe, Vilhelmo Meisterio …
Excerpt
5. Stochastinės diferencialinės lygtys 767 I 1 + 5 [iotoso [u ns ocB,| ds 0 1 S OS 2 eXp 7 = (6 9) IE cB,| ds 0 I + Jos eXp (7 — 02/2)s + cB,| dB, 0 1 1 = Xo + [is ds > Jex. dB 0) 0 0 Atskiru atveju, kai 4 = Oiro = 1, gauname, kad atsitiktinis procesas X, …
Excerpt
78 5. Stochastinės diferencialinės lygtys 5.4. su neneigiamomis konstantomis C ir £, tai p(t). < Ee. (e |0, T): Atskiru atveju, jei 0 < y(t) < C [59(s) ds, t € [0, T), rai p = 0. Įrodymas. Iš nelygybės (e fotjas ++) UC t e [0, TĮ, 0 C fp(s)ds +5 0 gauname …
Excerpt
5. Stochastinės diferencialinės lygtys 79 2 I 2 I < 28) [ote, s)— b(Y,, s)) a -+ 28 [lets s) —o(Y,, s)) LA 0 0 1 1 < 2rE [is s) = b(Y,,s))" ds + 2E [let s) — o(Y,,s))" ds 0 0 1 1 < D0LB, [ik Lek 01618, Jix MA alis 0 0 1 1 —20(1 4 WB [Ia — Y,.|Žds = M, [ix …
Excerpt
5. Stochastinės diferencialinės lygtys Apibrėžtai funkcijai p analogiška funkcija 6(r) := E|X, — Ž [2,7 Z O, jau yra aprėžta - kadangi pagal apibrėžimą |X, — Y,| < c, > O, tai p(r) < c2, r 2 O. Todėl jai Gronvolo lemą galime taikyti ramia sąžine ir gauti …
Excerpt
5. Stochastinės diferencialinės lygtys 81 Pasinaudoję tiesiško augimo sąlyga, turime I 1 E|x] — x?|' = B Jot s)ds + [eto Mun) 0 0 2) t 2 (L vas) val J als)ai 0. Lygybėje XI?! = AX? formaliai perėję prie ribos, kai 1 — oo, 2 U, kuri reiškia, kad X yra (+) …
Excerpt
82 5. Stochastinės diferencialinės lygtys mo turime nelygybę I 1 2 B Jet, s) —- b(X",s)) ds + [let s)—o(X!,s)) a 0 0 < M, [Elx. S aka 0 Todėl BX —Xo— [bac s)ds — Įetkunas | 0 0 2 = EX — XI + [eee s) — b(X,.s)) ds 0 I 2 s- dt s) —o(X,.s)) 0 0 sn — 0 1 1 ja …
Excerpt
83 6. Ito procesai Life is one long process of getting tired. Gyvenimas yra vienas ilgas varginantis procesas. Samuel Butler, Notebooks Girdžiu: vyksta sudėtingi procesai. Galvoju: tegu sau vyksta. Bet gali ir nevykt. Žiūrėkit, kaip jums geriau. Juozas …
Excerpt
84 6. Ito procesai Įrodymas. 1. Ši savybė tiesogiai išplaukia iš 3.8 teoremos 2' savybės, kuria remiantis, su bet kokiu aprėžtu atsitiktiniu dydžiu Z € Zf, E(Z(M, - M,)) = E(2 | Ha, S El | zai 18) ST 1 1 2. Kadangi ZM, < Jf,, tai, remiantis 6.1 apibrėžimu …
Excerpt
6. Ito procesai 85 Šį apibrėžimą pateisina keli toliau įrodomi teiginiai apie Rymano tipo integralines sumas. Sakykime, A" = (0 = 5 < K < > > < K = T), n e IN, - smulkėjanti intervalo [0, T] skaidinių seka (|A"| = max; |,, — | > 0, n — 00). Žymėjimams …
Excerpt
86 6. Ito procesai ir E [„4C*H? dr = 4C?||H||? < oo. Todėl, remiantis Lebego teorema (0.11 skirsnis), Ek (Y" — Y,)2H2 dr — O,n — oo. Tuo pačiu gauname T 2 E| Darau - Įrnas.) > 0, n- 00. : 0 (M) Bendru atveju, kai Y nėra aprėžtas viena (neatsitiktine) …
Excerpt
6. Ito procesai 87 - 2 Yy“ AM — o dM, + P(O5,) i 0 26 B d 16 —— =, ca: 5 5 n co : a Y, JAM; — | y aM, Ž 0 Vadinasi, atsiras toks ng, kad o | 0 i PI Dun - fio L 0 su visais 1 > ng. Kadangi £ > Oir6 > O pasirinkome laisvai, tai 2 Drau 2 [r dM, i 0 Tai ir …