Excerpt
168 11. Stochastinių diferencialinių lygčių skaitinis sprendimas 11.6. Pirmosios eilės silpnosios aproksimacijos. Nagrinėsime homogeninę lygtį 1 1 jų —x+ Įbaujas + Jokjas, :> 0. 0 0 Tirsime jos silpnąsias aproksimacijas pavidalo Xn 4 O S0 AB,) Ik+1 čia a …
Excerpt
11. Stochastinių diferencialinių lygčių skaitinis sprendimas 169 h 1 az +5 | > 7 6 Bar 0 h 2 d AC 00) + Įaitunaų )dt + [ZA Alo BA) )dB,. 0 Imdami vidurkį, gauname h E/ (X!) = f(x,0,0) + ĮBaž: DB dis 0 Kartojame gautąją formulę pointegralinei funkcijai EA …
Excerpt
170 11. Stochastinių diferencialinių lygčių skaitinis sprendimas tikslumo (kaip ir determinuotu atveju) išplaukia pirmosios eilės („globalus“) tikslumas. Norėdami pritaikyti (8) sąlygą, išreikškime A f funkcijos a terminais: 57= f ŽI= £lojų, 2 SI = P loaš …
Excerpt
11.7. 11.8. 11. Stochastinių diferencialinių lygčių skaitinis sprendimas 171 Pastaba. Skaičiavimus suprastinti ir ypač pagreitinti galima Brauno judesio poky- čius AB; — N(O, h) pakeitus tokiais atsitiktiniais dydžiais šį = NK /h, kad E(š;)! = E(AB;)' „i …
Excerpt
172 11. Stochastinių diferencialinių lygčių skaitinis sprendimas + (b — Loo')(x x)s + 0(x)y + Žoo (x )y?) tenkina šias sąlygas. Taigi jos abi yra pirmosios eilės silpnosios Auulšiniaaj om Kadangi Oilerio aproksimacija yra daug pa- prastesnė nei Milšteino, …
Excerpt
11. Stochastinių diferencialinių lygčių skaitinis sprendimas 173 Remiantis didžiųjų skaičių dėsniu, ši suma su tikimybe 1 konverguoja į E/(X!), kai N — oo. Todėl ją galime laikyti teorinio vidurkio E f(X,) įverčiu su paklaida = Dr) - Br) < + Bf (X!) — …
Excerpt
174 11. Stochastinių diferencialinių lygčių skaitinis sprendimas E/(X,) 15 4 h= 0,1 Uva Dridkskiiis E/(X;) 15 4 KO 10 1 N = 1000 54 NET US, BEO UL, (E /(X;) E/(X,;) 1n = 0,001 10 4N = 10000 In =0,1 10 1N = 10000 NE S Ūžg Loa, A Ds, 15 11.3 pav. Silpnoji …
Excerpt
11. Stochastinių diferencialinių lygčių skaitinis sprendimas 175 Jei, pavyzdžiui, EA? f(X,) ir EAš f(x,s, B,),s € [0, T), yra aprėžtos funkcijos, tai: Bf) = f(Y) + AP0)A + AŽ (5 +O(IP) Ef(X!) = f(x) + Af(x,0,0)h + A*ž(x,0, L O) Todėl prie (X) pridėję …
Excerpt
176 11. Stochastinių diferencialinių lygčių skaitinis sprendimas Sulyginę A? f f(x) ir A? f(x) išraiškų koeficientus prie vienodų išvestinių, gauna- me lygtis 11 111 1 11 - / 1 11 (a“, AO ais 12») ) S (bo + 506 J6), 1 1 [lei + 5055)" + 2ajal, + ajaii, + 5 …
Excerpt
11. Stochastinių diferencialinių lygčių skaitinis sprendimas 177 keitus koeficientu b + Loo“: al(x) o) 2 = bla), a! X = co'(x , 2a! al (5) = (bo! + bo)(x) + (020" +00")(x) | (82) a i a ES 2 B) + L(bo“ + boo" +b'o0 * b'c2)(x) 1 (cšo"! +4020'0" +00! GO) R …
Excerpt
178 11. Stochastinių diferencialinių lygčių skaitinis sprendimas Rinkdamiesi koeficientus c5—c7, turime gana daug laisvės. Imkime c4 = GG 0) Gauname tokią antrosios eilės silpnąją aproksimaciją (ji taip pat vadinama Milšteino aproksimacija): 1 / 1 / 2 …
Excerpt
11. Stochastinių diferencialinių lygčių skaitinis sprendimas 179 kurioje funkcija a apibrėžiama lygybe (:), koeficientai sutampa su determinuotos lygties dX, = o(X,) dt ketvirtosios eilės Teiloro aproksimacijos Ik+1 XI, a(XI 0.1) = XI ko (XI) + Zoo (XII i …
Excerpt
180 11. Stochastinių diferencialinių lygčių skaitinis sprendimas programuojant, kai reikia perprogramuoti tik kiekvienos naujos lygties koeficientus; be to, sudėtingų koeficientų atveju nereikia gaišti laiko išvestinių skaičiavimui. Panagri- nėsime RK …
Excerpt
11. Stochastinių diferencialinių lygčių skaitinis sprendimas 181 Stratonovičiaus lygtį su koeficientu b = b — žoo (x) vietoje b. Tiesa, taip būtume pri- versti naudoti koeficiento 0 išvestinę, bet tai geriau nei naudoti po dvi koeficientų 0 ir b …
Excerpt
182 11. Stochastinių diferencialinių lygčių skaitinis sprendimas (S2) lygtis, RK aproksimacijos parametrams gauname 15 sąlygų, kurių pakanka, kad aproksimacija būtų antrosios eilės (kaip silpnoji aproksimacija): 0-5 o 2 — r1B1 4-roB2 +- 7383 "183 + 7582 + …
Excerpt
11. Stochastinių diferencialinių lygčių skaitinis sprendimas 183 Kaip rasti bent vieną šios 15 lygčių sistemos sprendinį? Atrodytų, uždavinys ga- na sudėtingas. Tačiau, laimei, pirmosios septynios lygtys gerai žinomos determinuotų diferencialinių lygčių …
Excerpt
184 11. Stochastinių diferencialinių lygčių skaitinis sprendimas Pabaigoje pateiksime skaičiavimų pavyzdį su kairėje esančia Rungės-Kuto aprok- simacija. Vėl imsime tą pačią lygtį dX, = 0,5X,; dt + 047 EILdIB KgYZ40,8; kurios Stratonovičiaus pavidalas yra …
Excerpt
185 12. Daugiamatės stochastinės analizės elementai Ir vis dėlto, jei pasektume atskiro nario žingsnius vagonų koridoriuose, pastebėtume, kad tai ne chaotiškas Brauno judėjimas, o tikslingos ir malonios frikcijos. Mūsų uždavinys — garantuoti, kad šis …
Excerpt
186 12. Daugiamatės stochastinės analizės elementai 1.7 skirsnio 2 pastabą, kiekvienos daugiamačio Brauno judesio B koordinatės B“ isto- riją gE2 patogu (ir galima) laikyti sutampančia su viso Brauno judesio B istorija J£?. (M) f, pažymėkime c-algebrą, …
Excerpt
12.4. 12. Daugiamatės stochastinės analizės elementai 187 diferencialinių lygčių sistemą galime interpretuoti kaip vieną daugiamatę stochastinę diferencialinę lygtį. Jei funkcijos b visos koordinatės b; ir funkcijos 0 visi matriciniai elementai o; yra …
Excerpt
188 12. Daugiamatės stochastinės analizės elementai Tokiu atveju sakoma, kad procesas X turi stochastinį diferencialą k dX, = K. dt + Y" Hi dBį i=i arba trumpiau, k dX = Kdr + HėdB: iai Atskiru atveju, kai visi H' = O, sakoma, kad Ito procesas X yra …
Excerpt
12. Daugiamatės stochastinės analizės elementai 189 Jei koeficientai o;; € C7, tai ši lygtis ekvivalenti daugiamatei Ito lygčiai cb 12 b(X,,t)dt +0(X,,t) dB,, kurioje poslinkio koeficientas b= (b;,bo,..., b,„) yra išreiškiamas lygybe m REB Sao 2 „28 AS no …
Excerpt
190 12. Daugiamatės stochastinės analizės elementai 12.6. Tiesinės stochastinės diferencialinės lygtys. Bendrasis daugiamatės tiesinės stochas- tinės diferencialinės lygties pavidalas yra k dX; = (a; (1)X; + a> (r)) dr + Y" (bi (2)XI + baj(1)) dB], j=1 o …
Excerpt
12. Daugiamatės stochastinės analizės elementai 191 su vektoriniu ir matriciniu koeficientais b = (b;,i = 1,...,m): IR" — IR" bei o = (oj, i. = UA ing JOS Aaeet a EAN: IR"“**. tenkinančiais Lipšico sąly- gą, sprendiniai X* su pradine sąlyga X; = x, x < …
Excerpt
192 12. Daugiamatės stochastinės analizės elementai 12.8. Stochastinių diferencialinių lygčių sprendinių aproksimacijos. 71-matės stochasti- nės diferencialinės lygties (su k-mačiu valdančiuoju Brauno judesiu B) I 1 26 =1+ flas ajas + fots, X,)dB;,, te …
Excerpt
193 Rodyklė So essential did I consider an Index to be to every book, that I proposed to bring a Bill into Parliament to deprive an author who publishes a book without an Index of the privilege of copyright; and, moreover, to subject him, for his offence, …
Excerpt
194 Formulė Dynkino — 126, 128 Feinmano-Kaco — 130, 191 integravimo dalimis — 94 Ito — 70, 73, 93, 100, 186, 189 Ito — Brauno judesiui 70, 73 Ito — daugiamačiam Brauno jude- siui 186 Ito — daugiamačiam Ito procesui 189 Ito — Ito procesui 93 Ito — …
Excerpt
Lygtis atgalinė Kolmogorovo — 128, 130, 134, 191 augimo — 112 Ferhiulsto — 41, 45, 114, 147 Fokerio-Planko — 134, 137, 191 genetinio modelio — 149 Ginzburgo-Landau — 115 Lanževeno — 107, 111, 141 stochastinė diferencialinė — 43, 76, 95, 187 stochastinė …
Excerpt
196 Sprendinys fundamentalusis — 135 fundamentalusis lygties — 106 stochastinės diferencialinės lygties — 76 Stabilumas Stratonovičiaus integralų — 100 Stratonovičiaus SDL — 102 Taisyklė vidurkių iteracijos — 21 Tankis atsitiktinio dydžio — 17 bendrasis — …
Excerpt
7. Stratonovičiaus integralas ir lygtys 97 kurioje matome papildomą narį 5 f co; (X,,s)ds. Taigi (+) lygtį, kuri turėtų gerai aprašyti reiškinį, turime papildyti RS nariu ir vietoje jos nagrinėti (+++) lygtį. Panašūs „paradoksai“ apibūdinami Ito integralų …