Excerpt
su matematiškai griežta stochastinės analizės teorija. Šiame lygmenyje parašyti ko- mentarai, tiksliai matematiškai apibrėžtos sąvokos, išsamūs teiginių įrodymai arba jų patikslinimai knygoje pažymėti ženklu (a. Norint stochastinės analizės žinias …
Excerpt
Pagrindiniai žymenys i 00 U B (šjė A, 1 2 co n Ar, ar A, n=1l f:X—- Y [x] xVy XAY Apie Žordano knygas kalbėjo, kad jei jam reikėdavo apibrėžti keturis analogiškus arba giminingus dydžius (kaip, antai, a, b, c, d), jis juos pažymėdavo a, M3, 62, ITĮ 2. …
Excerpt
C“(1) C,(I) Co(IR) L?ja, b] x E(X), EX ID) GC) D N(a, 0?) X — N(a,02) X =Y ao X. XD) P X, TRS X [2 X,— X X Jr = JŪP H?([0, T) H?[0, T) IX — [Aidis Kox, |Kads, (L (X) = (X, X) aibė visų funkcijų f:/7 — IR, turinčių tolydžias išvestines iki k-osios eilės …
Excerpt
LG] 0. Įžanga. Pagrindinės tikimybių teorijos sąvokos Rengiant veikalą, paskiausiai randame tai, kas dėtina pirmiausia. Blaise Pascal, Mintys Probability theory is concerned, roughly speaking, only with calculation of new probabilities from given ones. …
Excerpt
0. Įžanga. Pagrindinės tikimybių teorijos sąvokos Turėdami omenyje, kad praktiškai mūsuose temperatūra negali būti žemesnė nei —40 laipsnių ir aukštesnė nei 40 laipsnių, galime šio eksperimento baigčių erdvę aprašyti in- tervalu 0 = |-40, 40]. Tačiau …
Excerpt
0. Įžanga. Pagrindinės tikimybių teorijos sąvokos 13 (2b pavyzdys) arba erdvės 0 = C|0, T) poaibis (0 € O: 5 Ki o(s)ds > 0) (2c pa- vyzdys). Natūralu būtų pabandyti įvykiais vadinti visus elementariųjų įvykių erdvės €) po- aibius. Deja, tai pasiteisina …
Excerpt
14 0.2. 0. Įžanga. Pagrindinės tikimybių teorijos sąvokos P(A) = O, atitinkamai sakoma, kad įvykis A yra būtinas arba negalimas. Tad pirmoji tikimybės aksioma išreiškia reikalavimą, kad „kas nors būtinai įvyks“, t.y. visa elemen- tariųjų įvykių erdvė €? …
Excerpt
0.3. 0. Įžanga. Pagrindinės tikimybių teorijos sąvokos 15 sąlygos išplaukia, kad su visomis (mačiosiomis) aibėmis B € 8 aibė (X € B) := (0 € O:X(o) e B) € 7, ty. frazę „atsitiktinis dydis X įgijo reikšmę iš aibės B“ visiškai teisėtai galima vadinti …
Excerpt
0. Įžanga. Pagrindinės tikimybių teorijos sąvokos funkcijos. Kita vertus, teoriniu požiūriu net nežinomos tikimybinės erdvės panaudoji- mas teikia tam tikrų pranašumų, ypač, kai vienu metu tenka nagrinėti daugiau nei vieną atsitiktinį dydį, pavyzdžiui, …
Excerpt
0.4. 0. Įžanga. Pagrindinės tikimybių teorijos sąvokos 17 arba 500 +00 DX Ž |6 ED dA | > aPo)- x: Atsitiktinių dydžių tipai. Taikymams ypač svarbūs dviejų tipų — diskretieji ir tolydieji atsitiktiniai dydžiai. Diskretieji atsitiktiniai dydžiai. …
Excerpt
18 0. Įžanga. Pagrindinės tikimybių teorijos sąvokos formulėmis; PlX E BL | podax = Pavyzdžiai: 1) Tolygusis (tolygiai pasiskirstęs) atsitiktinis dydis X intervale [a, b], kurio tankis lygus L x e lb b]k ai 0, x £ la, bl. 2) Normalusis (normaliai …
Excerpt
0.5. 0. Įžanga. Pagrindinės tikimybių teorijos sąvokos 19 Jei žinomas atsitiktinių dydžių X ir Y bendrasis tankis p = p(x, y), x, y < IR, tai, apibendrinant minėtą savybę, atsitiktinio dydžio Z = f(X, Y) vidurkį galima apskai- čiuoti ir nežinant jo …
Excerpt
20 0. Įžanga. Pagrindinės tikimybių teorijos sąvokos Y — diskretusis atsitiktinis dydis, galintis įgyti reikšmes atitinkamai iš aibės (v;) (t.y. P(F=57E05A,i DE P(Y = y;) = I), tai galime skaičiuoti sąlygines tikimybes IPA MIO = 77; Piajr = yj => SEO RER …
Excerpt
0.6. 0. Įžanga. Pagrindinės tikimybių teorijos sąvokos 21 X sąlyginiu vidurkiu atsitiktinio dydžio Y atžvilgiu vadinama funkcija 100 00 PSD | all | xp(x|y)dx, y < IR. Sąlyginiai vidurkiai kaip atsitiktiniai dydžiai. Toliau tarę, kad atsitiktiniai dydžiai …
Excerpt
22 0.7. 0.8. 0. Įžanga. Pagrindinės tikimybių teorijos sąvokos c-algebra), tai E(X|$) = E(X|Y). Pagrindinė sąlyginio vidurkio c-algebros atžvilgiu savybė: jei So C $ C £ —o-algebros ir E|X| < +09, tai E(E(X|$)|$0) = E(X|G0). Beje, pateiktą apibrėžimą …
Excerpt
0. Įžanga. Pagrindinės tikimybių teorijos sąvokos 23 (rašysime X, — X b.t. arba lim, 65 X, = X b.t.); b) pagal tikimybę, jei su visais £ > O P(|X, -X|> *) — 0, n— co (rašysime X, S X arba P- limp — D0)E c) kvadratinio vidurkio prasme (arba L? prasme), jei …
Excerpt
0.9. 0.10. 0.11. 0. Įžanga. Pagrindinės tikimybių teorijos sąvokos Sąvokas, susijusias su atsitiktinių dydžių sekų konvergavimu kvadratinio vidurkio prasme, patogu nagrinėti vadinamosios L? normos terminais. Atsitiktinio dydžio X L? norma vadinamas …
Excerpt
0.12. 0. Įžanga. Pagrindinės tikimybių teorijos sąvokos 25 |f,| < g. n e IN. Žinoma, čia turima mintyje, kad visos funkcijos f, yra apibrėžtos (ir mačios) aibėje su matu, kurio atžvilgiu ir yra imami integralai; funkcija g yra vadinama mažoruojančia sekai …
Excerpt
26 0. Įžanga. Pagrindinės tikimybių teorijos sąvokos 0.13. Atsitiktiniai procesai. Apibendrinant atsitiktinio dydžio sąvoką, galima nagrinėti at- vaizdžius (funkcijas), apibrėžtus elementarių įvykių erdvėje O ir įgyjančius ne realias reikšmes, o reikšmes …
Excerpt
11 27 1. Brauno judesys The modern mathematician has been sitting down like an Epicurean god, far from space and time, calling for chaos to play with. He gives a few brief orders and watches universes grow. Šiuolaikinis matematikas sėdi sau, kaip …
Excerpt
28 1. Brauno judesys Matome, kad su dideliais 7 sekos nariai X,„, padauginti iš atitinkamo normuojančio dau- giklio 1/,/n, yra apytikriai pasiskirstę kaip normalusis atsitiktinis dydis £ — N(0, 1). O kaip galėtume apibūdinti visos atsitiktinių dydžių …
Excerpt
1. Brauno judesys 29 proceso. Kitaip tariant, ar galima vienoje tikimybinėje erdvėje (0, £ „P) sukonstruoti tokį atsitiktinį procesą B,, t > O, kad su visais t > O turėtume X? - B, n> 007? Prieš atsakydami į šį klausimą, nubraižykime X“, / > O, grafikus …
Excerpt
30 x16 | 1. Brauno judesys 1.1.5 pav. X?? trajektorija. 128 X, 2 ų A Ak 1 ; AL US „6 L A ikRi J a p KB 107 iš 8 10 £ $ m | 4 k vi =? 1.1.7 pav. X!28 trajektorija. SE is i ją 44 2 0 eis IZ] es 1 i 2 [ o į L A į Ly į o i S " KT 03 ti ši BIT T T 0 jų Ti T - …
Excerpt
aš) 14. 1. Brauno judesys 31 Šios teoremos neįrodinėsime, nors ir sakoma, kad pagrindinis Brauno judesio teo- rijos rezultatas yra jo egzistavimas. "Tačiau pasinaudosime ja, įrodydami pagrindines Brauno judesį charakterizuojančias savybes. Teorema (Brauno …
Excerpt
3 1. Brauno judesys Įrodymas. 1) Iš pradžių pateiksime įrodymo idėją. Su kiekvienu A > O pokytis B; — B = N(O,h) ir todėl (B44 — B,)/h — N(O,h-!). Kadangi santykio (B+, — B,)/h dispersija h“1 — oo, kai h — O, tai šis santykis negali turėti ribos, kai A — …
Excerpt
1. Brauno judesys 33 sąjunga. Todėl pakanka įsitikinti, kad P( Bx,„„) = O su visais k, m e IN. Kadangi [nT] i43 PU5E2) < P(U ( ai i=1 j=i+1 kai n > m, tai savo ruožtu pakanka įrodyti, kad su visais k € IN [nT] ISI P(U n A,)> 0 aną U— ij Kadangi įvykiai Ai …
Excerpt
34 1. Brauno judesys 1-5: (Intuityviai šis faktas gana akivaizdus, tačiau nėra trivialus ir yra atskiras daug bendres- nės Brauno judesio stipriosios Markovo savybės atvejis.) Tiksliau tariant, atsitiktiniai dydžiai B 17 kai T, 2 (B= Been = | G] kaili — 7 …
Excerpt
1.6. EA 1. Brauno judesys 35 Teiginys. Jei X < Zf,, tai X IL B; — B,,s Zu 2 t. Įrodymas. Atsitiktinių dydžių klases Zf, apibrėžėme daugiau intuityviai. Norėdami į51- tikinti teiginio teisingumu, turime tiksliau apibūdinti atsitiktinius dydžius, …
Excerpt
36 1.8. 1. Brauno judesys 2 pastaba. Atsitiktinių dydžių klasę Jf; galima apibrėžti ir visiškai griežtai. Pažymė- kimekZ— TB o-algebrą o(B;, s < r), generuotą visų atsitiktinių dydžių B,.s < t, ir visų nulinės tikimybės įvykių. Kitaip tariant, 7; yra …
Excerpt
1. Brauno judesys A B) Bš 2 2 l l 0 T Tala“ E T T 0 T T AarfĄ T T 2 Šš OF 2 4 TU 8 10 / ži si 9 2 1.2.2 pav. B“ trajektorija. 1.2.3 pav. B* trajektorija. BS | R 1 [vų | ; Jų | T WJ jr MV S S —9) 4 S Koja a 7 *54, 2 1.2.4 pav. B!“ trajektorija. 1.2.5 pav. …