Excerpt
498 Polinomai su racionaliniais koeficientais [XI sk. polinomas, todėl daugiklis, kuriuo jie skiriasi, t. y. = turi bū- ti 1. Iš to gauname, kad ž 9(5) = 21 (95 (> ) Įrodėme dėsnį: jeigu primityvinis polinomas išsiskaido žiede R [x], tai jis išsiskaido ir …
In:
Excerpt
$ 52] Eizenšteino kriterijus 499 cientą, dalijasi iš pirminio skaičiaus D, o laisvasis narys, dalydamasis iš p, nesidalija iš jo kvadrato (p*), tai tas polinomas racionalinių skai- čių kūno atžvilgiu yra pirminis. Įrodymas. Tegu polinomo LO) — 0 ai šaalas …
In:
Excerpt
500 Polinomai su racionaliniais koeficientais [XI sk. tai c„ dalijasi iš p. Taigi, visi polinomo 4, (x) koeficientai dalijasi iš p, o iš paskutinės lygybės seka, kad ir f(x) koeficientas a,, kuris yra lygus c„d,„ turi dalytis iš p, bet tai prieštarauja …
In:
Excerpt
$ 53] „ Polinomų racionalinės šaknys 501 Klasiškas tokio atvejo pavyzdys yra apskritimo dalijimo polinomas o A S kur p yra bet koks pirminis skaičius. Šio polinomo šaknys yra visos p-to laipsnio vieneto šaknys, išskyrus «(9 —1. Šiam polinomui Ei- …
In:
Excerpt
502 Polinomai su racionaliniais koeficientais [XI sk. ga 10 A i A A S ap aga JB E LA aa kurio šaknys yra tos pačios kaip ir polinomo +(y). Dabar pertvarkom naująjį polinomą tokiu būdu: b9(y)= (6,VY +, (6,51 E Ep b, (by = lai 16 b, br -6,Y) 2E 6, bi …
In:
Excerpt
$ 53] Polinomų racionalinės šaknys 503 Kadangi dešinėje pusėje yra sveikųjų skaičių algebrinė suma, tai ir kairė pusė K turi būti sveikasis skaičius. Bet (a, 6) = 1, taigi, ir a" ir b yra reliatyviai pirminiai skaičiai, bet tada až gali būti sveikasis- …
In:
Excerpt
504 „Polinomai su racionaliniais koeficientais [XI sk. kad ir c, yra sveikasis skaičius; toliau, iš (11,) c; yra sveikasis, o iš (115) ---> C,91 turi būti sveikieji. Be to, turi galioti lygy- bė (13). Jei bent vienas skaičius, gaunamas iš lygybių (12), …
In:
Excerpt
$ 53] Polinomų racionalinės šaknys 505. Vadinasi, norėdami patikrinti ar polinomo f(x) laisvojo nario da- liklis 2 yra jo šaknis, reikia sudaryti sveikųjų šaknų lentelę. Jeigu tas skaičius a yra polinomo šaknis, tai visi lentelės antros eilutės skaičiai …
In:
Excerpt
506 Polinomai su -racionaliniais koejicientais [XI sk. — Nesunku matyti, kad įstatę į lygybę (9), jeigu a yra polinomo f(x) šaknis, vietoj nežinomojo x bet kokį sveikąjį skaičių B, gausime tris sveikuosius skaičius f(b), (b—a) ir g(b), kuriems galioja …
In:
Excerpt
$ 53] Polinomų racionalinės šaknys 507 rio lentele apskaičiuojama f(2) ir f(—2), o iš to turime dar vieną porą bandomųjų lygybių re 2 = LS an kurių jau pilnai pakanka galimų šaknų atrinkimui. Pavyzdžiai. 1) Raskime visas nagrinėto polinomo f(+)=x27—2 53 — …
In:
Excerpt
508 Polinomai su racionaliniais koeficieniais [XI sk. Imdami toliau galimą šaknį 3, turimė || | | — 12 1 1 i | x21x—12=(+—3)(x414). Todėl galutinai gauname, kad polinomas f(x) turi keturias paprastas (nekarto- tines) sveikąsias šaknis 1, 2, 3 ir —4. …
In:
Excerpt
522 “ Polinomai su racionaliniais koeficientais [XI sk. „tai mūsų lygtis turi dvi- 2 IEA Kadangi polinomo x*4-x4-3 šaknys yra DRA gubą šaknį —4, paprastas šaknis 1 ir 7 ir dvi kompleksines sujungtines šaknis —144Y II 2 . Šaknų suma 1+2(—-4)+74+— o šaknų …
In:
Excerpt
TREČIOJI DALIS TIESINĖ ALGEBRA XII SKYRIUS TIESINĖS ERDVĖS $ 55. Apibrėžimas, savybės ir pavyzdžiai Penktajame šios knygos skyriuje nagrinėjome kai kurias aibes, kurios sudaro tiesines algebras. Tai buvo stačiakampės 7 xm matri- cos, tos pat eilės …
In:
Excerpt
— 524 Tiesinės erdvės [XII sk. — L 1. 4+8-=, 6. aa —=xa—=3, 2. (045) +1=2+(811); 7. a(ba) = (ab) a, 32 "Da. 8. (a+-b) x =a44-ba, 4. 44-(—2)=9, 9. a(z—-8) =a11-a3, 5. 218=84+-a; 10. ea=a, tai tą aibę $ vadinsime ziesine erdve, arba tiesine afiniue erdve. …
In:
Excerpt
6 55] Apibrėžimas, savybės ir pavyzdžiai 525 * Analogiškai gauname ir skaliarų atimties distributyvumo dėsnį (a — bt — 24 — ba. (4) Nesunku įrodyti, kad kiekvieną vektorių padauginę iš skaliaro 0 ir nulinį vektorių padauginę iš bet kokio skaliaro, gauname …
In:
Excerpt
526 Tiesinės erdvės „[XII sk. a Pastebėsime, kad duoto laipsnio (pvz., 7 — 1) polinomai nesudaro vekto- rinės erdvės, nes jų suma gali būti ne 7 — 1, bet žemesnio laipsnio polinomas, pavyzdžiui, (857 +2x2 — x) 1+(—3x17 1 x) = 2x2. 6) Šio paragrafo …
In:
Excerpt
$ 56] Erdvės matavimų skaičius 527 Iš lygybės (15) seka lygybė (14). Tai matyti iš ei Gia Ba AT 1 +(—1) A Ai Uri pp, "nes, kala GT 1 S no LZ — 1, gau- name lygybę (14). Iš sąlygos (14) gausime lygybę (15), jei, pažymėję 7 indeksą to vektoriaus, kuris …
In:
Excerpt
528 Tiesinės erdvės [XII sk. Pavyzdžiui, vektorių-eilučių, kurių ilgis yra m, erdvė yra »-matė, nes vektorių-eilučių [60] =[1, 0, 0, ..., 0, 0], [9] =[0, 1, 0, ..., 0, 0], [669] = [0, 0, Ll - 0, 0]. t [e6] = [0, 0, 0, 5 1> 0], [60]= [0, 00472; 0; 1] (16) …
In:
Excerpt
$ 56] 2 Erdvės matavimų skaičius 529 jei tik matricos Ci G1p Cn Ua a 21 C22 2 p L a aa, Ga Ce aus Le rangas yra n, t. y. jei determinantas |4| 0. Nagrinėsime bet kokią tiesinę erdvę ir jos bazę. Jeigu m-matės tiesinės erdvės bazės vektoriai yra e4;5 625. …
In:
Excerpt
530 Tiesinės erdvės Jų [XII sk. Iš lygybės (20) atėmę lygybę (20'), turėsime, kad o=(a,— 21) *,4-(2> — 5) 651 > > > +-(4,— a,) E, Bet vektoriai e, €5 ---> €„ Yra tiesiniai nepriklausomi, todėl koefi- cientai prie visų =, (k=1; 2, ---, 2) yra lygūs nuliui. …
In:
Excerpt
$ 56] Erdvės matavimų skaičius 531 arba [= + 8], = [2], + [8]; Padauginę vektorių a iš skaliaro /, turėsime Ia = Ia e, 058, + > > > La e) = = (Ja) — s vektorius i ir j, kiekvieną vektorių a galėsime taip išreikšti; — — — a=a i+a,j. — — Vektoriai i ir 7 …
In:
Excerpt
532 Tiesinės erdvės [XII sk. kurie yra tiesiniai nepriklausomi. Kiekvieną polinomą f(x) galime vieninteliu būdu išreikšti pavidalu fx)=a3, 4, x Lapkr ban 5 anoi m Mes ir parinkome 5 pavyzdį ne n-to, bet m—l1 ir žemesnio laipsnio polino- mus tam, kad tų …
In:
Excerpt
$ 56] Erdvės matavimų skaičius 533 | Kad dvi erdvės būtų izomorfinės, būtina ir Dakanka, kad jos turėtų vienodą matavimų skaičių. Įrodymas. Sakykime, kad ? — $? ir jų matavimų skaičiai 2 ir 7 nesutampa. Tada galime laikyti, pavyzdžiui, kad 1 > > Ta, …
In:
Excerpt
$ 60] "Dvitiesinės formos 547 Tegu antras vektorius yra pastovus, atseit [4]=[a,; 25, ..., a,], tada nežino- mo vektoriaus [g] ir [4] skaliarinė sandauga (Iš]- [4 =61 1 445454 > > 4 dn Xr bus pirmos rūšies tiesinė forma. Antros rūšies tiesinė forma bus …
In:
Excerpt
548 Tiesinės erdoės | [XII sk. Tada dvitiesinę formą (E, 1) pagal formulę (48) galėsime taip pa- rašyti: e(E m= 9 xe oi Mae T d =x 3 965 + 43-96 1-7 +419,9 (65 6) + Ta o (ex e) 4Y29 (6 L --- TV, 9 (655 „7 + x, 1 9(p e) 1 X 9 (Ep €> ) "r Era Žž …
In:
Excerpt
$ 60) Duitiesinės formos 549 iš formulės (58) gausime Gi 3 os Ci Yi asi Ga 2 (E, 1) = [515 Xp 5 *,l sis Žr J2 A 2.2 O Lu sa Prisiminę, kad, transponavę vektorių eilutę, gausime vektorių ko- loną ir, sutarę brūkšniu virš matricos žymėti matricą, kurios …
In:
Excerpt
550 Tiesinės erdoės EXIT sk: Iš formulės (55) matome, kad dvitiesinės formos kiekvienas narys iš tikrųjų koordinačių atžvilgiu yra kvadratinis. Nagrinėdami kvadratines formas tikrojoje erdvėje, vietoje formu- lės (55) turėsime " ą(E = D, 4 =IE] Aš (57) …
In:
Excerpt
XIII SKYRIUS TIESINĖS TRANSFORMACIJOS AFININĖJE ERDVĖJE $ 61. Tiesinės transformacijos ir jų veiksmai Pereitame paragrafe nagrinėjome funkcijas, kurių argumentai buvo vektoriai, o pačios funkcijos — skaliarai, kurių argumentams ga- lioja tiesiškumo …
In:
Excerpt
552 Tiesinės transformacijos afininėje erdvėje [XIII sk. Šios formulės yra ekvivalenčios pareinamybėms (3), nes antroje for- mulėje (4) paėmę vieną kartą /—a, o kitą kartą vietoj Ę vektorių C ir Į=b, ir vėliau vektoriams at ir bC panaudoję pirmą formulę …
In:
Excerpt
$ 61] Tiesinės transformacijos ir jų veiksmai ARS 553 Kad ši transformacija (integravimas) yra tiesinė, atseit, kad [af(2) +08(+)19 =2[A (417 +0U/16)19, įsitikiname iš šios integralo savybės: x x x [iar +te (+)1 dx=3 [fu)dx 45 [a 0ax. 0 0 0 Aišku, erdvė, …
In: