Excerpt
568 Tiesinės transformacijos afininėje erdvėje [XIII sk. Būtina 17 pakankama sąlyga, kad transformacija < turėtų m-to ma- ravimo invariantinį poerdvį yra, kad egzistuotų tokia bazė, kurioje ta transformacija turėtų matricą, išsiskaidančią į keturis …
In:
Excerpt
$ 65] Nuosavi vektoriai : 569 Tica bus bseudodiagonalinė ir kiekvienas tos matricos langelis bus atitin- kama tos transformacijos matrica duotame poerduyje. Iš visų invariantinių poerdvių tiesinėje algebroje svarbiausi yra vienmačiai (tiesiniai) …
In:
Excerpt
570 Tiesinės transformacijos afininėje erdvėje [XIII sk. Imame erdvėje 2“? bet kokią bazę fe! = fe;, E5, …
In:
Excerpt
$ 65] i Nuosavi vektoriai 571 Transformacijos sl nuosavos reikšmės bazėjeleV turi būti lygties | £—4,| | T-1|= =|+=E—4,| | T| | T-7|=|> E—4,.|-1=|=E-—4,|. Vadinasi, rransformacijos charakteringasis polinomas, keičiantis bazei, nesikeičia. "Todėl lygtis …
In:
Excerpt
472 Polinomai su. tikraisiais koeficientais A Bk sign f“ (0) =signa, (k=0, 1,2, ..., n), tai polinomo f(x) išvestinių grandinės ženklų pakitimų skaičius taške 0 yra lygus f(x) (koeficientų ženklų pakitimų skaičiui). Išvestinių grandinės ženklų pakitimų …
In:
Excerpt
$ 49) Tikrųjų šaknų skaičius a13 Mūsų pavyzdžiuose polinomai buvo pilnieji — nė vienas koeficien- tas nebuvo lygus nuliui. Nesunku pastebėti, kad tokių polinomų f(x) ir jų pagalbinių polinomų /, (x) ženklų pakitimų skaičiaus suma turi būti lygi polinomo …
In:
Excerpt
474 Polinomai su tikraisiais koeficientais [X sk. Kadangi x* koeficientas yra O, tai jį g lima laikyti teigiamu, nes x? koefi- cientas yra teigiamas. Įrašę trūkstamo koeficiento ženklą, turėsime tokius ženk- lus + + — —, atseit, vieną ženklų pakitimą. …
In:
Excerpt
$ 49] : Tikrųjų šaknų skaičius 475 turi bent vieną porą sujungtinių kompleksinių šaknų; jeigu trūksta trijų arba keturių polinomų, tai duotas polinomas turi mažiausia dvi poras kompleksinių šaknų ir t. t. Tačiau šios Šturmo grandinės savybės retai …
In:
Excerpt
476 Polinomai su tikraisiais koeficientais [X sk. 2) Polinomas : x5 — 655 — 12x + 9 turi 2 poras kompleksinių sujungtinių šaknų, nes koeficientai prie x4, x* ir x2 yra nuliai, o jiems gretimi narių koeficientai —6 ir —12 turi vienodūs ženklus. 3) …
In:
Excerpt
L $ 50] Artutinis šaknų radimas 477 kur 7 yra lygties f(x) = 0 laipsnis. Lygties 9, (x) = 0 šaknis y,» ati- tinkanti lygties (+) — 0 šaknį x,, bus intervale (0, 1). Įstatę į lygtį 2, (7) =0 = is (13) sutvarkę ją ir pažymėję jos kairę pusę 4, (2), gausime …
In:
Excerpt
/ 478 Polinomai su tikraisiais koeficientais [X sk. Ir vėl, jei (5(4) =0, tai x, yra racionalinė ir tada šaknis yra rasta, o jei ne, tai analogišku būdu galime gauti sekantį dešimttūkstantųjų skaitmenį. Šį procesą galime tęsti tol, kol pasieksime …
In:
Excerpt
$ 50] Artutinis šaknų radimas 479 Sulyginę šią tapatybę su f(x) išraiška (16), gausime K) =b „16,3 bx+-6,= =6,(x—a)Y711-6b, „(x—a"721... --6;(x—4)1-6į. Iš šios lygybės, padaliję /, (x) iš x— a, gausime liekaną b,. Pažymėję daliklį f4(x), o jo koeficientus …
In:
Excerpt
480 Polinomai su tikraisiais koeficientais [X sk Taigi, f(4)=2(x — 403 + 155 (x — 407? + 2715 (+—4) — 11487, arba š e (y)= 253 + 15532 + 2715y — 11487. Panaudojus laiptuotą Hornerio lentelę, galima iš karto gauti ne tik p(y), bet ir (2), įstatyti x=a; = …
In:
Excerpt
$ 50] „ Artutinis šaknų radimas 2 481 Vadinasi, mes suradome polinomo f (4)=2x3 —85x3 — 85x —87 5 šakai 40 +3 + 5—435. Skaičiuodami apytikriai kokią nors šaknį, skaičiavimus surašome ne į kelias, bet į vieną lentelę, kurią vadinsime Hornerio-Rufinio Ien- …
In:
Excerpt
482 Polinomai su tikraisiais koeficientais [X sk. : 1 i Pal 1 1 —100 1 5 2i —16 1 9 57 —16000 4 1 13 5700 | —4072 1 130 ||| 5964 —4072000 1 132 6232 —283624 13 134 623200| | —283624000 12 631396 1 1360 639628 | 1366 63962800 1 1372 6 1 1378 1 13780 …
In:
Excerpt
$ 50). Artutinis šaknų radimas 483 Skaičiavimus patogiausia atlikti tokia Hornerio-Rufinio lentele: 432 L 3i į —275 S SU UE 35 i. 65 1 LET 5 MAE 51392 24 24500 | gė 59 : kalis ai — 13608000 STS 696 | B SRS 13608000 1 8 . Mean 0 S 26908 598 | i : di AŠ | …
In:
Excerpt
-- + + A $ 49] Tikrųjų šaknų skaičius 459 Atsikiriant polinomo šaknis, dažniausiai dalijame intervalą pusiau, tačiau kai kada tenka elgtis ir kitaip. Kaip tai daroma, paaiškinsime pavyzdžiais. Pavyzdžiai. 1) Rasime polinomo J(2)=—x* 1- 3x3 + 74? 1 10x 1 1 …
In:
Excerpt
460 Polinomai su tikraisiais koeficientais Iš ski "Kadangi tarp R,=Ū ir R4;=— —2 buvo tik Ž(—2)—Ž(0)=3—1=2 šaknys, o paėmę tarpinį tašką 1 mes jas atskyrėme, tai daugiau tarpinių reikšmių imti nebereikia. . Polinomo f(x) tyrimas parodė, kad jis turi dvi …
In:
Excerpt
is $ 49] Tikrųjų šaknų skaičius 481 3) Surasime polinomo J(2)=2 1 21153 —4x2— 35 —5 tikrųjų šaknų skaičių ir tas šaknis išskirsime vieneto ilgio intervalais. Šturmo grandinės polinomai yra fi (0)=1' (+) = 5x* + 8x3 1 3x2 —8x—3, f. (4) =—6x3 1 66x2 + 44x 1 …
In:
Excerpt
LŽ a 462 Polinomai su tikraisicis koeficientais [X /5k- metodu didelio tikslumo pasiekti „sunku, nes skaičiavimai darosi labai sudėtingi, Jau žinome, kad nagrinėto polinomo - f0)=x— 108 1 24 tik viena Šaknis yra tarp 3 ir 4. Tuo pačiu mes tą šaknį …
In:
Excerpt
$ 49] Tikrųjų šaknų skaičius 463 tada polinomas ą(x) turės visas tas pačias šaknis, kaip ir f (x), tik jos bus nekartotinės (paprastos), o 9, (x) bus nekeičiantis ženklo po- linomas. Polinomo (x) Šturmo grandinė bus 9 (4) 91 (4)> Ę5 (x), pp (4). Sakykime, …
In:
Excerpt
464 Polinomai su tikraisiais koeficientais [X sk Iš jos matome, kad f(x) turi dvi skirtingas tikrąsias teigiamas šaknis, kurių viena triskart kartotinė. Iš tikrųjų, f(4)=(+17—123(+—2). 2) Rasime polinomo E(0)= + 211 5—x?—2x—1 šaknų pobūdį. Surandame …
In:
Excerpt
$ 49] Tikrųjų šaknų skaičius 465 nagrinėjamą intervalą (a, 6) ir išvestinių grandinės ženklų pakitimų skaičių intervalo pradžioje S(a), o pabaigoje — S (6). Biudano-Furjė teorema. Jei intervale (a, 6) polinomo f(x) išvestinių grandinės ženklų pakitimų …
In:
Excerpt
466 Polinomai su tikraisiais koeficientais [X sk. Ž K | Pe, 22 c-E žž 4 + — ž c = 0 i =£ c+s 2E = = Kai viena tarpinė išvestinė lygi nuliui, išvestinių grandinė arba nei nenustoja, nei įgauna nė vieno ženklo pakitimo (pirmoje lente- lėje, kai f") (c) …
In:
Excerpt
$ 49] Tikrųjų šaknų skaičius 467 dinės ženklus, kai f€"+) (x) 0, gausime lentelę, iš kurios galėsime nustatyti ženklų pakitimų nuostolį intervale (c—e, c4-s) lyginiam ir nelyginiam A atskirai: m-kį1 mk IE 70171 G S (x) x —- 3 9 x R x = = ESS Ė Ža aaa || I …
In:
Excerpt
468 Polinomai su tikraisiais koeficientais [X sk. abas 1 O) S (5) ž =| =|+* + K 7 ž " + T ĮšE KA | A šile L] Aa E [12|13| 1 | 1 21 LA IE 2 +Ž|+€£| > 2 > a R 2 | . k+1 c-e ET ar L sšaj = + = +|—- L14- Bak k k+! < + 0 |--0 | 0518 e Bo E T (ka BA E lala E …
In:
Excerpt
$ 49) Tikrųjų šaknų skaičius 469 ESS c-s | + — 1 AS c+re — | -- | (ATA Abiem atvejais išvestinių grandinė nustoja vieno ženklo pakitimo. Toliau, nagrinėdami išvestinių grandinės ženklų pakitimų nuostolį, galėsime pasinaudoti jau sudarytomis lentelėmis, …
In:
Excerpt
470 Polinomai su tikraisiais koeficientais EX sk x J(5) Pi BAA | 602 S O — o - + - + 3 BI =! + = — + 2 0 = = + + 1 1 = + + - 1 2 - + + + 0 o Užpildę tik —2 ir 2 eilutes, turime, kad tikrųjų šaknų, skaičius yra 1 arba 3, nes S(—2)— S(2)=3. Užpildę O …
In:
Excerpt
$ 49) Tikrųjų šaknų skaičius 471 Iš jos matome, kad polinomas f(x) turi po vieną tikrą šaknį intervaluose (—2,—1) ir (1, 2) ir dvi arba nė vienos šaknies intervale (0, 1). Norėdami išaiš- kinti, ar ten yra šaknis ar ne, padalijame intervalą taškų > …
In:
Excerpt
$ 5 Gauso lema 497 kur 2—m2--7 ir b., BL 1 > bp, 6) yra sveikieji skaičiai. Teoremai įrodyti belieka parodyti, kad (6, (E * 5 b,; b;)= il (5) Sakykime, kad polinomo 9 (x) koeficientai nepatenkina lygybės (5), t. y. kad IB bai o Bi ba] d Sveikasis skaičius …
In: