Excerpt
E sl , n-mačių vektorių erdvė Šios sistemos determinantas . l 2 15 —4 5:4 |=35, 1 2151 2 todėl pagal Kramerio taisyklę ši sistema turi vienintelį sprendinį === Vadinasi, vektoriai yra tiesiniai neprikiausomi. 2) Tegu skaliarų kūnas yra R. Paimkime penkių …
In:
Excerpt
198 : * Matricos ir vektoriai V sk2 2 teorema. Kiekviena vektorių sistema, į kurią įeina nulinis vek- torius, yra tiesiniai priklausoma. * Įrodymas. Tegu, pavyzdžiui, [15] = [0]. Paėmę bet kokį ska- liarų kūno elementą Ž 0, tokiai 2 vektorių sistemai …
In:
Excerpt
$ 21] "o n-mačių vektorių erdvė 199 Padaliję iš I;, turėsime 151=(—7)l1+(— 7) [«5]-- A [2;-,]-+- + I + (— Ža] (— > ) Ian o pažymėję (R FD (-2)- k ( = 25 2 J — 1, 751, DP gauname lygybę (18). Antra vertus, jei vektorius [«;] lygybėje (18) yra nulinis, tai …
In:
Excerpt
200 Matricos ir vektoriai [V sk. Kiekvienas vektorius [2,], [25], ---, [a,], patenkindamas tapatybę [2;]=0-[2;]4-0-[25]4----1-0-[0;,]+1-[4;]+ 4-0-[z;4,]1---- 1-0- [a] (7=1, 2, 7 siaD, 7), gali būti tiesiniai išreikštas 7 pirmaisiais vektoriais, todėl …
In:
Excerpt
$ 21] n-mačių vektorių erdvė 201 išreikšti tais 7 vektoriais. Jeigu mes jį iš sistemos pašalinsime, tai . naujoje sistemoje liks 7 tiesiniai nepriklausomų vektorių ir todėl jos rangas nepasikeis. Sakysime, kad [x;] yra vienas iš vektorių [«,], [z> j> +--, …
In:
Excerpt
202 Matricos ir vektoriai [V sk. | Jeigu turime dvi sistemas [a,]; [5], ia [e]; i (21) [8]; [851 +--> 18. (22) [2;]= 5 Lp [8,7 (/=1, 2, ---, m), k=1 tai sistema (21) yra sistemos (22) tiesinė kombinacija. Tegu turime trečią sistemą a)> [rs] > [TH (23) …
In:
Excerpt
$ 21] PS n-mačių vektorių erdvė 203 1 . 7 teorema. Ekvivalenčių sistemų rangai sutampa. i Įrodymas. Tegu sistemos (21) ir (22) ekvivalenčios ir jų ran- | gai atitinkamai lygūs 7, ir Tą. Iš sistemų ekvivalentumo turime, kad "sistemą (21) galima tiesiniai …
In:
Excerpt
204 “| Matricos ir vektoriai [V sk. Vadinsime juos vienetiniais vektoriais. Įrodysime, kad vienetinių vek- torių sistema turi rangą m, t. y. kad tie vektoriai yra tiesiniai ne- priklausomi. Parenkame kūno 8 elementus Ą; /, ---, J, taip, kad 4 [e,]-+--[e> …
In:
Excerpt
$ 21] n-mačių vektorių erdvė 205 mas visų galimų > koordinačių vektorių su skaliarų kūnu 1 sistema, i kurią toliau vadinsime erdve, turi rangą n. Bet kokių vektorių erdvė, jei jos rangas yra 1, vadinama n-mate erdve. Tokios erdvės 2 tiesiniai …
In:
Excerpt
206 Midricas Ar nebiorias IV 4 3 Tą patį vektorių, parinkę baze vektorius [1,]= 2, 0, 0, 0, 0], [> ] = [0, 3, Dž 01, [1)1= [0, 0, Ls 0, 0], m [m ]= [0, 0, 0, DE 0], 0, [5] = [0, 0, 0, V, 3], išreiš-iame taip: [469]=2 [m,]— [15] —2 [15] 49 [14] —2 Is]. 3) …
In:
Excerpt
122 $ 22) Mairicos rangas ir jo nustatymas 207 Dabar rasime tokius kompleksinius skaičius G1> G3, a5 ir a,, kad galiotų lygybė [40]=[37, 2—27, 4, DZ aN= ad =a [01] 45 [65] -- a; [05] + a; [064]. š Iš šios vektorinės lygties gauname tiesinių lygčių …
In:
Excerpt
208 Matricos ir vektoriai | [V sk. galime žiūrėti kaip į 77 n-mačių vektorių I41]=[015 2155 > > > 21,5 [25] = [215 2295 -+-> 25,15 Ke e ei je Tu Ce k a a (26) [c„] ŽT5 [215 Cm25 15 Sa sistemą. Atvirkščiai, 11 7-mačių vektorių sistema vienareikšmiai nusa- …
In:
Excerpt
172 Determinantai [IV sk. Panaudoję šio determinanto paskutines 7 kolonas, išdėstome jį x-tos eilės minorais. Vienintelis iš parinktų kolonų sudarytas ir neturįs nu- linių eilučių 7-tos eilės minoras yra determinantas | Išgink ie Čin | Cn Gap Gp Ca | …
In:
Excerpt
$ 17] | Laplaso teorema 173 2) Sudauginsime šiuos determinantus: 1 —3 a 98 AOL | TP 3,14 2 (B 2-1 1-:24+(—3)-3 Le aaN a 2 0 3 4 220 PL Oa Be — 11 S 802 2 Transponuojant determinantą, jo reikšmė nesikeičia, todėl deter- minantų sandaugą, be formulės (38), …
In:
Excerpt
174 Determinantai ; [IV sk. . ir kombinuodami kolonas su eilutėmis — 1 —3 2.53 1 -242-1 L -22- 4 2 0||3 4| [|(—3)-210-1 (—-3)-3> +0-4 4 11 12 G 9 Sudauginsime visais keturiais 'būdais šiuos du trečios eilės determinantus: 3 1 —2 —1l 2 0 ĮA0,=| 0 —4 2 |, = …
In:
Excerpt
d 2 "5 18] Determinantų skaičiavimas 175 pasirinktos eilutės (kolonos) elementai būtų nuliai. Dažnai patogu laikytis šių nurodymų: 1) Jeigu determinanto kurios nors eilutės keli elementai yra pro- porcingi kitos eilutės elementams, tai vienoje jų tie …
In:
Excerpt
176 Determinantai [IV sk. pirmos, iš antros kolonos iškeliame daugiklį 2 ir ketvirtą koloną pridedame prie antros ir trečios. Šiuos perdirbimus patartina daryti ne iš karto, bet dviem žingsniais —taip kaip toliau nurodyta, nes antra kolona keičiama du …
In:
Excerpt
si87i. Determinanli" skaičiūdimas | 0 i ALB 3 Ma = 4 - 5 | ka ARS 1-4) -- ož) 6 0914 al 08115 4] 560 3 6 IS - 44 1 Sa IP 5 [Ga 0 o a kas, I - 35415 2107 621] L 23 So 6 23 4. — 5 321= == m —1 4 —5 3 a] Es ai IN o iai) 55 —3 6-3 4|2=—į Dr GL 5 22 28 k …
In:
Excerpt
178 4 Determinantai [IV sk. kons T TI 14 2151 22 = 744212 = —260 1 = —260 -- 12 —4 42 5 0 25 0|25 la 4-1 M o LT - 30 0 30 0|730 Šį ketvirtos eilės determinantą patogiausia išskaičiuoti, išdėsčius jį antros eilės minorais, panaudojus tam trečią ir ketvirtą …
In:
Excerpt
| $ 18] Determinantų skaičiavimas 179 II metodas. Dažnai I metodą tenka modifikuoti „ir; jį :naudoti kartu su matematinės indukcijos metodu arba su determinanto išdės- tymu kurios nors eilutės (kolonos) elementais, kurių bent du nėra nuliai. Šitas …
In:
Excerpt
180 Determinantai [IV sk. 5) Išskaičiuojame determinantą 4-5 7 —8 1 Da. 0. LSE 0 0 — 5 25 103|=4-3-(—5-10-(-7)=4200. 0 0 0: A0 35 0 0 0 D-— T 6) Išskaičiuosime 1 1-1 eilės determinantą 2 = 1 a 2 E ž 1 x,171 Ž E x= 1 2 2 „n-l aa A XT? ai = Li AU ia a 1 X : …
In:
Excerpt
$ 18] „ Determinantų skaičiavimas 3 18] lygiai nutolusias nuo galo ir pradžios kolonas vietomis. Tuomet pagal II ir X savybę turėsime: 0:0 0 a, žų Ie) 22,—1 42, | AX |= Se O O O IA S A Ik = 0 a Sa-1n-1 | Ške1ų Už, Ra ž J gm Ann ū„ 0 0 0 0 Omi 0 0 = (IDR …
In:
Excerpt
182 Determinantai 8 [1V sk. 0 Na 2001 20523 0 D+5A50 401 0 0:2 0142-1107 74 a Ūla Taa kas = —(—3)-1-3-(—8)-(—10)- 10=7200, 0210-14 6 2524 10 0-6 LE 1 B nes 6—=4-.1 412, 9) Išskaičiuosimę 14 1 eilės determinantą P TA a; |At*5|= LAT T3 Iž> A ia i = Ua 1 X …
In:
Excerpt
$ 18] Determinantų skaičiavimas 185 Įrodysime, kad ĮV0) | = (25 — 34) (44 — 24) (5 —2;) (0 — G a), — a 1) = = II (tp — ai). i i I …
In:
Excerpt
$ 16] Kramerio taisyklė 147 Pavyzdžiui, sudauginę 4-tos eilės determinanto |4(9| ketvirtos eilutės ele- mentus su antros eilutės adjunktais ir sudėję, turėsime Andy A- a5A5s + 045455 + a As, = Un G3 Ū14 Ci Cis Ūią =—=Gu| G> Ga 24 | -G> | Gi Gap G | > 212 …
In:
Excerpt
148 Determinantai (IV sk. X X 7, X, vietoje, visas sistemos (21) lygtis paversime tapatybė- mis. Tokią reikšmių b,, B, -- -, 6, visumą vadinsime sistemos (21) sprendinių. Jeigu sistemos determinantas |4|=0Ū, tai sistema arba yra nesu- derinta (visai …
In:
Excerpt
$ 16) Kramerio taisyklė 149 Analogiškai rasime ir kitų nežinomųjų reikšmes. Norėdami rasti k-tą nežinomąjį, dauginame sistemos (21) lygtis atitinkamai iš A,,> A5p, > > > , A,„ ir sudedame: A ož aAj,-- X; . ap App O Ž a Aj, 52 j=1 7=1 Rokas 2 aj Aj) = 3 ej …
In:
Excerpt
150 Determinantai [IV sk. Sistema (23) yra gauta iš sistemos (21) tik algebriniais perdirbi- mais, todėl kiekvienas jos sprendinys yra kartu ir sistemos (23) sprendinys. . Kad formulių (23) reikšmė tikrai patenkina lygtis (21), galima betarpiai …
In:
Excerpt
$ 16] Kramerio taisyklė 151 Prisiminę, kad |4,|= 2 C App 1=1 TIT) Žan(ža4)|-o: Arskliautę skliaustus, išplėtę Z, sugrupavę narius su vienodais Cc; Ir iškėlę tuos daugiklius prieš skliaustus, panašiai kaip tai darėme tik- rindami pirmąją lygtį, turėsime va …
In:
Excerpt
152 Determinantai [IV sk. Norėdami šio determinanto skaičiavimą suvesti į trečios eilės determinantų skaičiavimą, pridedame trečios kolonos elementus prie visų kitų kolonų atitin- kamų elementų. Gautą determinantą išdėstome paskutinės kolonos elementų …
In: