Excerpt
212 Matricos ir vektoriai [Y sk. Pavyzdys. Tegu turime penkių keturmačių vektorių sistemą [44]=[l5 —3, 2, —1Į, [z5]=[3; —9, 6, —3], [45]=[2, —2, —15) 1]; [44]=[1) 5, —8, 5] [25]=[5, —3, —5, 4]. "Iš vektorių koordinačių sudarome 5x4 matricą A; „4 Matėme …
In:
Excerpt
| $ 22] Matricos rangas ir jo nustatymas 2 213 Pavyzdys. Rasime determinanto 3 —8 0 —2 L 122 A(9) | = = | 13 —2 —12 —6 | 2521 at 14 tiesiniai priklausomą eilutę ir tiesiniai priklausomą koloną. Šio determinanto antros eilės minoras IB —8 L anas o jį …
In:
Excerpt
214 2 Matricos ir vektoriai [V sk. $ 23. Mairicų daugyba Jau minėjome, kad matricos atsirado iš tiesinių lygčių sistemų ir tiesinių transformacijų. Tiesinės transformacijos naudojamos įvairiose matematikos šakose. Jau analizinės geometrijos pradžioje …
In:
Excerpt
$ 23] 3 Matricų daugyba 215 Sakykime, kad nežinomuosius y45 Y2, +++, 7, transformuojame dar kartą, įvesdami nežinomuosius z1, 25 +++, Z, Ta transformacija yra: N=Puzi t bis 225--- T br žp R, Sis 25 dn a b, 2227 Ia a Ja atitinka 2 X: matrica (29) bi biz Ss …
In:
Excerpt
216 Matricos ir vektoriai [V sk. t. y. matricos j-tos eilutės k-tos kolonos elementas yra suma sandaugų matricos AAA J-tos eilutės elementų ir matricos B.„, k-tos kolonos ele- mentų. Taip gauta nauja 21 x: matrica C.„„ Vadinama matricų LN ir B.„, …
In:
Excerpt
$ 23] Matricų daugyba 217 Pavyzdys. Imame kūno X matricas. Dauginsime 3x2 matricą iš 2x4 matricos: l 2 2 43 0-2 1 — (Lo 1 2 45 20 0. —5 1 1 1 1 1 3-415-15 3-(-3)+5-2 83-01 5> -(-1) 3:21+5-0 1 | -2-411:45 -2-(-8)11-2 —2-04+1-(-1) —2.211-0 |= 1 0-41+(-5)-45 …
In:
Excerpt
218 Matricos ir vektoriai [V sk. ca B turėtų tiek eilučių, kiek A turi kolonų, t. y. matrica B turi turėti 2 eilučių. Kad matricą A.„„galima.būtų padauginti iš kairės iš B, reikia, kad pastaroji turėtų 77 kolonų. Taigi, matrica B turi būti 2 xm matrica …
In:
Excerpt
$ 23] Matricų daugyba 219 Pavyzdys. Sudauginame dvejopai dvi tas pačias matricas; LAA L lksiaĖ i, Tai rodo, kad ir kvadratinių matricų daugyba nekomutatyvi. Labai dažnai tenka dauginti matricas-kolonas iš matricų-eilučių ir atvirkščiai. Ištirsime 1lxn …
In:
Excerpt
220 Matricos ir vektoriai [V sk. Analogiškai matricų sandaugai vektoriams-eilutėms apibrėžiame jų skaliarinę sandaugą. Dviejų vektorių skaliarinė sandauga yra skaliaras, gautas susumavus tų vektorių atitinkamų koordinačių sandaugas. Skaliarinę vektorių …
In:
Excerpt
| $ 23] Matricų daugyba 291 Kad trijų matricų sandaugą galėtume išplėsti ir vartoti ją be skliaustų, turime patikrinti kokį rezultatą gausime, jei iš pradžių padauginsime matricą B,,,iš C.„„, o vėliau matricą A.„„iš gautos sandaugos. Matricų Erik e …
In:
Excerpt
134 Determinantai Žin Pastebėsime, kad »x-tos eilės determinantai patenkina visas savybes kurias įrodėme antros ir trečios eilės determinantams, ir, be to, dz kelias, kurių anksčiau neturėjome. Visas savybes mes čia iš nauj suformuluosime ir įrodysime. I. …
In:
Excerpt
$ 15] n-tos eilės determinantai 135 ir atvirkščiai. Savybės įrodysime tik eilutėms arba kolonoms, 0 dės- nius formuluosime eilutėms ir kolonoms. II. Determinanto ženklas pasikeis, jei dvi j0 eilutes (kolonas) sukei- sime vietomis. ; Sukeitus dvi …
In:
Excerpt
136 Determinantai [IV sk. liai, paverčia visus narius stai todėl ir toks determinantas yra ly- gus nuliui. IV. Dererminantas, kurio dvi eilutės (kolonos) vienodos, lygus nuliui. Ši savybė yra III savybės išvada, nes determinanto |A| su lygio- mis …
In:
Excerpt
S 15) n-tos eilės determinantai Tegu turime 137 Zi ia 4, A 425 GAC 05, S a.+b. . Til a: 5 a; 0ip GO (PJ Cn 2.2 S, (A Ji išskleidę, gausime "as S d dA | Šo ( 1) Šia, TA j9 ia (25, + ri Uka sea Dada 012 1 7-1 J 1 Mas a A 1 2, 3 r b. La iš ja) kia, aa“ …
In:
Excerpt
138 Determinantai [IV sk. dome sudarytą determinantą į sumą dviejų determinantų. Tada ant- ram determinantui pritaikę V savybę, gauname: An Ap ln Antras determinantas turi dvi Gy LA AS GO An Uro S 223 š 2 , LAA š Gjį ar laą 4;j2 i la> a An P las, Lą [| 2, …
In:
Excerpt
$ 15] n-tos eilės determinantai 139 a15 — 3015 — Žas L 45 (—4> 3-—9-2 (ke) as — aj — Ža 044 Sai) Įvedę šį apibrėžimą, įrodysime svarbią determinantų savybę. VIII. Dererminantas yra lygus nuliui, Jei kuri nors jo eilutė (kolona) yra kitų eilučių (kolonų) …
In:
Excerpt
140 Determinantai „HN sk. 2) Determinantas a4+b k c4+d 1 2 bc | dia 1 c+d m a4b || dra 7 ba A kur a, b, c, d, k, I, m ir n yra bet kokie skaičiai, yra lygus nuliui, nes, prie pirmos kolonos pridėję trečiąją ir iškėlę daugiklį a +54+c4+d, gauname, kad > …
In:
Excerpt
$ 16j Kramerio taisyklė 141 Čia elemento a,,(k=1,2, ---, x) daugikliai A=- 2 IN ia Ai 1k ( ) 23, Caa, E Bas Bas > B,=152, R-1, RTL... a o o, kaip ir anksčiau, reiškia perstatinio 8,, 84, +++, 8, netvarkų skaičių. Panagrinėsime, kas yra elemento a,, …
In:
Excerpt
142 Determinantai [IV sk. eilės determinantą, tai gausime elemento a;, mincrą, kurį žymėsime M;,„ Taip iš determinanto Zil A aipi iki) Uikiai 67 Up 3 235 i lapų 2k | Gopii VE |A|= nurodytu būdu išbraukę /-tą eilutę ir £-tą koloną, gauname to ele- mento …
In:
Excerpt
$ 16] Kramerio taisyklė 143 daugiklį A,,, perstatysime determinanto |A| kolonas taip, kad elemen- tas a,, ir visa K-ta kolona būtų pirmoje vietoje, o kitų kolonų tarpu- savio tvarka liktų tokia pat. Tai atlikę, gausime determinantą ir Ču Gia Ge ir Čia ak …
In:
Excerpt
144 Determinantai [IV sk. Kadangi k gali turėti reikšmes 2,3, ---, m, o kai 4=1, kaip matė- me, 4, = M, tai, kai 4=1,2, ---, nm, turime A„=(—-17+ž Map (17) Įstatę tas A,„ išraiškas į (15), turėsime Ai=anAn+ > A5----- 0, As T Ap = =2, M+ 05(—1Y*Ms+-245(— …
In:
Excerpt
$ 16] Kramerio taisyklė i 145 Norėdami determinantą išdėstyti ne pirma eilute, o bet kuria kita, sakysime j-ta eilute, turėsime tą eilutę atkelti į pirmosios vietą ir paskui išdėstyti jau mums žinomu būdu. Atkeldami 7-tą eilutę į pir- mos vietą taip, kad …
In:
Excerpt
146 Determinantai [IV sk. U> Cip G Au Gp G14 = —Gų| 23p Up Os4 |T 005 A, Ū33 Ūzų , Gj GU43 Gg4 A Gi3 Ū44 | Uu Gp Gi4 Uu Cup Ci3 —A5gi Ag Op Oz |PŪ4 | Ap Ūzp Ops > G Up Ga4 G Op Gaz į Tas determinantas, išdėstytas trečios kolonos elementais. yra …
In:
Excerpt
| 299 o Mairicos ir vektoriai [V sk. Sulyginę abiejų sandaugų atitinkamus narius, matome, kad jie sutampa. Kadangi abi sandaugos yra m2x7 matricos, tai galutinai gauname, kad B) i = A 2) = E G (38) Įrodėme, kad matricų daugyba yra asociatyvi. Pavyzdys. …
In:
Excerpt
“- $ 23] Matricų -daugyba 223 Įrodę, kad matricų daugyba asociatyvi, galėsime matricų daugybą išplėsti bet kuriam dauginamųjų skaičiui ir dauginant sandaugos na- rius jungti kaip tik norėsime. Daugindami matricas, turime prisiminti, kad negalima Keisti …
In:
Excerpt
294 Matricos ir vektoriai [V sk. Lygybės (42) dešinėje pusėje yra formulės (40) dešinėje pusėje esančios matricos j-tos eilutės K-tos kolonos elementas. Taigi, formu- lė (40) yra įrodyta. Įrodydami kairiosios daugybos distributyvumo dėsnį, pastebėsime, …
In:
Excerpt
$ 23] , Matricų daugyba 225 Matome, kad sandaugos rango negalima nustatyti, žinant tik dauginamųjų matric4 rangus, nes abiejų pavyzdžių dauginamųjų matricų rangai lygūs 1, o sandaugos rangas atitinkamai yra 1 ir O. Jis abiem atvejais nedidesnis už dau- …
In:
Excerpt
226 Matricos ir vektoriai [V sk. $ 24. Kvadratinių matricų algebra Šiame paragrafe nagrinėsime n-tos eilės kvadratines matricas. Jas žymėsime didžiosiomis lotyniškomis raidėmis be jokių indeksų. Praeitame paragrafe matėme, kad dviejų »2-tos eilės matricų …
In:
Excerpt
. | $ 24] Kvadratinių matricų algebra 227 Matėme, kad stačiakampės matricos patenkina abiejų daugybų distributyvumo dėsnius. Kadangi kvadratinės x-tos eilės matricas ga- lima ir sudėti, ir sudauginti, tai ir jos patenkina tuos dėsnius; 14 as Ba k …
In:
Excerpt
228 Matricos ir vektoriai [V sk. Šią transformaciją vienareikšmiai atitinka m-tos eilės matrica A. Ieš- kosime matricos A atvirkštinės matricos, pasinaudoję transformaci- jos (46) atvirkštine transformacija. Atvirkštinė transformacija keis nežinomuosius …
In: