Excerpt
$ 49] Tikrųjų šaknų skalčius 457 o kai tarpinis grandinės polinomas vidiniame intervalo taške neturi šak- nies, tai ženklų pakitimų skaičius nepasikeičia. Ženklų pakitimų skaičius, einant nuo mažesnių nežinomojo reikšmių į didesnes, gali tik sumažėti ir …
In:
Excerpt
458 Polinomai su tikraisiais koeficientais Eš sk. Šturmo -teorema ne tik padeda rasti šaknų skaičių bet kokiame intervale, bet ir tas šaknis atskirti, t. y. rasti tokius intervalus, ku- riuose tėra tik po vieną tikrąją šaknį. Sakykime, kad nustatėme …
In:
Excerpt
384 * Polinomai su keliais nežinomaisiais [VIII sk. Akivaizdu, kad n(n—1) E J) ED L 61) „> k> j> l Palyginę šią formulę su diskriminanto išraiška (48), gauname tokį rezultanto ir diskriminanto ryšį: n(n—1) 2 R(f, £)=(—1) a„d„ (52) arba n(n-1) d„=(—1) > …
In:
Excerpt
$ 39) Diskriminantas 385 Sudauginę ir sutraukę panašius narius, vietoje polinomų 9, (x) ir e, (x) gausi-" me atitinkamai polinomus 25 250 | AO) — Ar V Az ir 6.05) =53—8; Šie polinomai yra pavidalo (56), todėl jiems tinka formulė (57). Pritaikę ją …
In:
Excerpt
386 Polinomai su keliais nežinomaisiais ĮVIII sk. , Duosime dar vieną polinomo f(x) diskriminanto pavidalą. Prisi- mename Vandermondo determinantą . 1 1 Sai! Ai a; +.) 2, Lao A BG ION e 14 ss n=k> i2l | gn-1 a57i Laiko Sakykime, kad formulės (58) …
In:
Excerpt
T lis Ki g Aa * $ 40] Nežinomųjų „eliminavimas 387 Rasime polinomo g,(x) šaknų vienodų laipsnių sumas S Sp» Sg> Są, Išreikš- tas pagrindiniais simetriniais polinomais c,= — 2 9, = L Ia $ 37 paskutiniame uždavinyje randame, kad : , Ž S = 955 5 = Si — 205, …
In:
Excerpt
Su > Polinomai su keliais nežinomaisiais [VIII sk. Tegu turime du žiedo T [x, y] polinomus, sutvarkytus vieno ne- žinomojo, sakykime y, mažėjančiais laipsniais: jAC2 y) Zi CLU + fa (y 11 20 215 + AV == Jo(x), | ee = E OY aka Ya 6)y 8003): J Tegu …
In:
Excerpt
$ 40] ž Nežinomųjų eliminavimas 389 atsiuikti tik tada, kai arba abiejų polinomų vyriausiųjų narių koefi- cientai yra nuliai, arba kai polinomai f(a, y) ir g(e, y) turi bendrą šaknį. Pirmuoju atveju J.(4) =0 ir g„(a)=0, (65) o antruoju, jei polinomų f(a, …
In:
Excerpt
390 Polinomai su keliais nežinomaisiais Ž [VIII sk. Eliminavę nežinomąjį x, gauname sistemos rezultantą a AB F(3)—|. 2y—3 51 0 |=26+17+0y—-3*5+1)+ 0 Dre4 X +(2y—3) Gy +206 +1)=( +-1)(12y*— 15y +3)=36+1)G6— I) (4y— I). 1 Nė viena jo šaknis, nei 1, nei — 1, …
In:
Excerpt
IX SKYRIUS POLINOMAI SU KOMPLEKSINIAIS KOEFICIENTAIS S 41. Algebrinis lygčių sprendimas Iki šiol kalbėjome apie polinomų (lygčių) šaknis, bet nenagrinėjome būdų, kaip tas šaknis rasti. Šiame ir sekančiuose skyriuose parodysi- me, kaip tas šaknis rasti. …
In:
Excerpt
Ž 392 Polinomai su kompleksiniais koeficientais [IX sk. Tegu turime x-to laipsnio lygtį aga A S ar E (1) kur c„70. Parodysime, kad nežinomąjį > galima pakeisti taip, kad lygtis (1) bus pakeista to paties laipsnio kita lygtimi, kurios vyriau- sias …
In:
Excerpt
$ 42) š “| Antro laipsnio lygtys 393 = 4= a Pagal lygybę (3) padarę pakeitimą X=Z— L, turėsime antro laipsnio redukuotą lygtį 2 =—--4=0. (5b) Šią lygtį išsprendžiame, traukdami kvadratinę šaknį iš kompleksinio 2 skaičiaus 2 li Kadangi kvadratinė šaknis …
In:
Excerpt
394 Polinomai su kompleksiniais koeficientais [1X sk. Pavyzdžiai. 1) Išspręsime kvadratinę lygtį su kompleksiniais koeficientais: x2—(2—41) x—(3 161) =0. Taikydami formulę (6), kai p= —24-4i ir 4= —(3+-6/), turime, kad x=1—A1+VŪU—U 7376 =1—-2i 1 V A …
In:
Excerpt
$ 43] Trečio laipsnio lygtys 2 395 Į antro laipsnio lygtį su tikraisiais koeficientais galime žiūrėti kaip į atskirą lygčių (5) ar (5a) atvejį, kai visų kompleksinių skaičių menamosios koordinatės yra nuliai. Pastebėsime, kad iš (6), (6a) ir (7) matyti, …
In:
Excerpt
396 . Polinomai su kompleksiniais koeficientais [IX sk. Šios lygties šaknys g S ą Ža a as »--4+V/5+b re IroĖ Kadangi u3 ir 23 įeina į lygtis (10) ir (11) simetriškai, tai galime, pavyzdžiui, paimti, kad Iš šių lygybių ištraukę kubines šaknis, gauname …
In:
Excerpt
422 Polinomai su kompleksiniais koeficientais [IX sk. Iš šios teoremos galima padaryti labai daug išvadų apie komplek- sinių skaičių kūną, apie jo polinomų žiedą 8 [x], o taip pat ir apie tikrųjų skaičių kūną S ir jo polinomų žiedą S [x]. Išvada. …
In:
Excerpt
$ 45] Pagrindinė kompleksinių skaičių algebros teorema 423 „Žinoma, kelios šaknys, o dažnai ir visos, gali būti tikrieji skaičiai, t. y. tų šaknų menamosios koordinatės gali būti nuliai. Kyla klausimas, gal kiekvienas žiedo S [x] polinomas turi tik …
In:
Excerpt
424 Polinomai su kompleksiniais koeficientais [IX sk. Palyginę f(a) ir f(a) išraiškas (pagal II skyrių) turėsime, kad f(a) =c— di. Sakykime, kad «a yra f(x) šaknis, atseit, f(0)=cL-di=0. Kadangi kompleksinis skaičius yra lygus O tik tada, kai jo koordina- …
In:
Excerpt
$:46] Dvinarės ir simetrinės lygtys 425 kur c4 C55 2-5 C; YIa visos jo tikrosios šaknys, o x24- ėx+a, (7=!/-:-1, /+-2, ..., s) visi pirminiai antro laipsnio polinomai ir n=k k + AS 2411-24, ai ZA Žinoma, antro laipsnio pirminiai polinomai yra gauti, …
In:
Excerpt
k i , 426 Polinomai su kompleksiniais koeficientais "IX sk. Paėmę bet kurią n-to laispsnio vieneto šaknį e, gauname (e4)Y"=e"a"=1-a=3. Taigi, =—1. Teorema įrodyta. Pritaikysime $ 8 apibrėžtų primityvių vieneto šaknų savybes lyg- čiai (63) spręsti. …
In:
Excerpt
$ 46] Dvinarės ir simetrinės lygtys 427 tyvios vieneto šaknies e, keliant ją laipsniu nuo 1 iki x. Taigi, lygties (64) visos šaknys yra EE el as anos eli …
In:
Excerpt
428 Polinomai su kompleksiniais koeficientais [IX sk. Parinkime du tos sandaugos narius ež0' ir e“, kur /557, arba t> Zt,, arba abu indeksai skirtingi. Jeigu ss 0!= e, tai ei = WS, Bet e/-* yra lygties x+—1=—0 šaknis, o w::—: — lygties x— 1 =0 šaknis, o …
In:
Excerpt
5 46] Dvinarės ir simetrinės lygtys 429 nėra, nes tada visos vieneto šaknys, išskyrus vienetą, nėra tikros (turi pavidalą a 4-6i, kur 60). Kai » yra lyginis, tai, be tikrosios LM LTA A šaknies V a, yra dar ir kita tikroji šaknis — V a, nes —1 yra tada …
In:
Excerpt
430 Polinomai su kompleksiniais koeficientais [IX sk. Sprendžiant įvairius klausimus, dažnai tenka spręsti 1-to laipsnio lygtis, kurių koeficientai yra tarp savęs surišti. Vienos iš charakterin- giausių tokių lygčių yra simetrinės, kurių kairės pusės …
In:
Excerpt
$ 46] Dvinarės ir simetrinės lygtys 431 J š p 1 ė Kadangi a; ir — yra polinomo f(x) šaknys, o L ir 4; — polinomo i ą g(x) šaknys, tai m-to laipsnio polinomai f(x) ir g(x) turi tas pa- čias šaknis, atseit, yra ekvivalentūs, todėl jie gali skirtis tik dau- …
In:
Excerpt
432 Polinomai su kompleksiniais koeficientais [IX sk. + x—1jx? . Jis turės šaknį 1 ir dalysis iš x—1. Padaliję f. (x) iš x—1, vėl gausime f; (x) ūpo simetrinį (2— 1) laipsnio polinomą. Dabar ištirsime polinomą f; (x), kai n nelyginis. Šiuo atveju po- …
In:
Excerpt
$ 46] Doinarės ir simetrinės lygtys 433 Įstatę šias binomų reikšmes į lygtį (72), gausime m-to laipsnio lygtį 6„3--b.AZ 11-66, =0. (75) Pakeitimais (74) galime visų simetrinių lygčių sprendimą suvesti ma- žiausia į dukart žemesnio laipsnio lygčių …
In:
Excerpt
372 Polinomai su keliais nežinomaisiais [VIII sk. Pavyzdys. Išreikšime s; pagrindiniais simetriniais polinomais, kai 7 —4. Pirmoji lygy- bė yra > S =0p Imdami formulėje (29) k=2, turime Ss, — 519, 120, =0, iš kur s, —1į — 205. Esant 4=3, iš tos pačios …
In:
Excerpt
$ 38] Rezultantas 373 Čia duosime kitą metodą, kuriuo nesunkiai galėsime nustatyti, ar du polinomai su vienu nežinomuoju turi bendrą šaknį ar ne. Pasi- remdami tuo metodu, galėsime nustatyti, kada dviejų nežinomųjų polinomai turi bendrą sprendinių …
In:
Excerpt
374 Polinomai su keliais nežinomaisiais [VIII sk. Į formulę (34) vietoj x įstatę polinomo g(x) šaknis B, B... Bb o į formulę (35) įstatę f(x) šaknis 24, 45, ..., 4, gauname £(6)=2, [T 6;— 2) ((=1, 253 m), (36) k=1 g(a)=0,[ Į (e4— 8) (HE ks n). (37) 3 j=1 …
In: