Excerpt
$.85]- Bet kokių transformacijų išdėstymas ir išskaidymas 765 aa V Iš pirmos lygčių (63) sistemos matome, kad tiesinės transformacijos C matrica ortonormalinėje bazėje fe! yra e AD OL 12 40 T= S > (64) OL 0-7 Ji neneigiama (;,> 0, kai £=—1, 2, „.., m). Iš …
In:
Excerpt
765 Tiesinės transformacijos unitarinėje ir euklidinėje erdoėje [XVII sk. Pavyzdžiai. 1) Išreikšime tikrą transformaciją Al ai piL6 4 6 Dabar gauname, kad A=S+L, iš kur …
In:
Excerpt
$ 85] Bet kokių transformacijų išdėstymas ir išskaidymas 767 Imame transformacijos < sujungtinės transformacijos S/* matricą bazėje (e) 443 —2Ų 2-i A*=| 4 1—2 —3 21: 4—-i 3 ir sudarome naują matricą 4 2—i 2-1 H=Ž(41+44= 244 1 24i|=H*. 21: 24: 3 Ši matrica …
In:
Excerpt
768 Tiesinės transformacijos unitarinėje ir euklidinėje erdvėje [XVII sk. 4) Išreikšime kompleksinę matricą aermitinės ir įstrižai hermitinės matricos suma. Taip pat išreikšime ją dviejų hermitinių matricų, vieneto ir menamojo vieneto i sandaugų suma. …
In:
Excerpt
XVIII SKYRIUS KVADRATINĖS FORMOS $ 86. Kvadratinės formos ir jų dvitiesinės formos Šiame skyriuje nagrinėsime 2 nežinomųjų *;; X25 ---> 3 kvadrati- nes (antro laipsnio) formas 4 3; Ais Xi Xš (1) j,k=1 arba > Gai (2) j,k=1 su koeficientais iš tikrųjų arba …
In:
Excerpt
$ 86] Kvadratinės formos ir jų duiliesinės formos 771 Galima nagrinėti formas, kurių matricų elementai yra iš bet kokio nulinės charakteristikos kūno B. Tuo atveju dažniausiai naudojamas kvadratinės formos pavidalas (1). Jei kūne T yra apibrėžta sujungti- …
In:
Excerpt
$ 76) I Transformacijų matricos normalinis pavidalas 697 Kadangi yra tik vienas vektorius, o dvi charakteringosios šaknys yra nuliai, tai reikia manyti, kad matrica A yra panaši į šią žordaninę matricą: 1 10 0 0. k. 040 AT aaa 00 0 0 Iš tikrųjų, matricos …
In:
Excerpt
698 Polinominės matricos o ; [XV sk. Šios matricos charakteringasis polinomas ĮzE-Al=(z+2*(z—1)2. Surasime charakteringosios matrieos elementarinius daliklius. zE-A= 0 0 0 0 0 —4 z—-2 0 0 0 —8 1 > E25 —--31 - z—l —zZ 0 —1 0 0 0 zi 0 2-1 0 0 0 0 2542 0 0 0 …
In:
Excerpt
$ 76] Transjormacijų matricos normalinis pavidalas 699 21 > 00 gain 0 agi 0 0 0 LB ao 640 E AO 0 d 55 281 | d B 0 a 0 0 0 0 0-2 Kadangi paskutinė matrica yra pseudodiagonalinė, tai, iš jos suradę atskirų įstrižainės langelių elementarinius daliklius, …
In:
Excerpt
700 Polinominės matricos ||| [XV sk. pirmos ir trečios eilės, atitinkančius nuosavą scikšnię —2. Matrica A yra pa- naši į tokią žordaninę matricą: "1 Za 0 a in S - 0-4 ežio T An tiekusi D a (40 01 00 Ši matrica yra vienintelė žordaninė matrica, panaši į …
In:
Excerpt
XVI SKYRIUS EUKLIDINĖS IR UNITARINĖS ERDVĖS $ 77. Skaliarinė sandauga Iki šiol nagrinėjome tik afininę erdvę. Toje erdvėje nėra sąvokų, kurios trimatėje erdvėje yra labai svarbios ir su kuriomis kasdieni- niame gyvenime, matematikoje, ypač geometrijoje, …
In:
Excerpt
702 Euklidinės ir unitarinės erdvės [XVI sk. Tegu turime 1-matę erdvę £€?, kurios skaliarų kūnas yra kom- pleksinių skaičių kūnas 8. Kiekvienam vektorių dvejetui a ir 3 pri- skirsime skaliarą (a - 8), kad būtų patenkintos šios sąlygos: 1. (2-8)= (8-2), 2. …
In:
Excerpt
S 77) 58 Skaliarinė sandauga 703 Iš tikrųjų, kai skaliarinė sandauga yra simetrinė, vektorių « ir ia sandaugos iš savęs, atseit, (4-4) =c 1r (a-ia)=ii(a-4)= —c, (3) nors c ir būtų teigiamas skaičius, abi kartu negalėtų būti teigiamos. Parodysime, kaip …
In:
Excerpt
„ 704 Euklidinės ir unilarinės erdvės [XVI sk. Tokią erdvę toliau vadinsime unitarine eilučių erdve. 4) Paėmę kompleksinę eilučių erdvę, skaliarinę sandaugą galime apibrėžti bendresne negu formule (5). Vektorių [2] ir [8] skaliarinę sandaugą taip api- …
In:
Excerpt
D NĄ $ 77) Skaliarinė sandauga 705 kur g (x) yra polinomas, kurio koeficientai yra polinomo g (x) koeficientų su- jungtiniai skaičiai. . Iš šio apibrėžimo ir iš integralo savybių matyti, kad 1 —3 skaliarinės san- daugos savybės galioja. Kad formule (9, …
In:
Excerpt
706 Euklidinės ir unitarinės erdvės [XVI 'šk: turėsime (a-8)= V. kajbp- (11) i, k=1 Ši formulė leidžia apibrėžti bet kurių vektorių skaliarinę sandaugą bet kokioje bazėje, jei tik bus duotos bazės vektorių skaliarinės san- daugos. Patogizusia šią …
In:
Excerpt
$ 78] “ Metrinės sąvokos 707 S 78. Metrinės sąvokos Vektoriaus a ilgį žymėsime ||. Jo didumas pagal apibrėžimą ly- gus kvadratinei šakniai iš vektoriaus skaliarinės sandaugos iš savęs, NA |4|= V(z-9)- (15) Kadangi pagal 4 savybę (4-4) > 0 bet kokiam a, …
In:
Excerpt
708 Euklidinės ir unitarinės erdvės [XVI sk. Tikrojoje > -matėje erdvėje taip pat pasinaudosime formule (18). Sakysime, kad Z (a, $)= are cos; I . 2 Ė (19) Norėdami unitarinėje erdvėje apibrėžti dviejų vektorių kampą taip. kad jo didumas būtų tikrasis …
In:
Excerpt
$ 821 Normalinės transformacijos 737 transformacijos “X invariantinis poerdvis. Kadangi skaliarinė sandauga abiejose erdvėse sutampa, tai (6-1) = (IE19C- [11)=0, (EAC-3)= (IEC B= 0. (24) Dabar įrodysime euklidinės erdvės normalinėms transformacijoms tokią …
In:
Excerpt
738: Tiesinės transformacijos unitarinėje ir euklidinėje erdvėje [XVII sk. invariantinių poerdvių (jų turės būti 1— = ). pagaliau prieisime nulinio matavimo poerdvį. 3 Paėmę visus s nuosavus vektorius bazės elementais ir prijungę prie - L 2 visus 1 bazės …
In:
Excerpt
$ 82] Fa Normalinės transformacijos 739 1 Surandame transformacijos +7 nuosavą vektorių iš matricinės lygties [x15 x4](1E — A)= [0]. Iš jos gauname skaliarinių lygčių sistemą (—2+1)1 +(—212)11—0, (2—74x, 1+(21:)x,=0. Šios sistemos bendrasis sprendinys [cl …
In:
Excerpt
„BvVV“ Ku 270 Ž 740 Tiesinės transformacijos unitarinėje ir euklidinėje erdvėje [XVII sk. Įsitikiname, kad a tikrai yra abiejų transformacijų nuosava reikšmė, atitinkanti nuosavą reikšmę I (abiem transformacijom): [2 “le =[tlL A =[22, —a, —2a]= 1 Itl0> …
In:
Excerpt
$ 82] į * Normalinės transformacijos 741 todėl ž e, SL =(1— 21) E15 s, D =(—4—2iją,, , …
In:
Excerpt
742 Tiesinės transformacijos unitarinėje ir euklidinėje erdoėje [XVII sk. kur a, b ir c yra bet kokie tikrieji skaičiai. Tie trys vektoriai tikrai yra "tie- siniai nepriklausomi. Jie yra abiejų matricų nuosavi ve ktoriai, atitinką skirtingas nuosavas …
In:
Excerpt
$ 82] ) Normalinės transtormacijos 743 Transformacijos €J( nuosavą reikšmę 3 atitinkantį nuosavą vektorių ran- dame iš lygčių sistemos ) 2x, 1+-2x5—=0, 0=0, —2x, +-2x,=0. Šios sistemos determinantas lygus 0, o jos sprendinys: yra x, = x =0, O x, bet koks. …
In:
Excerpt
744 Tiesinės transformacijos unitarinėje ir euklidinėje erdvėje [XVII sk. 7. Tikroji transformacija O, kurios simetrinė matrica ortonormalinėje ba- 2G E ABB 2.18 B Leo A g A yra normalinė. Rasime bazę, kurioje tos transformacijos matrica bus diagonaline. …
In:
Excerpt
$ 83] S Sau sujungtinės transformacijos 745 Euklidinės erdvės sau sujungtines transformacijas žymėsime 6. Pagal apibrėžimą 9'= J. (29) Kiekvienoje ortonormalinėje bazėje fe) hermitinės transformacijos matrica yra hermitinė. Iš *— XX seka bazėje …
In:
Excerpt
746 Tiesinės transformacijos unitarinėje ir euklidinėje erdvėje [XVII sk. Euklidinės erdvės simetrinei transformacijai panašiu būdu teoremos įrodyti negalima, nes normalinė transformacija gali visai neturėti nuo- savų reikšmių. Toje erdvėje teorema …
In:
Excerpt
734 Tiesinės transformacijos unitarinėje ir euklidinėje erdvėje [XVII sk. Įrodymas. Imame normalinę transformaciją OC, kuri turi bent dvi skirtingas nuosavas reikšmes į ir Z5(4)35/). Sakykime, kad tas reikšmes atitinkantieji bendrieji transformacijų OC ir …
In: