Excerpt
T7Ą Kvadratinės formos [XVIII sk. Analogišką reikšmę simetrinėms formoms dvitiesinėms formoms (8) turi hermitinės formos, kurioms ę= (E, 1)= ę(1; E). (20) Iš formulės (10) seka, kad p — a (E 2 a), (21) Vadinasi, bazėje f03 hermitinės formos matrica yra …
In:
Excerpt
$ 86] 4 Kuadratinės formos ir jų dvitiesinės formos 775 Vadinasi, kvadratinės formos matrica | 3 --1 S= 3-1 —2|, Lk 2 4 todėl ją atitinkanti dvitiesinė forma Ji 9(6 M= lt > 45] S | v> |= 2 Yz = [x 3 —X55 Ix Xp --2X5 — X — 255 445] | y5 Y3 = dk —Xa91 TB Ya …
In:
Excerpt
775 Kvadratinės formos [XVIII sk. Parašysime tą dvitiesinę formą bazėje (s,, £3, €53, kai perėjimo iš bazės ie) į bazę ( 0 Pažymėsime dvitiesinę formą «(E, 7). Kadangi jos matrica bazėje (e) yra simetrinė, tai ir bazėje …
In:
Excerpt
$ 86] ė Kuvadratinės formos ir jų duitiesinės formos 777 Ši transformacija bus simetrinė, nes S1=(0907= (0-3 8'0'= 05071=4, ir jos simetrinė matrica bazėje 4 w ! bus S. = 05,01. Į matricą O galime žiūrėti, kaip į erdvės vektorių ortonormalinės bazės fw1 …
In:
Excerpt
778 Kvadratinės formos [XVIII sk. kur /,, 55 -..,/, yra matricos H nuosavi vektoriai. Šį hermitinės dvi- tiesinės formos pavidalą taip pat vadinsime diagonaliniu. Vadinasi, įrodėme ir teoremą: Kiekvieną kompleksinę hermitinę dvitiesinę formą p(E, 1) su …
In:
Excerpt
$ 87] š Simetrinės ir hermitinės formos 779 Galime parašyti kelias nesimetrines dvitiesines formas su sveikais teigia- mais koeficientais, iš kurių ši forma galėjo būti gauta: 9; (E 1)= 21 V1 144195 243925 95 (E M) = x191 31195 + *191 --2x3 925 9 (5 = 191 …
In:
Excerpt
780 Kvadratinės įormos [XVIII sk. kurią buvome gavę aukščiau, pasinaudoję tik kvadratinės formos si- metrine matrica. Paprastai formulė (30) tam tikslui beveik visai nenaudojama, nes skaičiavimas yra gana ilgas, o simetrinės matricos gavimas yra labai …
In:
Excerpt
$ 87] Simetrinės ir hermitinės formos 781 | i ž i g (1: = į[P6+1E1+0—96-—-0E—-)— 96 Lin, Er /m) + Tię(E— in, E — žm) L (35) Šiomis lygybėmis kai kurioms kvadratinėms formoms galima nustatyti ryšį tarp ę(E, m) ir ę(n, E). Panagrinėsime pavidalo (32) …
In:
Excerpt
782 Kvadratinės formos [XVIII sk. Tuo pačiu mes įrodėme, kad pavidalo (31) dvitiesinė forma bus tik tada hermitinė, kai jos kvadratinė forma visų vektorių atžvilgiu yra tikrasis skaičius. Mes toliau tirsime tik tokias pavidalo (2) arba (32) kvadratines …
In:
Excerpt
$ 88] Kvadratinių formų kanoninis pavidalas 783 Jei visi 2,,—=0, kur k=1,2,...,n, tai bent vienas a;jp, kur J7k, nėra lygus 0, nes kitaip forma būtų tapatingai lygi O ir jau turėtų kanoninį pavidalą. Jei a;, 770, tai pakeičiame koordinates, imdami X1=J;: …
In:
Excerpt
$ 78] Metrinės sąvokos 709 Tada sa (a - B) (4-4) " Įstatę / ir 7 reikšmes į gautą nelygybę, turėsime "NCB (4-8 (4-8) PA a - Ee - SG B+6-9> 0, G: Da-D o GD (DG (2-4) I (4-a) r (4-0) +(6-8)> 0. Sutraukę panašius narius ir padauginę iš teigiamo skaičiaus …
In:
Excerpt
710 Euklidinės ir unitarinės erdvės [XVI sk. Taigi, vektorių [x] ir [8] kampas Z(ta. 1) [8]) =arc cos 2 o —arccos 0,5788. 2) Rasime trimatės tikrosios erdvės vektorių > > = =: = —- =z a=2i—3/ +6k ir b=4i43j kampo kosinusą: 2-44+(—3)-34+6-0 === COS Za, "- …
In:
Excerpt
$ 78] Metrinės sąvokos 711 Čia R(x-8) yra skaliarinės sandaugos (2-8) tikroji dalis. Aišku, kad R(a-B) 5—2V 7. 2) Parodysime, kad tos pačios nelygybės galioja trimatės tikrosios erdvės vektoriams > > Log“ 371 6k, 547157. Vektorių sumos modulis —> — …
In:
Excerpt
712 š2 Euklidinės ir unitarinės erdvės [XVI sk. $ 79. Vektorių oriogonalumas. Ortonormalinė bzzė Unitarinėje ir euklidinėje erdvėje labai svarbūs yra ortogonalin'ai vektoriai. Tokie vektoriai apibrėžiami analogiškai, kaip statmeni vek- toriai euklidinėje …
In:
Excerpt
$ 79) Vektorių ortogonalumas. Ortonormalinė bazė 713 Vektorių Gi> Uzs < -> A, Sistemą vadinsime ortogonalia, jeigu kiekvieni du šios sistemos vektoriai yra ortogonalūs. Įrodysime, kad ortogonalių vektorių sistema, jei tarp jų nėra nu- linio vektoriaus, …
In:
Excerpt
714 Euklidinės ir unitarinės erdvės [XVI sk. Nesunku matyti, kad pagal formulę (32) (G 2)= (4 -2)=(Ę-2)5 (K-2)= (E- 255 4 la, į* (G-2)= (6-2) 5 (Gm) = (E- 2.) Sudarome vektorių C—E ir padauginame jį skaliariškai iš visų aj, App 5, Sistemos vektorių: …
In:
Excerpt
$ 79] Vektorių ortogonalumas. Ortonormalinė bazė 715 Vadinasi, vektorių sistema e,, €5, ..., e, Yra ortonormalinė, jei 1, kai /= k, Gy p= | 0, kai įk. (33) Kiekvienoje unitarinėje (euklidinėje) erdvėje galime rasti ortogonalią bazę. Sukonstravę tokią bazę …
In:
Excerpt
716 “* Euklidinės ir unitarinės erdvės [XVI sk Toliau sudarysime e4, pasinaudoję w5 ir jau sudarytais vektoriais e, ir e,. Imame e3— 05 — ks 6> — kj 63. (37) Panašiai kaip ir anksčiau parenkame skaliarus /+5 ir Iz, tokius, kad £5 Le, ir e; | «,. …
In:
Excerpt
$ 79 Vektorių ortogonalumas. Ortonormalinė bazė 717 Ortonormalinė bazė labai patogi, nes išreikštų tokioje bazėje vek- torių skaliarinė sandauga išsireiškia jų koordinačių ir jų sujungtinių dydžių sandaugų sumomis. Unitarinėje erdvėje 800 imame ortonor- …
In:
Excerpt
718 Euklidinės ir unitarinės erdvės [XVI sk. Sekantį bazės elementą parenkame, pasinaudoję e;=*—į- Kad sį būtų ortogonalus Su s;, turi galioti lygybė 1 1 0=(e'-£4)=(x—1-1) = — ži Ža == Om“ =Y3 6x— 1). V ueije Vrs Trečią bazės elementą parenkame, paėmę e; …
In:
Excerpt
$ 79) Vektorių ortogonalumas. Ortonormalinė bazė TA95 arba Įstatome šių skaliarų reikšmes į 55) — hi (E1 > £> ) + — lol -2)) = (42 - e;) — I525 iš Čia 1 -— „2 5 Is =V5 Jeos- Ep a L 0 Emi 0=(e5-6,)= (2 61) — 555 vadinasi, 1 Aa 3 ių V3 [eei-nar-"hp ag p 0 š …
In:
Excerpt
720 Euklidinės ir unitarinės erdvės [XVI sk. Norėdami sunormuoti vektorių 4, randame jo modulį =WV7 (2042 — 3042 + 125 —7). 20V7 Mūsų surasta erdvės LU ortonormalinė bazė yra | I, V3 €ex—1), V5 (62 —6x 11), VT 00 —302—12x—1) | Patariame skaitytojui …
In:
Excerpt
$ 80] Izomorfizmas. Ortogonulinės sistemos 721 Pasirenkame erdvėje 80 ortonormalinę bazę fe = fe,s 695 a]; 8+—> [8]= [245 655 ---; 6,)- Nesunku įsitikinti, kad vektorių n ax-4-bB— ž. (aa, > - bbp) ep k=1 atitiks vektorius-eilutė a[2]+-5[8] = [aa, + b6;, …
In:
Excerpt
$ 85] Bet kokių transformacijų išdėstymas ir išskaidymas 759 1 teorema. Umitarinėje arba euklidinėje erdvėje kiekvieną tiesinę transformaciją galima vienareikšmiškai išreikšti dviejų transformacijų suma, kurių viena yra sau Sujungtinė, o kita — įstrižai …
In:
Excerpt
760 Tiesinės transformacijos unitarinėje ir euklidinėje erdvėje [XVII sk. Kiekvieną kompleksinę arba tikrą matricą A visada galima išdėstytž dviejų matricų S ir I suma: Ė A= SLI, kur S yra sau sujungtinė, o I— įstrižai hermitinė arba įstrižai simer- rinė …
In:
Excerpt
$ 85] Bet kokių transjormacijų išdėstymas ir: išskaidymas 761 Transformacija 0. (50) 2 teorema. Būtina ir pakankama sąlyga, kad sau sujungtinė transformacija būtų neneigiama (teigiama), yra, kad jos 21505 nUOSAJOS reikšmės būtų neneigiamos (teigiamos). …
In:
Excerpt
762 Tiesinės transformacijos unitarinėje ir euklidinėje erdvėje [XVII sk. Tegu dabar J, yra sau sujungtinė transformacija, kurios nuosa- vos reikšmės yra Lp Žo. I, ir I,> 0 (teigiamoms /„> 0), kai £--1, 2, ..., n. Nagrinėjamoje erdvėje pasircnkame …
In:
Excerpt
$ 85) Bet kokių transformacijų išdėstymas ir išskaidymas 763 Iš transformacijos C apibrėžimo matyti, kad jei transformacija 6; yra teigiama (/,— 0, kai k—1, 2, „.., m), tai matrica C yra neišsigi- musi ir Y//,> 0, k=1, 2, ..., m, t. y. C yra teigiama. …
In:
Excerpt
764 Tiesinės transformacijos unitarinėje ir euklidinėje erdvėje [XVII sk Šiuo neišsigimusios transformacijos < atveju C ir 04 yra nustatytos vienareikšmiai. Kai t„-= V I, bus tikrieji neneigiami skaičiai. Vadinasi, ep 91 = p (s1sl*)= Ra, (k=1, 2... n). …
In:
Excerpt
$.85]- Bet kokių transformacijų išdėstymas ir išskaidymas 765 aa V Iš pirmos lygčių (63) sistemos matome, kad tiesinės transformacijos C matrica ortonormalinėje bazėje fe! yra e AD OL 12 40 T= S > (64) OL 0-7 Ji neneigiama (;,> 0, kai £=—1, 2, „.., m). Iš …
In: