Excerpt
k i , 426 Polinomai su kompleksiniais koeficientais "IX sk. Paėmę bet kurią n-to laispsnio vieneto šaknį e, gauname (e4)Y"=e"a"=1-a=3. Taigi, =—1. Teorema įrodyta. Pritaikysime $ 8 apibrėžtų primityvių vieneto šaknų savybes lyg- čiai (63) spręsti. …
In:
Excerpt
$ 46] Dvinarės ir simetrinės lygtys 427 tyvios vieneto šaknies e, keliant ją laipsniu nuo 1 iki x. Taigi, lygties (64) visos šaknys yra EE el as anos eli …
In:
Excerpt
428 Polinomai su kompleksiniais koeficientais [IX sk. Parinkime du tos sandaugos narius ež0' ir e“, kur /557, arba t> Zt,, arba abu indeksai skirtingi. Jeigu ss 0!= e, tai ei = WS, Bet e/-* yra lygties x+—1=—0 šaknis, o w::—: — lygties x— 1 =0 šaknis, o …
In:
Excerpt
5 46] Dvinarės ir simetrinės lygtys 429 nėra, nes tada visos vieneto šaknys, išskyrus vienetą, nėra tikros (turi pavidalą a 4-6i, kur 60). Kai » yra lyginis, tai, be tikrosios LM LTA A šaknies V a, yra dar ir kita tikroji šaknis — V a, nes —1 yra tada …
In:
Excerpt
430 Polinomai su kompleksiniais koeficientais [IX sk. Sprendžiant įvairius klausimus, dažnai tenka spręsti 1-to laipsnio lygtis, kurių koeficientai yra tarp savęs surišti. Vienos iš charakterin- giausių tokių lygčių yra simetrinės, kurių kairės pusės …
In:
Excerpt
$ 46] Dvinarės ir simetrinės lygtys 431 J š p 1 ė Kadangi a; ir — yra polinomo f(x) šaknys, o L ir 4; — polinomo i ą g(x) šaknys, tai m-to laipsnio polinomai f(x) ir g(x) turi tas pa- čias šaknis, atseit, yra ekvivalentūs, todėl jie gali skirtis tik dau- …
In:
Excerpt
432 Polinomai su kompleksiniais koeficientais [IX sk. + x—1jx? . Jis turės šaknį 1 ir dalysis iš x—1. Padaliję f. (x) iš x—1, vėl gausime f; (x) ūpo simetrinį (2— 1) laipsnio polinomą. Dabar ištirsime polinomą f; (x), kai n nelyginis. Šiuo atveju po- …
In:
Excerpt
$ 46] Doinarės ir simetrinės lygtys 433 Įstatę šias binomų reikšmes į lygtį (72), gausime m-to laipsnio lygtį 6„3--b.AZ 11-66, =0. (75) Pakeitimais (74) galime visų simetrinių lygčių sprendimą suvesti ma- žiausia į dukart žemesnio laipsnio lygčių …
In:
Excerpt
372 Polinomai su keliais nežinomaisiais [VIII sk. Pavyzdys. Išreikšime s; pagrindiniais simetriniais polinomais, kai 7 —4. Pirmoji lygy- bė yra > S =0p Imdami formulėje (29) k=2, turime Ss, — 519, 120, =0, iš kur s, —1į — 205. Esant 4=3, iš tos pačios …
In:
Excerpt
$ 38] Rezultantas 373 Čia duosime kitą metodą, kuriuo nesunkiai galėsime nustatyti, ar du polinomai su vienu nežinomuoju turi bendrą šaknį ar ne. Pasi- remdami tuo metodu, galėsime nustatyti, kada dviejų nežinomųjų polinomai turi bendrą sprendinių …
In:
Excerpt
374 Polinomai su keliais nežinomaisiais [VIII sk. Į formulę (34) vietoj x įstatę polinomo g(x) šaknis B, B... Bb o į formulę (35) įstatę f(x) šaknis 24, 45, ..., 4, gauname £(6)=2, [T 6;— 2) ((=1, 253 m), (36) k=1 g(a)=0,[ Į (e4— 8) (HE ks n). (37) 3 j=1 …
In:
Excerpt
. * nis Giiiaalis— Aidai $ 38] Rezultantas 375 Dabar lengvai įrodysime formulę, analogišką formulei (39). Paėmę lygybėje (36) /=1, 2, ..., m, sudauginę gautas formules ir sandau- gą padauginę iš 5", turėsime, kad R(e: f)=6: TT 76) (40), j=1 Iš formulės …
In:
Excerpt
376 Polinomai su keliais nežinomaisiais [VIII sk. formulių (31) ir (32) sąlygoms. Vadinasi, polinomai f(x) ir g(x) turi | turėti bent vieną bendrą šaknį, jei tik jų rezultantas R(f, g) =0. Tuo atveju, kai polinomų f(x) ir g(x) vyriausių narių koeficientai …
In:
Excerpt
$ 38] Rezultanias 377 turi bendrų šaknų su polinomais a(2)= 2 1+2x4-2, g,(x)=1211, £s(x)=12412x—3, Pasinaudosime I pavyzdžiu. Čia a=1, b=0 ir c= —?, todėl R(/4 9)=33 4077 )-9* 1697 444 — 9273 — 27214. Skaičiuodami R(f; g,), turime imti > = —?2, ą=2. …
In:
Excerpt
378 Polinomai su keliais nežinomaisiais [VIII sk. kur f (x) ir g,(x) yra žiedo T[x] polinomai; f, (x) — žemesnio negu n-to laipsnio, o g,(x) žemesnio negu m-to laipsnio. Padauginę lygybę (44) iš g,(x), o lygybę (45) iš f, (x), turėsime: J) Ax) =4(5) A (x) …
In:
Excerpt
| $ 38] Rezultantas | 379 " Ši sistema savo nežinomųjų atžvilgiu yra homogeninė, todėl ji turės nenulinį sprendinį tik tada, kai jos koeficientų determinantas 0 0 0 0 00 4-1 G, 0 0 DE bo 0 0 Gą Gut da Gai Gp lų 6, LA 0 : 0 Gp G G4-> Gp tų 6; DA ia 0 0-0 …
In:
Excerpt
380 Polinomai su keliais nežinomaisiais S VIII sk: (nepriklausantį nuo a, ;; 2, > , < ag) narį, turėsime, kad jie abiem atvejais yra lygūs arb". Todėl ins Po a 0 > 20-20 0 2 Ua a, 0-0 8 10 L EL i) UA bi b, 0 0 0 0 5 akis 0 0 0:0 0-0 ži A Tokio pavidalo …
In:
Excerpt
Ė “ $ 38] 4 Rezultantas 381 Toks rezultantas, kurio a, ir 6„ gali būti ir nuliai, bus naudin- gas eliminavimo teorijai. Determinanto pavidalu išreikštas rezultantas yra daug paprastesnis ir su juo patogiau operuoti. Pavyzdžiai. 1) Išskaičiuosime …
In:
Excerpt
382 Polinomai su keliais nežinomaisiais [VIII sk. 3) Rasime, kuris iš šių dviejų polinomų 9 (1)=x3—4x27—3x118 ir 9,(x4)=2—3x*1+3x—9 turi kartotines šaknis. Jeigu polinomas turi kartotinę šaknį, tai tą pačią šaknį turi turėti ir jo išvestinė, o tada jų …
In:
Excerpt
ž $ 39] Diskriminanias ę 383 Įvesime bet kokio polinomų žiedo B[x], kur R yra nulio charak- teristikos kūnas, polinomo J) =2,5 a, „1 a x-a5 diskriminanto sąvoką. Tegu a„750 ir polinomo šaknys jo išsiskaidy- mo kūne R yra Cae bo SS Polinomo f(x) …
In:
Excerpt
sakiai $ 43] Trečio laipsnio lygtys 397 „aa > p > Ž d io i i M kuriai w479= — 3 Taip parinkę vieną 4 ir 2 reikšmę, visas šaknis gausime iš lygybių Uu=lo Up=ši Up Up = 55 Up ir U= 0 V —= SU VU —€2lg5 kur P "a a —iuši “LEI 22 až = 3 p p U3U> = Mg E1 Voš, = …
In:
Excerpt
398 Polinomai su kompleksiniais koeficientais [X sk. Todėl š X3 — Us - 05 = UgE2 T To34- “ Visas tris lygčių (9) šaknis galima taip parašyti: X, = Va T 705 X> = Vy T 10825 : (17) X3 — Up > -- 015 arba, …
In:
Excerpt
$ 43] Trečio laipsnio lygtys | i 399 Jei L tai TP PB (22) EžEL Vadinasi, bent viena šaknies reikšmė racionaliai išsireiškia koeficien- Ė . Ž 3 2 tais p» ir g. Parinkę wo == 25 turėsime 2p 3 Ap a Jeigu A,=0, tai diskriminantas d;— —108A; = — (27424 473) = …
In:
Excerpt
400 Polinomai su kompleksiniais koeficientais [IX sk. Tei p=0, tai ir g=—0 ir lygties (9) šaknys + L Pavyzdžiai. 1) Išspręsime“ lygtį 1 x 19x— 28; —0. Iš Kardano formulių, kai 7=9 ir g=— — 287, turime 3 3 3 u=Vl4i4V Zi0664277=YV 47 B= V 273, Bei La Ms a S …
In:
Excerpt
$ 43] Trečio laipsnio lygtys 401 Patikrinimas; i (a+4—2) (+—219 = (+114—- 2 (A —20— 13 — 45 = =x3—3(3—4/) x 1-2(2— 117). 3) Išspręsime lygtį x — Bix? —3(11-2i) x —5(2—1)=0. Norėdami šiai lygčiai pritaikyti Kardano formulę, turime ją redukuoti, nes jos …
In:
Excerpt
402 Polinomai sų kompleksiniais koeficientais [x sk. skaičius padaugintas iš kompleksinio skaičiaus, kurio menamoji koor- dinatė nelygi nuliui, negali būti tikrasis skaičius — Ž. Taip parinkę, turėsime, kad 3 3 g aa / ą 5 p t Už > UT (27) kur kubinių …
In:
Excerpt
$ 43] Trečio laipsnio lygtys 403 Kai 7=0, ir g=0. Tada Xi = X, =X5—=0. III atvejis. d; > 0, arba A; < 0. Šiuo atveju > yra neigiamas skaičius, nes kitaip d; negalėtų būti teigiamas. Kardano formulėje Į/ A; dabar yra menamasis skaičius, todėl abi trečio …
In:
Excerpt
404 Polinomai su kompleksiniais koeficientais [IX sk. Iš formulių (17a) randame lygties šaknis x —=24-bi-4—bi=23, 1 ME ž 12 5 = — 502041 > i(etbi-a+6)= —(a15V3 V g = —-1-2—- VB (aki -a46)= —a+0V3. Gavome, kad III atveju, nors 4 ir 04 yra kompleksiniai …
In:
Excerpt
$ 43] Trečio laipsnio lygtys 405 rasime 44 ir v,—= 144. Pavyzdžiui, parinkę tą šaknies argumento reikš- mę, kuri yra lygi = gauname i 3 1 (cos 2 =--isin žų =Vr (cos £ =— 1sin E ml ( < šių reikšmių ir iš formulių (29) 3 X =2 Vr cos Ž> = 2Vr cos aide, (32) …
In:
Excerpt
406 Polinomai su kompleksiniais koeficientais [IX sk. Parinkę w4 ir v4 kubinių šaknų tikrąsias reikšmes, turėsime A u„= —1,; 79= —5. Lygties šaknis gausime iš formulių (17a): x =u+-04= —6; 1 CN = -5(-0)+ L: i(-115=312V3, a = 22 JE 3. Šios lygties …
In: