Excerpt
12. KLASĖS L(R) FUNKCIJŲ FURJĖ TRANSFORMACIJOS gauname x+1/2 +0 fes6= | fOs6-94= | ar, —0 x-1/2 t. y. /*g (x) šiuo atveju yra integralinis funkcijos f reikšmių vidurkis taško x aplinkoje (x— 1/2, x+1/2) su svoriu 1. 12. Klasės L' (R) funkcijų Furjė …
Excerpt
XII INTEGRALAI, PRIKLAUSANTIEJI NUO PARAMETRŲ tai -+-0 +0 Ge0= | Ok -Dd= | ese a Todėl 2 E - 5 fo= | feržritar=(/+e4 (0), t. y. funkcijos f Furjė transformacija f(x) lygi dviejų funkcijų f ir e, 5ą- sūkos reikšmei nuliniame taške. Iš apibrėžimo aišku, kad …
Excerpt
12. KLASĖS LR) FUNKCIJŲ FURJĖ TRANSFORMACIJOS 1) Jei 56 RE tai (+96)= | (0)+800)) ež" ar= R = [fo esžrit rs | goes ar= 6) + 86-86). . R R DE(COOLOS || GN) 2-6 = ij J() eat di = cf (x). R R 3) Jei IL/= f IO, R tai /(:)=0 beveik visur ir todėl f(x) =0 …
Excerpt
XII INTEGRALAI, PRIKLAUSANTIEJI NUO PARAMETRŲ bet kokiems x“, x" < R, tenkinantiems sąlygą ES E T 2zm ||| J || o tai ir reiškia, kad / yra tolygiai tolydi aibėje R. Įrodysime, kad f6)—0, kai x7—> +0. Tegu => 0. Pagal / apibrėžimą ir (4) nelygybę gauname: …
Excerpt
22. KLASĖS LŲR) FUNKCIJŲ FURIĖ TRANSFORMACIJOS “2 teorema. Jei f ge L! (R), tai (/*8)1=f-g. (7) > Jei xe R, tai (= [Use tat [dt [ZO)8 (yet tdy, (8) R R R Pastebėkime, kad [ Vost-De-*=|av= | VO EC Iadv= (ls le 0) R R ir |/|* | g | < 1 (R), nes f, g < L" …
Excerpt
XII INTEGRALAI, PRIKLAUSANTIEJI NUO PARAMETRŲ 4) jei f — tolydžiai diferencijuojama aibėje R, f€ 1! (R) ir f'e L! (R), tai (f) (x) =2rixf(x) visiems xe R. (14) > DA = | ft-Dezrita= | p(Aerž C+Ma1= R R — p= 2nixh || fe TdT= o-2NiK f(x), R X —2ni — T 2 GD …
Excerpt
12. KLASĖS £/(R( FUNKCIJŲ FURJĖ TRANSFORMACIJOS Iš tikrųjų, jei /' < L! (R) ir re R, tai juo labiau /'€ L! (r, co). Todėl 9) egzistuoja baigtinis integralas IE22 Tačiau [= Jim [= Jim (0=70)= (tim 70-70, todėl egzistuoja baigtinė riba Itin GA) =07- L-—-+0 …
Excerpt
XII INTEGRALAI, PRIKLAUSANTIEJI NUO PARAMETRŲ [> Skaičiuodami kaip teoremos įrodymo 3 dalyje, gauname: (f) (x) = f(x —h)= [ ROE 116 Ed [ (74) ežmikt) p-2ni5t dt = R R = [setai =. < R 3 pavyzdys. Apskaičiuokime funkcijos NOT Eurjė transformaciją. Jei x < …
Excerpt
12. KLASĖS L'(R) FUNKCIJŲ FURJĖ TRANSFORMACIJOS PG)=0y (6). (17) Įrašę į (17) x=0, gauname y(0)=1 ir +0 1 Lo 7(0)= Ž LE a e-"di=1 (XII. 5, 2 pavyzdys, (8)), todėl c=1. Taigi J0)=»()=e77. (18) Iš (18) nesunku gauti ir funkcijos KO)= e 1 76R (GE 0)! Furjė …
Excerpt
XII INTEGRALAI, PRIKLAUSANTIEJI NUO PARAMETRŲ 2, 3 ir 4 teoremos sudaro formalaus Furjė transformacijų skaičiavimo pagrindus. Ypač svarbu, kad dviejų funkcijų sąsūką Furjė transformaci- ja perveda į tų funkcijų Furjė transformacijų sandaugą. Ne mažiau …
Excerpt
13. GREITAI MAŽĖJ ANČIŲ FUNKCIJŲ FURJĖ TRANSFORMACIJOS ir todėl 10 +-0 d G | [f dx < M 1 1172 -Ma Iš klasės S apibrėžimo išeina: jei f€S, tai f0 e S ir funkcija x* f(x) priklauso klasei S visiems k e N. Pasirinkime kokį nors ke (0, 1, 2, ...1. …
Excerpt
XII INTEGRALAI, PRIKLAUSANTIEJI NUO PARAMETRŲ Sakykime, kad oe S, A> 0 ir g(1)=(6,9) (()=9 (24). Tada [7080 a:= [| A sai R R (XII. 12, 4 teorema). Tačiau 2 S 17 £(0=(019)(0)=> 9(/) (XII. 12, 3 teorema), todėl [70 7 šum ar = | £0 04 ar (3) R R Kairėje (3) …
Excerpt
13. GREITAI MAŽĖJANČIŲ FUNKCIJŲ FURJĖ TRANSFORMACIJOS Todėl iš (2) ir (6) gauname: f(a) =(7-+f) (0) = || (GA) (1) 1 / f) ožnixt dt d R visiems xe R. Jei xe R, tai £(-)= | s()e* dr =76). R Pagal I teoremą g € S, todėl ir f€ S. Pažymėkime g, =/. Pagal 2 …
Excerpt
XII INTEGRALAI, PRIKLAUSANTIEJI NUO PARAMETRŲ Iš teoremos ir 1 išvados išplaukia, kad ž-ė=8, (9) jei ge S (R). 1 lema. Jei [a, bį — kompaktiškas intervalas, tai egzistuoja tokia funk- cija ge C“ (R), kad g(x)=0 visiems xEe(— 00, al, 0 | e C-D06-D dr, …
Excerpt
13. GREITAI MAŽĖJANČIŲ FUNKCIJŲ FURJĖ TRANSFORMACIJOS 2 lema. Jei X yra baigtinio atviro intervalo I charakteristinė funkcija, tai egzistuoja tokia klasės S (R) funkcijų seka (0,4), kad | X— kl — 0, 94 (X) — X) visiems x E R, o; (x) =0 visiems xe RVI ir …
Excerpt
XII INTEGRALAI, PRIKLAUSANTIEJI NUO PARAMETRŲ = [Žogbar= | 020 4= | 7040 dr = R R R = [70 4-0 ar= [ 76) 96) ax, R R [ (C0-A0)) 96) dx =0 R visoms funkcijoms o € S (R). Sakykime, kad (a, b) — bet koks baigtinis intervalas ir x — to intervalo …
Excerpt
13. GREITAI MAŽĖJANČIŲ FUNKCIJŲ FURJĖ TRANSFORMACIJOS Surašysime funkcijų f€ S (R) Furjė transformacijų savybes (išskyrus savybes, kurios aprašytos 1 ir 2 teorema) viena teorema. Kaip ir XII. 12, žymėsime (17) 6) =/(+—h), he R, (827) CA (0) 2076 R 76 S. 4 …
Excerpt
XII INTEGRALAI, PRIKLAUSANTIEJI NUO PARAMETRŲ 9) XII. 12, 3 teoremoje buvo įrodyta, kad (f) 6)= 2nix f (0). Sakykime, kad i (D G) = zi 6). Tada (PN 0)=((*-Y) 6)=2rix(6)" 6= = 2zix (2nix)- 1 f(x) = (2z ix)" f (X) Taigi 9 įrodoma indukcijos būdu. 10) (£9)- …
Excerpt
13. GREITAI MAŽĖJANČIŲ FUNKCIJŲ FURJĖ TRANSFORMACIJOS ir funkcija 3 (x)=e—*" priklauso klasei S (R), tai iš (12) gausime (—-4nžx*+21ix+1)$(5)=£ (X). (13) Kadangi 2nix+4n*x*—1 visiems xe R, g€S (R) (I teorema), tai ir funkcija Ž. £6) PO-— = rai 2 priklauso …
Excerpt
XII INTEGRALAI, PRIKLAUSANTIEJI NUO PARAMETRŲ (15) lygtį galime užrašyti šitaip: Uk 2 (15a) Jei f < L! (R) ir tenkina (15a) lygtį, tai (f+ K) =f-K=g f0- A tuose taškuose x < R, kuriuose K(x)0. Bet pagal XI. 12, 1 pavyzdį ko — = 14337 todėl J) =T(1+*) £0). …
Excerpt
14. FUNKCIJŲ R"-—+€C FURJĖ TRANSFORMACIJOS (IX. 1). Šių taškų suma ir sandauga su skaičiumi c € R buvo apibrėžta lygybėmis: XV = 1 VD US e (ca O) Funkcijų / ir g, atvaizduojančių aibę R" aibėje C, sąsūka vadinome funkciją /* g, apibrėžtą lygybe (+= | …
Excerpt
XII INTEGRALAI, PRIKLAUSANTIEJI NUO PARAMETRŲ Greitai mažėjančių funkcijų R"-> C klasė S (R") apibrėžiama panašiai kaip klasė S (R). Būtent, funkcija f: R"-—-C vadinama greitai mažėjančia, t. y. priklausančia klasei S (R"), jei funkcijos / ir jos bet …
Excerpt
14. FUNKCIJŲ R"-—-C FURJĖ TRANSFORMACIJOS galima įrodyti, kad / yra tolygiai tolydi visoje aibėje R", f(x)-—> 0, kai |x |-00, ir sup (x) …
Excerpt
XII INTEGRALAI, PRIKLAUSANTIEJI NUO PARAMETRŲ ir todėl 1 e S (R2). Iš (7) išplaukia (6), o iš (6) — lygybė 0'u 0žu A 242 Todėl funkcija u tenkina (5) lygtį. Taigi funkcija u, apibrėžta (7) lygybe, yra vienintelis klasėje S (R*) (5) lygties sprendinys. …
Excerpt
15. APŽVALGA Tegu / < L! (R). Su tam tikromis papildomomis sąlygomis funkciją f intervale (— 7, z) galima išskleisti trigonometrine Furjė eilute (VIII. 21), kurią užrašysime kompleksine forma (VIII. 23): 10 JO= Died (18) čia B = m [fe ta, keZ. (19) 7 …
Excerpt
XII INTEGRALAI, PRIKLAUSANTIEJI NUO PARAMETRŲ ir +0 kr TX g gi fo=s ()= X ae |. (22) Įrašę (21) į (22), gausime: +0 I iknT iknx 2 LU 10 X Loa ac k=-—0 —/] Pažymėję v,=K/(2/), tą lygybę perrašysime šitaip: +0 1 0-2 O E Ge OO) k=—0 —I čia vy—JYx 1=1/(2/). …
Excerpt
15. APŽVALGA tai (24) lygybė reiškia, kad ||f— gyll(w—> 0), atvaizdis (operatorius) Zi: 7 yra tolydi bijekcija L* (R)—-L* (R), IEA AAS : (25) ir = J(x)=f(-x) (26) visoms fe L? (R); jei, be to, fe L! (R) n L* (R), tai (24) lygybe apibrėžta Junkcija f …
Excerpt
XII INTEGRALAI, PRIKLAUSANTIEJI NUO PARAMETRŲ gauname 10 +0 fa= | f0emra= | fe rrai 0 KO 0 LL — L kai :> 0. Todėl f(2) egzistuoja, kai 27y+y y). (30) Funkcija D, apibrėžta (29) lygybe kompleksinės plokštumos (30) pusplokš- tumėje, yra vadinama funkcijos / …
Excerpt
16. UŽDAVINIAI 16. Uždaviniai 1. Įrodykite, kad integrale 1 SIGJS f x? cos (xy) dx 0 galima pereiti prie ribos po integralo ženklu, kai y—0. Apskaičiuokite šią ribą. 2. Raskite funkcijos 1 S i In (1 +7x) I (= | TC g 0 išvestinę IV(x). 3. Raskite funkcijos …
Excerpt
XII INTEGRALAI, PRIKLAUSANTIEJI NUO PARAMETRŲ 7. Ar tolygiai konverguoja integralas +0 — cos (xy) 102 k ye(-0, +0) atžvilgiu. 8. Diferencijuodami pagal parametrus x ir 8, apskaičiuokite integralą S —Gxi —Bx1 [ dx (4> 0, 8> 0). 0 9. Naudodamiesi Eulerio …