Excerpt
7. FUNKCIJŲ METRINĖSE ERDVĖSE RIBOS tai egzistuoja kartotinė riba lim lim f (x, a) ir Xx—a y—a lim lim f(x, V)= L Žž (GG): (4) x—a y—b (a, 5 —=(a > Pažymėkime c— imt BAC) (x, »)=(a, 6) ir pasirinkime 0. Pagal ribos apibrėžimą egzistuoja toks 6> 0, kad 0z …
Excerpt
IX KELIŲ KINTAMŲJŲ FUNKCIJOS Jeigu išvados sąlygos nėra patenkintos, tai kartotinės ribos taške (a, b) gali neegzistuoti arba gali egzistuoti ir nebūti lygios. Pavyzdys. Sakykime, kad funkcija /:R*ž—R apibrėžta lygybėmis a B 2 Ja, Y= 27 ii G DZ(O0, 0), …
Excerpt
8. TOLYDŽIOSIOS FUNKCIJOS METRINĖSE ERDVĖSE 8. Tolydžios funkcijos, atvaizduojančios meirines erdves metrinėse erdvėse Sakykime, kad X ir Y — metrinės erdvės. 1 apibrėžimas. Funkciją f:X— Y vadiname tolydžia taške aeX, jei kiek- vienai taško f(a) aplinkai …
Excerpt
IX KELIŲ KINTAM ŲJŲ FUNKCIJOS Pagal tolydumo taške x, apibrėžimą (1 apibrėžimas) egzistuoja tokia taš- ko x, aplinka V, kad J (x)eA, jei xeV, siais VAS (CI) Įrodėme, kad kiekvienam aibės f-1(4) taškui X, egzistuoja tokia ap- linka V, kad Vcf-1(4), todėl …
Excerpt
8. TOLYDŽIOSIOS FUNKCIJOS METRINĖSE ERDVĖSE Išvada (Vejerštraso teoremų apibendrinimas). Jei K — kompaktiška metrinė erdvė ir f — tolydi funkcija K—-R, tai funkcija f yra aprėžta ir aibėje K įgyja savo didžiausią ir mažiausią reikšmes. > Pagal teoremą …
Excerpt
IX KELIŲ KINTAMŲJŲ FUNKCIJOS 4 teorema (Kantoro teoremos apibendrinimas). Jei K — kompaktiš- ka metrinė erdvė, Y — metrinė erdvė, tai tolydžioji funkcija K—-Y yra ir tolygiai tolydi. > Sakykime, kad funkcija f: K— Y yra tolydi. Tarkime, kad 7 nėra …
Excerpt
8. TOLYDŽIOSIOS FUNKCIJOS METRINĖSE ERDVĖSE Iš (3) ir (4) išeina, kad (E O))EF- IelES t. y. sudėtinė funkcija fog — tolydi taške a. X. 5 apibrėžimas. Funkciją f vadinsime sutraukiančiuoju atvaizdžiu, jei egzistuoja toks teigiamasis skaičius xe (0, 1), kad …
Excerpt
IX KELIŲ KINTAMŲJŲ FUNKCIJOS Kadangi O O egzistuoja toks NeN, kad |: (1-4) LAS N. ; S a JI m, neN, n> m; O0 …
Excerpt
9. SUSIJUSIOS METRINĖS ERDVĖS Be to, aibės f-1(A) ir f- (B) — netuščios, nesikertančios ir f-1(A)U Uf7B)=X, t. y. X — nesusijusi metrinė erdvė, o tai prieštarauja teoremos sąlygoms. 1. Jei A — intervalas, tai A — susijusi aibė pagal lemą iš VIII. 10. 2. …
Excerpt
IX KELIŲ KINTAMŲJŲ FUNKCIJOS Pastebėkime, kad pagal pateiktąjį apibrėžimą kreivė yra ne erdvės X taškų aibė, o funkcija o: [a, b]—> X. Žinoma, jei yra apibrėžta tokia funkcija o, tai kartu yra apibrėžta ir jos reikšmių aibė o ([a, b]) < X, kurios taškai …
Excerpt
10. KOMPAKTIŠKOS AIBĖS ERDVĖJE Rr > Tarkime, kad X — nesusijusi metrinė erdvė. Tada egzistuoja tokios dvi atviros, netuščios ir nesikertančios aibės A ir B, kad X= 4 Ų B. Tegu xA,€A ir x„ 1228 tai egzistuoja erdvės R" taškas x*, priklausantis visiems A,, …
Excerpt
IX KELIŲ KINTAMŲJŲ FUNKCIJOS [a;, c;] ir [c;, 6; ](j=1, ..., n]. Intervalai [a;, c;] ir [c;, b/] apibrėžia 2" uždarųjų 7-mačių stačiakampių gretasienių O; …
Excerpt
10. KOMPAKTIŠKOS AIBĖS ERDVĖJE R" Įrodysime, kad bent viena sekos (4,) aibė yra rutulio B* poaibis (14 pav.). Tegu A. = [a 9 DO xa 2 AO k=1, 2, Kadangi x*=(x£, ..., x*) € A,, tai visiems x=(x1; -.., X.) € Ap P 52 G 25 (X* —xX,Jž < < VGPOPFE L A0P BY …
Excerpt
1X KELIŲ KINTAMŲJŲ FUNKCIJOS Sakykime, x*=(x5, ..., xž) yra rutulio B centras, o r — spindulys. Tada Ac Bilo 2 212 [6 HEC (15 pav.). Taigi A yra kompaktiškos metrinės erdvės C uždaras poaibis, todėl A — kompaktiška aibė. …
Excerpt
11. ERDVĖS R" TAŠKŲ SEKOS * (i=1, ...,n; k=1, 2, ...). (2) nelygybėje perėję prie ribos, gauname lim |x(9—x> |=0, k—-> r0 lim x9=xž. < k—-0 Pagal apibrėžimą metrinės erdvės taškų aibė A vadinama aprėžta, jei ji yra kokio nors rutulio poaibis (IX. 3). …
Excerpt
IX KELIŲ KINTAMŲJŲ FUNKCIJOS Ir atvirkščiai, jei taškų x? koordinačių sekos aprėžtos, tai egzistuoja tokie a;, b; < R, kuriems teisingos (3)Inelygybės. Tai ir reiškia, kad x“V e0, t. y. (x00) — aprėžta. < 2 tecrema (Bolcano— Vejerštraso lema apie erdvės …
Excerpt
19. NEIŠREIKŠTINĖS FUNKCIJOS 2 pavyzdys. Įrodysime, kad lygtis ye'—x*=0, (x, y)eR?, (2) apibrėžia visoje aibėje R vienareikšmę funkciją, kuri kiekvienam xe R priskiria tokį y < R, kad taškas (x, y) tenkintų (2) lygybę. Kad (2) lygtis api- brėžtų tokią …
Excerpt
1X KELIŲ KINTAMŲJŲ FUNKCIJOS ir (xą, Ya) < RŽ.. Jei laikytume, kad funkcija F apibrėžta tik apatinėje pus- plokštumėje Rž= ((x, y) < R*: …
Excerpt
19. NEIŠREIKŠTINĖS F UNKCIJOS 2 apibrėžimas (lokalus neišreikštinės funkcijos apibrėžimas). Sakysi- me, kad lygtis F (x, »)=0 taško (a, b) s R" x R" aplinkoje apibrėžia kinta- mą jį y kaip neišveikštinę kintamojo x funkciją, jei F (a, b)=0 ir egzistuoja …
Excerpt
IX KELIŲ KINTAMŲJŲ FUNKCIJOS Todėl, jei kokio nors taško (a, b) e R" x R" aplinkoje lygtis F (x, y)=0 apibrėžia y kaip neišreikštinę x funkciją, kartais sakoma, kad (5a) lygčių sistema taško (44, ..., a,, b4, ---, D„) aplinkoje apibrėžia kintamuosius Ya, …
Excerpt
19. NEIŠREIKŠTINĖS FUNKCIJOS > Apibrėžkime funkciją O: R?—R2 lygybe O (x, »)=(x, FG, X), (G, YER? (9) ir pritaikykime tai funkcijai teoremą apie atvirkštinę funkciją (IX. 18). Pirmiausia įsitikinsime, kad 0 tenkina minėtos teoremos sąlygas. Iš (9) matome, …
Excerpt
IX KELIŲ KINTAMŲJŲ FUNKCIJOS visiems tokiems x e R, kuriems (x, 0) < W, t. y. visiems x € A. Iš (10) išei- na, kad funkcija /, apibrėžta lygybe /(x)=k (x, 0), x < A, ir yra neišreikšti- nė funkcija, apibrėžta lygtimi F(x, y)=0 taško a aplinkoje A. …
Excerpt
19. NEIŠREIKŠTINĖS FUNKCIJOS 1 0 0 0 | 0 l 0 0 Lab ŠE | Oy; OYm | S A R DR org |Aullė: 6) AM ao | 0 Xi OXn Oy; O) m 0Fmn OF, || sr aije a dek apie ai je) a Mefalie) a elfo al aliej ai a ejo | Oy Im Ca En OF, OF, | OX1 Ox, Oy; DV m 2 Ž 2 - 2 00 OF, a K E …
Excerpt
IX KELIŲ KINTAMŲJŲ FUNKCIJOS > Įrodinėjant 2 teoremą buvo įrodyta, kad funkcija turi tolydžiai diferencijuojamą atvirkštinę funkciją O-!, apibrėžtą tam tik- roje atviroje taško (a, 0) aplinkoje W. Todėl G, X= DO, = ( F(O-16, »))) 2 visiems (x, y) < W. …
Excerpt
20. FUNKCIJŲ PRIKLAUSOMUMAS taško (1, —1, 0) aplinkoje apibrėžia y ir z kaip neišreikštines kintamojo x funkcijas, nes, pažymėję Fi (x, y, Z)=xye7—1 ir F, (x, y, z)=x+7y+-Z, gauname ž OF, "OF, Oy 0z =x(1—y)e740, Ob 0E5 Oy 0z jei (4, V, z)=(1, —1, 0). …
Excerpt
1X KELIŲ KINTAMŲJŲ FUNKCIJOS ir tokia tolydžiai diferencijuojama kiekviename aibės f(V) taške funkcija F: R"-—-R, kad £(x4)=F(/()) visiems xeV. Sakysime, kad funkcija g aibėje A priklauso nuo (1) sistemos funkcijų, jei g priklauso nuo tos sistemos …
Excerpt
20. FUNKCIJŲ PRIKLAUSOMUMAS 1 teorema. Jei n> m ir (|) funkcijų sistema yra priklausoma atviroje aibėje Ac …
Excerpt
IX KELIŲ KINTAMŲJŲ FUNKCIJOS tai funkcijų sistema $ fi, …
Excerpt
20. FUNKCIJŲ PRIKLAUSOMUMAS Įrašę (7) į (6), gauname tapačias lygybes, kurias išdiferencijavę kinta- maisiais Xp435 ---> X, gausime šitokias lygybes: Of; 09 Ofi =(į) (8) 0X; OXr OXk D> 1 || ži visiems, :— 15 D in k — pl ABE OS I Ūpki SUbT UVnii . (9) k - …
Excerpt
TX KELIŲ KINTAMŲJŲ FUNKCIJOS Iš (9) ir (12) išplaukia, kad AE 0 visiems k=p+1, ..., n, t. y. funkcija k Ho 2 kuepiuklausoknnol > 66074. Pažymeėkime DL V U6 E ĖV o Ve). Tada iš (6) ir (7) lygybių ekvivalentiškumo ir funkcijos F apibrėžimo išei- na: 2 UA) …