Excerpt
3, FUBINIC 1EOREMA LAIPTUOTOMS DVIEJŲ KINTAMŲJŲ FUNKCIJOMS stačiakampiuose g;, išskyrus dalinį stačiakampį g,= O', funkcija o yra ly- gi nuliui. Todėl Ile-=X Ile=Ife=[[ 0 < 0 ia, ai 0 2 išvada. Jei o — laiptuota stačiakampyje O funkcija ir OL 10— tokie …
Excerpt
X DVILYPIAI INTEGRALAI y funkcija o (x;, y), atvaizduojanti intervalą B realiųjų skaičių aibėje, yra laiptuota intervale B ir todėl integruojama tame intervale, t. y. egzistuoja baigtinis integralas [eo ») dv. B Taigi visiems x € A, išskyrus baigtinį …
Excerpt
4. NULINIO MATO AIBĖS PLOKŠTUMOJE R* Teorema (Fubinio teorema laiptuotoms funkcijoms). Jei 6 — laiptuota stačiakampyje O= A x B funkcija, tai [f 96 ») dxdy= IB [96 Nav= | dv | o(x dx; (A) B B A AxB čia A ir B — bet kokie Si baigtiniai) intervalai. > …
Excerpt
X DVILYPIAI INTEGRALAI Kai norėsime pabrėžti skirtumą tarp nulinio plokščiojo Lebego mato ai- bės ir nulinio Lebego mato aibės £c R (V. 9), pastarąją kartais vadinsime nulinio linijinio Lebego mato aibe. Kad būtų trumpiau, kai dėl to nekils neaiškumų, …
Excerpt
4. NULINIO MATO AIBĖS PLOKŠTUMOJE R* [> Įrodykime, kad B — nulinio mato aibė. Pažymėkime B.= ((x, y)e Rž:n 0 ir fg,) — uždengianti aibę e suskaičiuojama sistema sta- čiakampių …
Excerpt
X DVILYPIAI INTEGRALAI mi įrodymo bendrumo galime laikyti, kad g, — kvadratai (30 pav.). Jei (Xs, Yo) yra kvadrato g; centras, 4 — kvadrato g; kraštinės ilgis ir (x, y) € €4;, tai | ))— Co Jo) | < SZL Todėl i Ig (45 V) 00 X) | < K B t. y. aibė g (g;) yra …
Excerpt
XIII KREIVINIAI IR PAVIRšINIAI INTEGRALAI 1. Kreivės ilgis Iš pradžių išsiaiškinkime kreivės plokštumoje Rž (plokščiosios kreivės) ilgio sąvoką. Prisiminsime, kad pagal kreivės sąvokos apibrėžimą (IX. 9, 2 apibrė- žimas) kreivė metrinėje erdvėje R? yra …
Excerpt
XIII KREIVINIAI IR PAVIRŠINIAI INTEGRALAI (a*—ai) +(b*— bi) (Vezb- Vai+6)- (V+64+ Vai+bi)| Vai =a+ Vb—bi Va+b*+ Vai+bį < El la-a;,|(1a|+|a,|)+|56-—b1 (|b|+-|6; |) = …
Excerpt
1. KREIVĖS ILGIS Ms || s k m < 3 (X (0)-X (Ė)|+|7" (t) —V (np) |) (t — a). k=1 VE 6Y+66Y- VE EYTG 007] = ns (7) Pasirinkime 0. Funkcijos x! (r) ir V' (t) — tolydžios kompaktiškame intervale [a, 6]. Todėl jos ir tolygiai tolydžios ir todėl egzistuoja toks …
Excerpt
XIII KREIVINIAI IR PAVIRŠINIAI INTEGRALAI Za. 71 pav. vadinamos cikloide (71 pav.), ilgį. Šios kreivės koordinatinės funkcijos yra tokios: x(1)=a(t —sint), y(/)=a(1 —cos1). Todėl pagal (4) 2n A M AE 2 s= | VGOF+6 00) ar=a | VU cos)? +-sinPtar= ( 0 2 = 2 [ …
Excerpt
1. KREIVĖS ILGIS 2 pastaba. Tegu yra žinoma funkcija g: [«x, 8]—-R. Sakysime, kad plokščioji kreivė V yra duota lygtimi r=g (+), < …
Excerpt
XIII. KREIVINIAI IR PAVIRŠINIAI INTEGRAL AI 2 apibrėžimas. Kreive plokštumoje R* vadinsime bet kokią tolydžią kokiame nors (nebūtinai kompaktiškame) intervale I funkciją o:I—-R*. Kreivės O, o ()=(x (t), y (+), te I, ilgiu vadinsime skaičių s=| VEOY+60) 4: …
Excerpt
1. KREIVĖS ILGIS m EB e a GIS Sakykime, kad 7, ir I, — du intervalai. Eunkciją o: II, vadinsime difeomorfizmu I,-1,, jei yra tolydžiai diferencijuojama bijekcija, kurios atvirkštinė funkcija «—1 irgi tolydžiai diferencijuojama intervale Ilaę Jei «o — …
Excerpt
XIII KREIVINIAI IR PAVIRŠINIAI INTEGRALAI Jei o: I--R* yra ištiesiama kreivė, skaičiai a ir b yra intervalo I galai (a < b) ir re (a, b), tai funkcijos ę siaurinys intervale (a, tą) irgi apibrėžia ištiesiamą kreivę, vadinamą kreivės o lanku, kurios ilgis …
Excerpt
1. KREIVĖS ILGIS ma natūraliomis parametrinėmis kreivės lygtimis, arba kreivės lygtimis su natūraliu parametru (lanko ilgiu s). Kaip matome, Jei kreivė glodi, tai visada galima užrašyti jos lygtis su natūraliu parametru. Kreivės ilgio sąvo- ką galima …
Excerpt
XIII KREIVINIAI IR PAVIRŠINIAI INTEGRALAI visiems /€ (a, b). Jei kreivė p: I—-R" glodi, t. y. tolydžiai diferencijuojama ir 2; OY 0 k=1 visiems te I, tai (18) lygybe apibrėžta funkcija s (+) yra difeomorfizmas I-> -s (I) ir kreivę o galima apibrėžti …
Excerpt
2. PIRMOSIOS RŪšIES KREIVINIAI INTEGRALAI 1 apibrėžimas. Funkcijos f pirmosios rūšies kreiviniu integralu kreive ę, aprašyta (1) natūraliomis parametrinėmis lygtimis, vadinsime skaičių s | £(6). »65)) as (2 0 (jeigu tik toks apibrėžtinis integralas …
Excerpt
XIII KREIVINIAI IR PAVIRŠINIAI INTEGRALAI H> Teoremą pakanka įrodyti tuo atveju, kai kreivė o yra glodi. Tegu te (a, b). :Pažymėkime A=0 (a), M=9o (t). Pagal XIII. 1, (11) ir (12) lygybės s«0= | VEO TVO 4 yra kreivės lanko AM B ir (= V (X 0Y+( 0) > 0 …
Excerpt
2. PIRMOSIOS RŪŠIES KREIVINIAI INTEGRALAI k S ASŲ 27 S f (1 —cos A) V(1 Zcos Ąž L sinž? d; =— 0 21 21 S aoo š Sad ins 2 Ža 24 cos f)?!* dt = 4a | sin 5 dt 7 2. 0 0 Pirmosios rūšies kreivinio integralo sąvoką nesunku apibendrinti ir tuo atveju, kai …
Excerpt
XIII KREIVINIAI IR PAVIRŠINIAI INTEGRALAI L=o([a, b]) ir f: L — R, tai b || $(M) ds= [ JAD): GPS x, (1) V 0Y+ AS + (x,(0)" dt, (3) L a jeigu tik šios lygybės dešinėje pusėje užrašytas integralas egzistuoja. Bendruoju atveju (kai kreivė nebūtinai gabalais …
Excerpt
3. ANTROSIOS RŪŠIES KREIVINIAI INTEGRALAI 3. Antrosios rūšies kreiviniai integralai 1 apibrėžimas. Kreivęeo: [a, b|—-R" vadinsime uždarą ja, jei o (a) =o (b); priešingu atveju kreivę vadinsime neuždarą ja. . 2 apibrėžimas. Sakysime, kad neuždaroje …
Excerpt
XIII KREIVINIAI IR PAVIRŠINIAI INTEGRALAI Kreivės orientaciją kartais patogu nurodyti brėžinyje. Jei brėžinyje pasirinktoje koordinačių sistemoje pavaizduota plokščios kreivės: [a, b-—- —R?, orientuotos parametrų didėjimo kryptimi, taškų aibė A=9 ([a, …
Excerpt
3. ANTROSIOS RŪŠIES KREIVINIAI INTEGRALAI arba f P(x, v) dx +0(x, y) dy, arba f P(M) dx + 0 (M) dy. R 1 Antrosios rūšies kreivinį integralą priešingai orientuota kreive o apibrėši- me lygybe: [ P(M) dx+0(M) dy= 2 b =— | (P(0- 50) *0+0(x0, »0) » 0) ar …
Excerpt
XIII KREIVINIAI IR PAVIRŠINIAI ĮNTEGRALAI Pagal XIII. 2, 1 teoremą pastarąjį integralą galima išreikšti pirmosios rū- šies kreiviniu integralu: | (PG 5) dx+06 y) dy= | (PC V) cos 4 +0 (x, ») 005 B) ds. 5) ę ę Jeigu kreivė. ir jos liestinė orientuota …
Excerpt
3. ANTROSIOS RŪŠIES KREIVINIAI INTEGRALAI Pagal skaliarinės sandaugos erdvėje R" apibrėžimą (IX. i (7)), pritaikytą plokštumai Rž, …
Excerpt
XIII KREIVINIAI IR PAVIRŠINIAI INTEGRALAI Jei o: [a, b|—-R" — glodi ieniioėi kreivė, tai | A …
Excerpt
3. ANTROSIOS RŪŠIES KREIVINIAI INTEGRALA I b = 2 (P (x (2), x (0. Z()) x ()+0 (x (2), » (2), z (0) V ()+ +R(x (0), (0), z (0) = () dt. (9) (8) ir (8') lygybes šiuo atveju galime užrašyti šitaip: f F-(x, y, Z)dx1-F, (x, y, Z) dy+F,(x, y, 2lidz— 2 O | (Fes …
Excerpt
XIII KREIVINIAI IR PAVIRŠINIAI INTEGRALAI tos su kreive 0, o kitam — priešingai orientuotos kreivės. Jei kreivės o, ir g, yra ekvivalentiškos ir vienodai orientuotos, tai kartais rašoma o> =9,; jei 2, ir > yra ekvivalentiškos priešingai orientuotos …
Excerpt
4. KREIVINIO INTEGRALO NEPRIKLAUSYMAS NUO INTEGRAVIMO KELIO 4. Sąlygos, kad kreivinis integralas nepriklausytų nuo integravimo kelio "Šiame poskyryje ir toliau visur šioje knygoje kreivę erdvėje R" supra- sime kaip tolydžią kompaktiškame intervale [a, 5] …
Excerpt
XIII KREIVINIAI IR PAVIRŠINIAI INTEGRALAI A T] l Vt) 2 A i to A ) NS J TTT o 78 pav. 79 pav. būtų teisingos visiems (x, y) < D. Iš tikrųjų, jei (2) teisinga taške (x, y) < D visiems (dx, dy) e R, tai OF (x, 5 dF(x, =P, Ydx+066, yydy= ES dy ED Up visiems …