Excerpt
14. STOKSO FORMULĖ Pakankamumas. Sakykime, kad visuose srities G taškuose teisingos (9) lygybės. Pagal žvaigždinės aibės apibrėžimą (XIII. 8) egzistuoja toks aibės G taškas A=(Ax4; Vos Zo), kad kiekvienam B=(x, y, z) € G visi tiesės atkarpos 4B iaškai …
Excerpt
XIII KREIVINIAI IR PAVIRŠINIAI INTEGRALAI nes atkarpos [B,C] taškuose y ir z koordinatės yra pastovios (y=; ir z= =z,). Todėl $ = € —0. Perėję (13) lygybėje prie apibrėžtinių integra- lų, gauname: 1 F(x1+h, y, Z2)=Flaa, Yas Za) 1 d(x,+1h) 1 1 i 1 Vs Zi) R …
Excerpt
15. GAUSO -OSTROGRADSKIO FORMULĖ Tegu R yra klasės C' funkcija V—R. Tada BL ») (PPS E L LS Ž D a (x, V) Iš z=B (x, x) E“ |! [ R (x, J, Z) Es 2 dx dy = Ei R(x, y, BG, »)) dx dy — IE] Rio Dao I) aa D Ši R(x, y, z)dx dy —- f Ra (CV Židoddja (1) o, Ob, čia D, …
Excerpt
XIIi KREIVINIAI IR PAVIRŠINIAI INTEGRALAI Todėl pridėjus šį lygų nuliui integralą (1) lygybės dešinėje pusėje, lygybė išliks teisinga. Taigi (ff 5 dedas [|| Rakdy; (2) E 0V čia 0V=(0,, b,, B,) sistema, sudaryta iš trijų paviršių, ribojančių aibę V. 0V …
Excerpt
16. LAUKO TEORIJOS PRADMENYS Išvada. Sakykime, kad G yra atvira aibė erdvėje RS ir P, O, R — klasės C' funkcijos G> -R. Jei —-—12—1+— =0 (6) visuose aibės G taškuose, tai kad ir koks būtų aibės G poaibis V, kuriam tei- singa (5) Gauso —Ostrogradskio …
Excerpt
XIII KREIVINIAI IR PAVIRŠINIAI INTEGRALAI Fizikoje priimta vienetinio ilgio vektorius, nukreiptus išilgai koordina- čių ašių x, y ir z, žymėti atitinkamai i, j ir k. Taigi i=(1, 0, 0), į=(0, 1, 0), IŽ((0), (0), 10) Prisiminsime, kad pagal skaliarinės …
Excerpt
16. LAUKO TEORIJOS PRADMENYS Jei orientuotos tiesės kampai su koordinačių ašimis yra x, G ir x, tai tiesės / lygtis yra ama) os ima ŽO cost cosB cosy ? arba parametrine forma X=X,+/cosa, VY=JY4:-tcos B, Z=Z4+tcosy, 7ER. Tada 2 io e(Mų, M)= V (+— X.) …
Excerpt
XIII KREIVINIAI IR PAVIRŠINIAI INTEGRALAI (5) lygybė rodo, kad didžiausia reikšmė bus ta kryptimi, kuria «o=0, t. y. gradiento kryptimi; be to, kai 9=0, tada ŽŽ | grad U |. Tai- gi skaliarinio lauko U gradiento kryptis sutampa su lauko UV greičiausio …
Excerpt
16. LAUKO TEORIJOS PRADMENYS per laiko vienetą nueitų, jei judėtų tiesiai ir pastoviu greičiu, kelią, lygų |v(M)|. Visos praėjusios pro paviršių oc per laiko vienetą skysčio da- lelės sudarytų pasvirusį pagrindo c atžvilgiu cilindrinį kūną (104 pav.), …
Excerpt
XIII KREIVINIAI IR PAVIRŠINIAI INTEGRALAI jei (9) funkcija tolydi ir neigiama kokiame nors taške, tai to taško aplin- koje yra skysčio nutekėjimo taškai. Taigi srauto sąvoka padeda išsiaiškinti skysčio šaltinių ir nutekėjimo taškų išsidėstymą ir galią. …
Excerpt
16. LAUKO TEORIJOS PRADMENYS Apibrėšime dar vieną sąvoką, apibūdinančią vektorinio lauko savy- bes. Sakykime, kad / — uždara, orientuota (parametro didėjimo krypti- mi) gabalais glodi kreivė srityje G. Kreivės / liestines taškuose M laikysi- me …
Excerpt
XIII KREIVINIAI IR PAVIRŠINIAI INTEGRALAI 6 apibrėžimas. Vektorinio lauko A rotacija (arba rotoriumi) yra vadi- namas vektorinis laukas rot A, apibrėžtas lygybe sa Kd Ko Aso a A O AB ia ssOAni OAS rotA=| 2 )i-| — Ji+( a e (14) Pastebėkime, kad Išožis 04, …
Excerpt
4 16. LAUKO TEORIJOS PRADMENYS Jei apsiribotume tik žvaigždinėmis sritimis, kuriose apibrėžtas vek- torinis laukas A, tai būtų teisingas 1r atvirkščias teiginys. 2 teiginys. Jei G yra žvaigždinė erdvės RS sritis ir A yra klasės C' nesū- kurinis vektorinis …
Excerpt
XIII KREIVINIAI IR PAVIRŠINIAI INTEGRALAI A rotacija ir divergencija vienareikšmiškai apibrėžia patį lauką A, jeigu tas laukas tenkina tam tikras „kraštines“ sąlygas srities G krašto 0G taš- kuose (pavyzdžiui, jei kreivės 0G taškuose yra žinomas vektorių …
Excerpt
17. KAI KURIE PAVIRŠINIŲ INTEGRALŲ TAIKYMAI 17. Kai kurie paviršinių integralų taikymai 1. Materialiojo paviršiaus masės skaičiavimas. Tegu Dc < R?, O - glodus paviršius D-—-Rš, S= 0 (D) ir Š(M)- paviršinis tankis paviršiaus S taške M. Jei D — …
Excerpt
XIII KREIVINIAI IR PAVIRŠINIAI INTEGRALAI masę m (arba elektros krūvį m, kurio ženklas priešingas paviršiaus S krūvių ženklams). Tada paviršiaus S elementas, kurio plotas dS, veikia tašką M, jėga dF, kurios modulis |dE|=km 22. P čia 7 — atstumas nuo taško …
Excerpt
17. KAI KURIE PAVIRŠINIŲ INTEGRALŲ TAIKYMAI (V, o) < D=[0, x] x [0. 27], išreiškę (3) integralą dvilypiu integralu ir iš- reiškę atitinkamus jakobianus, gausime: ja [a Ros = M (DG AS GE EDGE) k DIGAO E LŽ Pak | lada J* (oda) +Lodio J 44 žk Dy, 9) Dl(ų, 9) …
Excerpt
XIII KREIVINIAI IR PAVIRŠINIAI INTEGRALAI 18. Apžvalga Šiame skyriuje sistemingai vartojamos kreivės erdvėje R" ir paviršiaus erdvėje R* sąvokos. Kodėl vis dėlto kreive ir paviršiumi šioje knygoje vadinamos funkcijos, o ne taškų aibės? Yra bent dvi …
Excerpt
19. UŽDAVINIAI kus kairėje, kai koordinačių sistema yra dešininė“. Bet „judantis taškas“, „dešinė“, „koordinačių sistema“, „dešininė koordinačių sistema“ nėra matematinėje analizėje griežtai apibrėžtos sąvokos — jos vartotinos tik iliustruojant ir …
Excerpt
XIII KREIVINIAI IR PAVIRŠINIAI INTEGRALAI 4. Apskaičiuokite antrosios rūšies kreivinį integralą | xžydx + xy* dy L ta pačia kreive kaip 3 uždavinyje, orientuota parametro x didėjimo kryp- timi. Ž 5. Užrašykite apskriumo x*4y*= R? parametrinės lygtis dviem …
Excerpt
19. UŽDAVINIAI 13. Apskaičiuokite antrosios rūšies paviršinį integralą [f xdydz+ydzdx +zdx dy, I jei O — orientuotas paviršius, apibrėžtas lygybe O (u, 0)=(1?+0, u—22, už+29), (u, v)e[0, 1] x[0, 1] (paviršiaus orientacija standartinė, žr. XIII. 13). 14. …
Excerpt
XIV DIFERENCIALINĖS FORMOS 1. k-paviršiai ir diferencialinės formos Sakykime, kad aibė Dc.R* yra kokios nors netuščios atviros erdvėje R“ aibės uždarinys, o 0 — funkcija D--R". Šiame skyriuje toliau visur sakysime, kad funkcija O priklauso klasei C" …
Excerpt
1. k-PAVIRŠIAI IR DIFERENCIALINĖS FORMOS žymėsime determinantą, sudarytą iš funkcijų O; ..., 0, dalinių iš- vestinių, t. y. funkcijų O, s 0, jakobianą: | 00; (u) 00; (u) Doi a A ios 8 Di(di UD) 00, (u) 00, (u) | Ouį as Oy a k : SS o 0 Vietoj UL) dažnai …
Excerpt
XIV DIFERENCIALINĖS FORMOS 2. Diferencialinių formų išorinė sandauga ir išorinis diferencialas Tegu 6, 0, ir 04 yra k-formos aibėje E < R". Rašysime 0;=05, jei 0; (B) = 05 (P) visiems K-paviršiams aibėje Z. Apibrėšime k-formų sudėtį ir K-formų daugybą iš …
Excerpt
2. DIFERENCIALINIŲ FORMŲ IŠORINĖ SANDAUGA. 1 apibrėžimas. Diferencialinių formų «o ir X, apibrėžtų (1) ir (2) lvgybė- mis, išorine sandauga o AJ. vadinsime (k+-m)-formą, apibrėžtą šitokia lygybe: oAA= Ža Ai A aiato) B G) dA A Aaa JS Adx, Adx, A. Ada Iš …
Excerpt
XIV DIFERENCIALINĖS FORMOS Atskiru atveju, jei / yra klasės C“ funkcija aibėje E ir o = (X) dx NA Ūkis tai do =df A dx; N * i) Adxi = -(7 4 2.6) dx) Ndxų A AN -z4 „M dx; Ndxs Ni Nd Diferencialinių formų išoriniai diferencialai kartais vadinami išori- …
