Excerpt
10. EKVIVALENTIŠKI PAVIRŠIAI paviršiaus plotą. SEO A o OZk Une 2A05 = IS|= [f Vižridddy= || Vir+BTV dy; ya Ri ys R perėję prie polinių koordinačių, gausime: R s|= [f Vl+Rrardo=22 [| VizP rdr=Ž T((I + R2p— |). 0 r D,, jei o ir jai atvirkš- tinė funkcija …
Excerpt
XIII KREIVINIAI IR PAVIRŠINIAI INTEGRALAI t. v. jei funkcijos «o koordinatinės funkcijos yra E (u, 2) ir 1 (u, 2), tai | E E DAS AL V9 det o' (u, 0)= D(u, v) -| 0 On |as oe | Sakykime, kad dviejų tolydžiai diferencijuojamų funkcijų o: D,—-D, ir c: D,—R* …
Excerpt
10. EKVIVALENTIŠKI PAVIRŠIAI todėl funkcijų 5, o ir ce išvestinių matricos tenkina šitokią lygybę: matr (sec) (u, 2) = matr 6' (£, 1): matr o" (u, 0). Tada det (690) (u, 2) =det 6' (E, 1)- det 0" (u, 2). Ši lygybė tik žymėjimais skiriasi nuo (4) lygybės. …
Excerpt
XIII KREIVINIAI IR PAVIRŠINIAI NTEGRALAI gauname: D(E, m) | E=Ė(u, "2 D(u, v) mM=n(u, = [| VETE+0 D, | dudo = = [IV lšė2 žo) + (BE žuro) + (BE Baro) * NE T 11. Pirmosios rūšies paviršiniai integralai Sakykime, kad D yra plokštumos R* sritis arba srities …
Excerpt
11. PIRMOSIOS RŪŠIES PAVIRŠINIAI INTEGRALAI Teorema. Jei D ir O, — ekvivalentiški glodūs paviršiai, tai a (3) D Tegu O: D—Rš, 6,: D,—R3 — du ekvivalentiški paviršiai. Tada egzistuoja toks difcomorfizmas. o: D-D,, o (u, 2)= (E (u, 2), n(u, 2), (u, v)eD, …
Excerpt
XIII KREIVINIAI IR PAVIRŠINIAI INTEGRALAI tai jį galima standartiniu būdu užrašyti parametrine forma, kaip paviršių O, apibrėžtą lygybe O (x, X)= (x, V, f, V). (a, Y)EG. Pažymėję p-Ž ir 4-2 „ gauname A=—p, B=—gą, C=1. Įrašę gau- tąsias išraiškas į (1), …
Excerpt
12.PAVIRŠIAUS ORIENTAVIMAS čia | S, | — paviršiaus S dalies S, plotas. Taigi šiuo paprasčiausiu atveju paviršinis integralas yra lygus sumai sandaugų dalinių paviršių plotų | S, | ir pointegralinės funkcijos reikšmių tų dalinių paviršių S, taškuose. Bend- …
Excerpt
XIII KREIVINIAI IR PAVIRŠINIAI INTEGRALAI * tas vienas iš dviejų ženklų vardiklyje, būtent: ženklas „4“ atitiks viršuti- nį paviršiaus Z= f(x, y) šoną (nes šiuo atveju cos v> 0), o ženklas „—“ — apatinį to paviršiaus šoną. Normalės kampų J ir ų. su …
Excerpt
12. PAVIRŠIAUS ORIENTAVIMAS Sakykime, kad abu paviršiai O ir O,, orientuoti ženklu „+“ (arba abu orientuoti ženklu „— “) savo normalių kosinusų formulėse (3). Jei d (E, N= (x, 2). VE, 1), Zz, M), E. Me D, o (u, 0)=(E(u, 2), n(u, 2)), (u, v)e D, tai - O …
Excerpt
XIII KREIVINIAI IR PAVIRŠINIAI INTEGRALAI bus orientuotas pasirinktu ženklu „+“ (3) formulėse, jei D nėra abipus vienareikšmis aibės D atvaizdis į aibę O (D): kadangi gali egzistuoti to- kie taškai (u,, 24), (u5, 05) < D, kad O (u,, 2,)= O (u> , 05)= M, …
Excerpt
12. PAVIRŠIAUS ORIENTAVIMAS kokie du paviršiai, iš kurių vienas priklauso poaibiui «+/,, o kitas — poaibiui /,, būtų priešingai orientuoti. Iš tikrųjų, aibei ./, galima priskirti visus paviršius, vienodai orientuotus su 0, o aibei /, — visus kitus …
Excerpt
XIII KREIVINIAI IR PAVIRŠINIAI INTEGRALAI yra ekvivalentiški, nes funkcija o(o, !)=(2, —!), 0 …
Excerpt
12. PAVIRŠIAUS ORIENTAVIMAS rametro kryptis yra arba neigiama (99 pav.), arba teigiama (100 pav.). Iš- reikškime srities 0, plotą | 8, | kreiviniu integralu (XIII. 6): b Iš ]= + | Edn= + | E(e0, 20) Z (UC) 2 ())d; (7) Ma a ženklą „+“ (7) formulėje turime …
Excerpt
XIII KREIVINIAI IR PAVIRŠINIAI INTEGRALAI « teigiamosios krypties kontūrą A, atvaizduoja į neigiamosios krypties kontūrą 2,. Taigi det o' ženklo geometrinė prasmė yra šitokia: jei det 0' > > 0 srityje D,, tai funkcija « teigiamosios krypties kontūrus …
Excerpt
13. ANTROSIOS RŪŠIES PAVIRŠINIAI INTEGRALAI eigu tik dešinėje (2) lygybės pusėje užrašytas dvilypis integralas egzistuoja ; čia DO 2) D(z, x) į. DG D(u, 0) ? D(u, 0) D (u, v) Junkcijos O koordinatinių funkcijų dalinių išvestinių. — jakobianai, sudaryti iš …
Excerpt
XIII KREIVINIAI IR PAVIRŠINIAI INTEGRALAI „> Pakanka įrodyti; kad [| Raxdy=- [| Rdady. 0 Tegu 6: D—Rš, O,: D,--R?, o — difeomorfizmas D—> -D,, Ojo = = D ir deto' Įrodoma taip pat kaip teorema, tik šiuo atveju det o'> 0 ir todėl |deto' …
Excerpt
13. ANTROSIOS RŪŠIES PAVIRŠINIAI INTEGRALAI todėl pagal pirmosios rūšies paviršinio integralo apibrėžimą (XIII. 11) Iš Pdydz+ Odzdx + Rdxdy = o S Išj (PcosA+0cos 4 Rcos v) dS; (4) o čia cos A, cos u ir cos v yra paviršiaus O normalės krypties kosinusai …
Excerpt
XIII KREIVINIAI IR PAVIRŠINIAI INTEGRALAI Iš tikrųjų šiuo atveju Ox Ox DG X) ou 0 0 D (u, v) Oy dy š į 0 00 Taigi pagal (2) 61 (z—x?)dydz= [ši (už +02— U?) DO D dudy, o D D(u, v) Kadangi | 0 0 D(y, 2) | 0u 0v - 0 1 EE D | 9z | |2u 20 0u 0v tai 1 Vila [] …
Excerpt
14. STOKSO FORMULĖ rašyti, kad normalė, apibrėžta (3) lygybėmis, būtų nukreipta sferos išorėn. Jeigu sferos lygtį parametriniu pavidalu užrašysime šitaip: x=Rsinųcoso, y=Rsinųsino, z=RcosŲ, …
Excerpt
XIII KREIVINIAI IR PAVIRŠINIAI INTEGRALAI ir Kkreivinio integralo kreive (arba kreivėmis) [00=6-0D, vadinama pa- viršiaus D kraštu. Patikslinsime paviršiaus krašto sąvoką. Toliau šiame skyriuje visas kreives laikysime orientuotomis parametrų didėjimo …
Excerpt
14. STOKSO FORMULĖ Sakykime, kad P yra klasės C" reali funkcija, apibrėžta paviršiaus O taškų aibėje O (D). Tada LPG Ja 00 b = B (x (uo), 2 (1), y(u (1). 0 (0), z (t (A), 2(0)) io a a 6 = | Peden() (= W (+ Šš 2 () dra = [ P(O (u, v)) a du + P(O (u, 2) 2 …
Excerpt
XIII KREIVINIAI IR PAVIRŠINIAI INTEGRALAI arba sutrumpintai - 2 (5) 90 Jeigu paviršiaus D taškuose apibrėžtos trys funkcijos: P (x, v, z), O (x, y, Z) ir R(x, y, z), tai panašiai 42 ir šitokios lygybės: 1|K09 = dx dy — o dy dz, (6) ij ESS Ilio —— dydz— SR …
Excerpt
14. STOKSO FORMULĖ Kartais patogu Stokso formulėje antrosios rūšies paviršinį integralą pakeisti pirmosios rūšies paviršiniu integralu. Pasinaudoję ryšio tarp to- kių integralų formule (XIII. 13, (4)), iš (8) gauname: | Pdx+0dy+ Rdz= 00 = [f (27-22) cos …
Excerpt
XIII KREIVINIAI IR PAVIRŠINIAI INTEGRALAI > Pastebėkime, kad taškai A, yra erdvės R3 elementai, todėl tarp jų yra apibrėžtos sudėties ir daugybos iš konstantos operacijos (IX. 1). Jei funkcija O apibrėžta lygybe O(u, 0)=A,+(A.— A) U+(4> — A,) V, (U, 0) e …
Excerpt
14. STOKSO FORMULĖ Pakankamumas. Sakykime, kad visuose srities G taškuose teisingos (9) lygybės. Pagal žvaigždinės aibės apibrėžimą (XIII. 8) egzistuoja toks aibės G taškas A=(Ax4; Vos Zo), kad kiekvienam B=(x, y, z) € G visi tiesės atkarpos 4B iaškai …
Excerpt
XIII KREIVINIAI IR PAVIRŠINIAI INTEGRALAI nes atkarpos [B,C] taškuose y ir z koordinatės yra pastovios (y=; ir z= =z,). Todėl $ = € —0. Perėję (13) lygybėje prie apibrėžtinių integra- lų, gauname: 1 F(x1+h, y, Z2)=Flaa, Yas Za) 1 d(x,+1h) 1 1 i 1 Vs Zi) R …
Excerpt
15. GAUSO -OSTROGRADSKIO FORMULĖ Tegu R yra klasės C' funkcija V—R. Tada BL ») (PPS E L LS Ž D a (x, V) Iš z=B (x, x) E“ |! [ R (x, J, Z) Es 2 dx dy = Ei R(x, y, BG, »)) dx dy — IE] Rio Dao I) aa D Ši R(x, y, z)dx dy —- f Ra (CV Židoddja (1) o, Ob, čia D, …
Excerpt
XIIi KREIVINIAI IR PAVIRŠINIAI INTEGRALAI Todėl pridėjus šį lygų nuliui integralą (1) lygybės dešinėje pusėje, lygybė išliks teisinga. Taigi (ff 5 dedas [|| Rakdy; (2) E 0V čia 0V=(0,, b,, B,) sistema, sudaryta iš trijų paviršių, ribojančių aibę V. 0V …
Excerpt
16. LAUKO TEORIJOS PRADMENYS Išvada. Sakykime, kad G yra atvira aibė erdvėje RS ir P, O, R — klasės C' funkcijos G> -R. Jei —-—12—1+— =0 (6) visuose aibės G taškuose, tai kad ir koks būtų aibės G poaibis V, kuriam tei- singa (5) Gauso —Ostrogradskio …
Excerpt
XIII KREIVINIAI IR PAVIRŠINIAI INTEGRALAI Fizikoje priimta vienetinio ilgio vektorius, nukreiptus išilgai koordina- čių ašių x, y ir z, žymėti atitinkamai i, j ir k. Taigi i=(1, 0, 0), į=(0, 1, 0), IŽ((0), (0), 10) Prisiminsime, kad pagal skaliarinės …