Excerpt
22. KREIVĖS LIESTINĖ IR PAVIRŠIAUS LIEČIAMOJI PLOKŠTUMA (A, B ir C apibrėžti (14) lygybėmis). Ženklai „+“ ir „—“ (18) formulėse atitinka dvi galimas normalės krypūs. Taškas (uj, 240) < D, kuriame A!+B4C=0, vadinamas ypatinguoju funkcijos O tašku; …
Excerpt
IX KELIŲ KINTAMŲJŲ FUNKCIJOS ir pagal (18) — =P cos )= WA cos = LL (23) +Vl1+p'+4 Cašyiaz- 4 +Vitpiką čia ženklas „+“ prieš kvadratinę šaknį atitinka normalės kryptį, kurios cos v> 0. t. y. kampas v tarp z ašies ir paviršiaus normalės yra smailus. …
Excerpt
23, KINTAMUJŲ KEITIMAS 1 būti išreikštos išvesti- B nėmis d di* Pagal sudėtinės funkcijos diferencijavimo taisyklę gi aaa - (1) Todėl dybs) 2 . TT Ž (2) jei 20. Išdiferencijavę (1) kaip sandaugą kintamuoju /, gauname d Ai a dx 2 dy džia Ba) 6) aa ais Iš …
Excerpt
IX KELIŲ KINTAMŲJŲ FUNKCIJOS Ši diferencialinė lygtis daug paprastesnė už (5). (6) lygtį jau sprendėme (VI. 9, (11)) — funkcijos v2: v2; y=Cie Cae (7) yra (6) lygties sprendiniai. Tada funkcija, gauta iš (7) pakeitus kintamąjį t kintamuoju x=+/2, t. y. …
Excerpt
23, KINTAMŲJŲ KEITIMAS iš jos ir randame antrąsias išvestines. Panašiai skaičiuojame ir aukštes- niųjų eilių išvestines. Pastebėsime, kad (8) lygybę, apibrėžiančią kintamųjų keitimą, galima užrašyti ir tokia koordinatine forma: X = Ei 5), ao B Pija TA …
Excerpt
IX KELIŲ KINTAMŲJŲ FUNKCIJOS Dar kartą išdiferencijavę pirmąją iš (13) lygybių kintamuoju r, o antrąją — kintamuoju o, gausime: 0*u 2 žy 0 u > a vo“ę+2 i PR AU 52 sin p-2 “52 sin p COS cosž 6 — Ox? o Oy ę p M O OR pa, in 0= AB 0 dy S o 0X Antrąją tų …
Excerpt
24. APŽVALGA du (r) dr u(r)=c, Inr +-c;; (17) dr= | = dr, čia c; ir c; — bet kokie realieji skaičiai (laisvosios konstantos). (17) lygy- bė ir yra (16) lygties sprendinys. 24. Apžvalga Šiame skyriuje pagrindinės matematinės analizės sąvokos (išskyrus …
Excerpt
IX KELIŲ KINTAMŲJŲ FUNKCIJOS elementų (K=R, arba K=C), kad daugybos operacija tenkintų tokias aksiomas: 1) a (bx)=(ab) x, DEL 3) (44+b)x=ax+-bx, 4) a(x+y)=ax+-ay visiems x, ye X ir a, be K. Tiesinė erdvė X“ vadinama normuota erdve, jei kiekvienam …
Excerpt
25. UŽDAVINIAI 25. Uždaviniai 1. Įrodykite, kad aibė R" su atstumu p, apibrėžtu visiems x=(X1, ..., Xr), Y= 05 > Vn) € R" lygybe ex; 5)= 2) |Xk— Jah k=1 yra metrinė erdvė. 2. Pažymėkime /! aibę visų sekų x= (x;), x; | Xp | k=1 konverguoja. Apibrėžkite …
Excerpt
IX KELIŲ KINTAMŲJŲ FUNKCIJOS 14. Ištirkite funkcijos u=e77 77 —*+3 lokalaus ekstremumo taškus. Ats. Funkcija 4 neturi lokalaus ekstremumo taškų. 15. Raskite funkcijos f: R3-—-R*, apibrėžtos lygybe f(a, y, )=(Gy+2, X y*2), išvestinės taške (1, 1, 2) …
Excerpt
25. UŽDAVINIAI 23: Ištirkite, ar funkcijų sistema AI Ala y)=sin (x sE1)S (x, y) e R*, A, )=1+2y1 1, yra nepriklausoma. 24. Raskite funkcijos f: R3—> R, apibrėžtos lygybe f(x, y, z)=xy 1-2, (x, v., z) < R", sąlyginius ekstremumus su sąlygomis x*+y*= i …
Excerpt
X DVILYPIAI INTEGRALAI 1. Laiptuotos dviejų kintamųjų funkcijos ir jų dvilypiai integralai Sakykime, kad J, ir I, — du bet kokie baigtiniai arba begaliniai inter- valai, O=/, x I, — stačiakampis plokštumoje Rž, P,= (Xą, ..., X„į — in- tervalo I, dala, P„= …
Excerpt
|. LAIPTUOTOS DVIEJŲ KINTAMŲJŲ FUNKCIJOS Tada 6 yra laiptuota stačiakampyje O (25 pav.). Viena iš leistinųjų o at- žvilgiu stačiakampio O dalų yra šitokia: 2=((£0, 2,3, 0), (0, 1, 23). Sakykime, kad 4 — laiptuota stačiakampyje O funkcija, 2 — leisti- noji …
Excerpt
X DVILYPIAI INTEGRALAI Pastebėsime, kad leistinosios o atžvilgiu dalos 2 begaliniame dalinia- me stačiakampyje g funkcija o yra tapačiai lygi nuliui. Iš tikrų Jų Ę yra pa- stovi stačiakampyje g, taigi jos reikšmė c visuose stačiakampio g taškuose yra ta …
Excerpt
1. LAIPTUOTOS DVIEJŲ KINTAMŲJŲ FUNKCIJOS 1 teorema (apie laiptuotų funkcijų dvilypio integralo apibrėžimo ko- rektiškumą). Jei o yra laiptuota stačiakampyje O funkcija, ?' =$ P; PA) ir P"=ĮPį, P;) — dvi leistinosios 6 atžvilgiu stačiakampio O dalos, g; ir …
Excerpt
X DVILYPIAI INTEGRALAI > Tegu 2'=(Pį, PA) yra leistinoji e atžvilgiu stačiakampio O dala, o 2"=f Pi, P4) — leistinoji V atžvilgiu to paties stačiakampio dala. Tada stačiakampio O dala PS PAUPI ARA BSS yra leistina ir Ę, ir Ų atžvilgiu, nes Di PLB Ba …
Excerpt
2. LAIPTUOTŲ FUNKCIJŲ DVILYPIŲ INTEGRALŲ SAVYBĖS 3) jei o (x, ») < V(x, V) visiems (x, y) e O, tai | | ę (X, V) dxdy < || | V (x, y) dx dy. 0 0 > 1) Jei g; (K=1, ..., n) yra kokios nors leistinos 6 atžvilgiu dalos at- viri baigtiniai daliniai …
Excerpt
X DVILYPIAI INTEGRALAI > Funkcija V (x, y)= M yra laiptuota stačiakampyje O ir o m|o). …
Excerpt
3, FUBINIC 1EOREMA LAIPTUOTOMS DVIEJŲ KINTAMŲJŲ FUNKCIJOMS stačiakampiuose g;, išskyrus dalinį stačiakampį g,= O', funkcija o yra ly- gi nuliui. Todėl Ile-=X Ile=Ife=[[ 0 < 0 ia, ai 0 2 išvada. Jei o — laiptuota stačiakampyje O funkcija ir OL 10— tokie …
Excerpt
X DVILYPIAI INTEGRALAI y funkcija o (x;, y), atvaizduojanti intervalą B realiųjų skaičių aibėje, yra laiptuota intervale B ir todėl integruojama tame intervale, t. y. egzistuoja baigtinis integralas [eo ») dv. B Taigi visiems x € A, išskyrus baigtinį …
Excerpt
4. NULINIO MATO AIBĖS PLOKŠTUMOJE R* Teorema (Fubinio teorema laiptuotoms funkcijoms). Jei 6 — laiptuota stačiakampyje O= A x B funkcija, tai [f 96 ») dxdy= IB [96 Nav= | dv | o(x dx; (A) B B A AxB čia A ir B — bet kokie Si baigtiniai) intervalai. > …
Excerpt
X DVILYPIAI INTEGRALAI Kai norėsime pabrėžti skirtumą tarp nulinio plokščiojo Lebego mato ai- bės ir nulinio Lebego mato aibės £c R (V. 9), pastarąją kartais vadinsime nulinio linijinio Lebego mato aibe. Kad būtų trumpiau, kai dėl to nekils neaiškumų, …
Excerpt
4. NULINIO MATO AIBĖS PLOKŠTUMOJE R* [> Įrodykime, kad B — nulinio mato aibė. Pažymėkime B.= ((x, y)e Rž:n 0 ir fg,) — uždengianti aibę e suskaičiuojama sistema sta- čiakampių …
Excerpt
X DVILYPIAI INTEGRALAI mi įrodymo bendrumo galime laikyti, kad g, — kvadratai (30 pav.). Jei (Xs, Yo) yra kvadrato g; centras, 4 — kvadrato g; kraštinės ilgis ir (x, y) € €4;, tai | ))— Co Jo) | < SZL Todėl i Ig (45 V) 00 X) | < K B t. y. aibė g (g;) yra …
Excerpt
XIII KREIVINIAI IR PAVIRšINIAI INTEGRALAI 1. Kreivės ilgis Iš pradžių išsiaiškinkime kreivės plokštumoje Rž (plokščiosios kreivės) ilgio sąvoką. Prisiminsime, kad pagal kreivės sąvokos apibrėžimą (IX. 9, 2 apibrė- žimas) kreivė metrinėje erdvėje R? yra …
Excerpt
XIII KREIVINIAI IR PAVIRŠINIAI INTEGRALAI (a*—ai) +(b*— bi) (Vezb- Vai+6)- (V+64+ Vai+bi)| Vai =a+ Vb—bi Va+b*+ Vai+bį < El la-a;,|(1a|+|a,|)+|56-—b1 (|b|+-|6; |) = …
Excerpt
1. KREIVĖS ILGIS Ms || s k m < 3 (X (0)-X (Ė)|+|7" (t) —V (np) |) (t — a). k=1 VE 6Y+66Y- VE EYTG 007] = ns (7) Pasirinkime 0. Funkcijos x! (r) ir V' (t) — tolydžios kompaktiškame intervale [a, 6]. Todėl jos ir tolygiai tolydžios ir todėl egzistuoja toks …
Excerpt
XIII KREIVINIAI IR PAVIRŠINIAI INTEGRALAI Za. 71 pav. vadinamos cikloide (71 pav.), ilgį. Šios kreivės koordinatinės funkcijos yra tokios: x(1)=a(t —sint), y(/)=a(1 —cos1). Todėl pagal (4) 2n A M AE 2 s= | VGOF+6 00) ar=a | VU cos)? +-sinPtar= ( 0 2 = 2 [ …
Excerpt
1. KREIVĖS ILGIS 2 pastaba. Tegu yra žinoma funkcija g: [«x, 8]—-R. Sakysime, kad plokščioji kreivė V yra duota lygtimi r=g (+), < …
Excerpt
XIII. KREIVINIAI IR PAVIRŠINIAI INTEGRAL AI 2 apibrėžimas. Kreive plokštumoje R* vadinsime bet kokią tolydžią kokiame nors (nebūtinai kompaktiškame) intervale I funkciją o:I—-R*. Kreivės O, o ()=(x (t), y (+), te I, ilgiu vadinsime skaičių s=| VEOY+60) 4: …