Excerpt
10. KOMPAKTIŠKOS AIBĖS ERDVĖJE R" Įrodysime, kad bent viena sekos (4,) aibė yra rutulio B* poaibis (14 pav.). Tegu A. = [a 9 DO xa 2 AO k=1, 2, Kadangi x*=(x£, ..., x*) € A,, tai visiems x=(x1; -.., X.) € Ap P 52 G 25 (X* —xX,Jž < < VGPOPFE L A0P BY …
Excerpt
1X KELIŲ KINTAMŲJŲ FUNKCIJOS Sakykime, x*=(x5, ..., xž) yra rutulio B centras, o r — spindulys. Tada Ac Bilo 2 212 [6 HEC (15 pav.). Taigi A yra kompaktiškos metrinės erdvės C uždaras poaibis, todėl A — kompaktiška aibė. …
Excerpt
11. ERDVĖS R" TAŠKŲ SEKOS * (i=1, ...,n; k=1, 2, ...). (2) nelygybėje perėję prie ribos, gauname lim |x(9—x> |=0, k—-> r0 lim x9=xž. < k—-0 Pagal apibrėžimą metrinės erdvės taškų aibė A vadinama aprėžta, jei ji yra kokio nors rutulio poaibis (IX. 3). …
Excerpt
IX KELIŲ KINTAMŲJŲ FUNKCIJOS Ir atvirkščiai, jei taškų x? koordinačių sekos aprėžtos, tai egzistuoja tokie a;, b; < R, kuriems teisingos (3)Inelygybės. Tai ir reiškia, kad x“V e0, t. y. (x00) — aprėžta. < 2 tecrema (Bolcano— Vejerštraso lema apie erdvės …
Excerpt
19. NEIŠREIKŠTINĖS FUNKCIJOS 2 pavyzdys. Įrodysime, kad lygtis ye'—x*=0, (x, y)eR?, (2) apibrėžia visoje aibėje R vienareikšmę funkciją, kuri kiekvienam xe R priskiria tokį y < R, kad taškas (x, y) tenkintų (2) lygybę. Kad (2) lygtis api- brėžtų tokią …
Excerpt
1X KELIŲ KINTAMŲJŲ FUNKCIJOS ir (xą, Ya) < RŽ.. Jei laikytume, kad funkcija F apibrėžta tik apatinėje pus- plokštumėje Rž= ((x, y) < R*: …
Excerpt
19. NEIŠREIKŠTINĖS F UNKCIJOS 2 apibrėžimas (lokalus neišreikštinės funkcijos apibrėžimas). Sakysi- me, kad lygtis F (x, »)=0 taško (a, b) s R" x R" aplinkoje apibrėžia kinta- mą jį y kaip neišveikštinę kintamojo x funkciją, jei F (a, b)=0 ir egzistuoja …
Excerpt
IX KELIŲ KINTAMŲJŲ FUNKCIJOS Todėl, jei kokio nors taško (a, b) e R" x R" aplinkoje lygtis F (x, y)=0 apibrėžia y kaip neišreikštinę x funkciją, kartais sakoma, kad (5a) lygčių sistema taško (44, ..., a,, b4, ---, D„) aplinkoje apibrėžia kintamuosius Ya, …
Excerpt
19. NEIŠREIKŠTINĖS FUNKCIJOS > Apibrėžkime funkciją O: R?—R2 lygybe O (x, »)=(x, FG, X), (G, YER? (9) ir pritaikykime tai funkcijai teoremą apie atvirkštinę funkciją (IX. 18). Pirmiausia įsitikinsime, kad 0 tenkina minėtos teoremos sąlygas. Iš (9) matome, …
Excerpt
IX KELIŲ KINTAMŲJŲ FUNKCIJOS visiems tokiems x e R, kuriems (x, 0) < W, t. y. visiems x € A. Iš (10) išei- na, kad funkcija /, apibrėžta lygybe /(x)=k (x, 0), x < A, ir yra neišreikšti- nė funkcija, apibrėžta lygtimi F(x, y)=0 taško a aplinkoje A. …
Excerpt
19. NEIŠREIKŠTINĖS FUNKCIJOS 1 0 0 0 | 0 l 0 0 Lab ŠE | Oy; OYm | S A R DR org |Aullė: 6) AM ao | 0 Xi OXn Oy; O) m 0Fmn OF, || sr aije a dek apie ai je) a Mefalie) a elfo al aliej ai a ejo | Oy Im Ca En OF, OF, | OX1 Ox, Oy; DV m 2 Ž 2 - 2 00 OF, a K E …
Excerpt
IX KELIŲ KINTAMŲJŲ FUNKCIJOS > Įrodinėjant 2 teoremą buvo įrodyta, kad funkcija turi tolydžiai diferencijuojamą atvirkštinę funkciją O-!, apibrėžtą tam tik- roje atviroje taško (a, 0) aplinkoje W. Todėl G, X= DO, = ( F(O-16, »))) 2 visiems (x, y) < W. …
Excerpt
20. FUNKCIJŲ PRIKLAUSOMUMAS taško (1, —1, 0) aplinkoje apibrėžia y ir z kaip neišreikštines kintamojo x funkcijas, nes, pažymėję Fi (x, y, Z)=xye7—1 ir F, (x, y, z)=x+7y+-Z, gauname ž OF, "OF, Oy 0z =x(1—y)e740, Ob 0E5 Oy 0z jei (4, V, z)=(1, —1, 0). …
Excerpt
1X KELIŲ KINTAMŲJŲ FUNKCIJOS ir tokia tolydžiai diferencijuojama kiekviename aibės f(V) taške funkcija F: R"-—-R, kad £(x4)=F(/()) visiems xeV. Sakysime, kad funkcija g aibėje A priklauso nuo (1) sistemos funkcijų, jei g priklauso nuo tos sistemos …
Excerpt
20. FUNKCIJŲ PRIKLAUSOMUMAS 1 teorema. Jei n> m ir (|) funkcijų sistema yra priklausoma atviroje aibėje Ac …
Excerpt
IX KELIŲ KINTAMŲJŲ FUNKCIJOS tai funkcijų sistema $ fi, …
Excerpt
20. FUNKCIJŲ PRIKLAUSOMUMAS Įrašę (7) į (6), gauname tapačias lygybes, kurias išdiferencijavę kinta- maisiais Xp435 ---> X, gausime šitokias lygybes: Of; 09 Ofi =(į) (8) 0X; OXr OXk D> 1 || ži visiems, :— 15 D in k — pl ABE OS I Ūpki SUbT UVnii . (9) k - …
Excerpt
TX KELIŲ KINTAMŲJŲ FUNKCIJOS Iš (9) ir (12) išplaukia, kad AE 0 visiems k=p+1, ..., n, t. y. funkcija k Ho 2 kuepiuklausoknnol > 66074. Pažymeėkime DL V U6 E ĖV o Ve). Tada iš (6) ir (7) lygybių ekvivalentiškumo ir funkcijos F apibrėžimo išei- na: 2 UA) …
Excerpt
21. FUNKCIJŲ R"—R SĄLYGINIAI EKSTREMUMAI Pastebėkime, kad „besąlyginio“ lokalaus maksimumo apibrėžime (IX. 15) (2) sąlygą turėjo tenkinti visi taškai x < V, o sąlyginio lokalaus maksi- mumo apibrėžime (2) sąlygą tenkina tik tie taškai x € V, kuriems BG) …
Excerpt
IX KELIŲ KINTAMŲJŲ FUNKCIJOS prilyginę išvestines “E ir * nuliui, gauname dviejų lygčių sistemą, kurią išsprendę randame vienintelį stacionarų funkcijos g tašką (xo, y4)=(1, 1). Patikrinsime pakankamas besąlyginio ekstremumo egzistavimo sąlygas (DX 15)E …
Excerpt
21. FUNKCIJŲ Rn-—> -R SĄLYGINIAI EKSTREMUMAI funkcijos 04, ---, Om Yra tolydžiai diferencijuojamos tam tikroje taško (Amx > 1,) aplinkoje. Kadangi taškai (9; (tmi X), vi Om (Am eto 2) Xm+is 25 a) e R" (8) tenkina ryšio sąlygas (1'), tai a=(a4, -.., a,) …
Excerpt
IX KELIŲ KINTAMŲJŲ FUNKCIJOS t. y. spręsti (1'), (10) ir (11) lygčių sistemą: iš (11) rasti a , įrašyti į (10) Xi ir tada ERB n algebrinių lygčių sistemą (1') ir (10) r n nežinomųjų XC Toliau“ iš rastų taškų X=(AX4, ..., x,) reikia išskirti tuos taškus, …
Excerpt
21. FUNKCIJŲ R*-+R SĄLYGINIAI EKSTREMUMAI 2 Z +2 5135 22 M Ža0, (4 j=> m+l, ..., n. Dabar taip pasirinkime skaičius 24, ..., A„„ kad (14) ly- E taške x=a būtų lygūs nuliui, t.y. kad taške J gybėse daugikliai prie x=a būtų m 2 jų 0 ESL Aa (15) Iš (6) …
Excerpt
IX KELIŲ KINTAMŲJŲ FUNKCIJOS Išreiškę J iš (17) sistemos pirmosios lygties, įrašę 2= — 1/(2x) į kitas (17) " sistemos lygtis ir išsprendę gautąją lygčių sistemą nežinomųjų x, y ir Z atžvilgiu, gausime du sprendinius: (x4, y4, Z1)=(1/3, —2/3, 2/3) ir G …
Excerpt
22. KREIVĖS LIESTINĖ IR PAVIRŠIAUS LIEČIAMOJI PLOKŠTUMA tenkina (18) ryšio lygtis; be to, f(VI-2, =, 1—:)=1—s(1-V1=3) …
Excerpt
IX KELIŲ KINTAMŲJŲ FUNKCIJOS AX(4)—xX (fo) ad h-lo V X(4)—x (lo) |: (2 (71) —Y (lo) ) ( Z(H1)—Z (to) Ji ————" 1 ———— 1 —- LZ f —to fio 1 cos «= lim cos 4, =———— E GOkas Ak š K2ho V(+ GO+( 00): + (= CJ jeigu taške /4 kreivės o koordinatinės funkcijos x …
Excerpt
22. KREIVĖS LIESTINĖ IR PAVIRŠIAUS LIEČIAMOJI PLOKŠTUMA Tolydžiai diferencijuojamos kreivės o, neturinčios ypatingųjų taškų, vadinamos glodžiomis kreivėmis. Bendresniu atveju galima apibrėžti ir kreivės erdvėje R" liestinės są- voką. s Jei erdvėje R" yra …
Excerpt
IX KELiŲ KINTAMŲJŲ FUNKCIJOS tai funkcijos O reikšmių aibė O (D) kartais irgi vadinama paviršiumi, apibrėžtu lygtimis (4) 0); y=Ylu, 1), (7) z=z(u, 0), (u, v) e D. Taigi terminas „paviršius“ turi dvi prasmes: 1) paviršius — tai funkci- ja O, 2) paviršius …
Excerpt
-22. KREIVĖS LIESTINĖ IR PAVIRŠIAUS LIEČIAMOJI PLOKŠTU MA lės vienoje plokštumoje, tai tą plokštumą vadinsime paviršiaus O liečia- mąja plokštuma taške M,. Sakykime, kad funkcija O yra diferencijuojama taške M. Jei (X, Y, Z) yra kreivės ( liestinės taške …
Excerpt
IX KELIŲ KINTAMŲJŲ FUNKCIJOS rangas taške P, yra lygus dviem, t. y. bent vienas iš determinantų A LLA L 0 0U 0u 0u | | 0u 0u | A4= UB=| |) C= | (14) LA 42 RE (O 0v 0U | | 00 00 | | 009 0u | taške P, yra nelygus nuliui, tai, (13) lygybes laikydami lygtimis …