Excerpt
3. METRINĖS ERDVĖS POAIBIŲ KLASIFIKACIJA (1) nelygybė įrodoma šitaip. Funkcija (0-7 didėja intervale (—1, + 00), nes tame intervale jos išvestinė yra teigiama, todėl ę (|a + …
Excerpt
IX KELIŲ KINTAMŲJŲ FUNKCIJOS a E Jei E yra Euklido plokštuma Rž, Mi=(xų, V,) < R, M,= =(Xs, V») E R? ir e(M,, M,)= V (1 =) + (M 2). tai „atviruoju rutuliu“ su centru taške A=(a, be R* ir spinduliu > 0 vadinsime skritulį su centru taške 4 ir spinduliu r (4 …
Excerpt
3. METRINĖS ERDVĖS POAIBIŲ KLASIFIKACIJA Iš atviros aibės apibrėžimo išeina, kad atviras rutulys metrinėje erdvėje yra atviroji aibė. Iš tikrųjų, jei B (x, r) yra bet koks atviras rutulys su cent- ru X, ir spinduliu r ir x, € B (xą, r), tai, pažymėję …
Excerpt
IX KELIŲ KINTAMŲJŲ FUNKCIJOS t. y. ap < X) < By, k=1, ..., n, o tai ir reiškia, kad x e 4. Taigi Bc A. Trodėme, kad egzistuoja kiekvieno aibės 4 taško x rutulinė aplinka, kuri yra aibės A poaibis. Pagal atviros aibės apibrėžimą aibė 4 — atvira. 7 …
Excerpt
3. METRINĖS ERDVĖS POAIBIŲ KLASIFIKACIIA > Jei /=(A]) — bet kokių aibių sistema ir A …
Excerpt
IX KELIŲ KINTAMŲJŲ FUNKCIJOS ko aplinka, todėl visi rutulio B, taškai nėra aibės A sąlyčio taškai, LSY B, < E(4. Taigi egzistuoja tokia kiekvieno aibės £|4 taško a aplinka B,, kad B, < E|4, todėl aibė El4 yra atvira, o aibė 4 — uždara. 4 — uždara aibė, …
Excerpt
4. KOMPAKTIŠKOS AIBĖS METRINĖSE ERDVĖSE > Sakykime, kad V, ir V,— taško x aplinkos. Pagal aplinkos apibrė- žimą egzistuoja tokie atviri rutuliai B, ir B, su centrais taške x, kad B, < V, ir B,c V,. Todėl B, nB+ < V, n V,. Kadangi rutulių B, ir B, centras …
Excerpt
IX KELIŲ KINTAMŲJŲ FUNKCIJOS 1 pavyzdys. Sakykime, kad K= [a, b]x [c, d] — uždaras stačiakampis plokštumoje R2, +> 0 ir “D — sistema visų atvirų skritulių B (x, e) su centrais stačiakampio K taškuose x ir spinduliais < CD=(B(x, *):xeK) (8 pav.). Tada “D — …
Excerpt
4. KOMPAKTIŠKOS AIBĖS METRINĖSE ERDVĖSE Paaiškinimas. Pagal kompaktiškumo apibrėžimą aibė X yra kom- paktiška erdvėje E, jei metrinėje erdvėje E iš kiekvienos atviros tos aibės dangos, sudarytos iš atvirų erdvėje E aibių, galima išrinkti baigtinį aibės K …
Excerpt
IX KEL ŲU KINTAMŲJŲ FUNKCIJOS tų aibių sąjunga (5) U„,. Tačiau 20 U„„ todėl VnK= 3, t. y. Ve EK. k=1 k=1 Įrodėme, kad egzistuoja tokia kiekvieno ysZ|K aplinka V, kad Vc < EK, todėl aibė £|K — atvira, o aibė K — uždara. < 3 teorema. Kiekvienas uždaras …
Excerpt
5. METRINIŲ ERDVIŲ DEKARTO SANDAUGA > 1. Jei K — aprėžta, tai egzistuoja tokie baigtiniai skaičiai a ir b, kad Kc[a, bl. Pagal Borelio baigtinės dangos lemą (I. 9) intervalas [a, b] yra kompaktiška aibė. Jei K, be to, ir uždara, tai pagal 3 teoremą ji yra …
Excerpt
IX KELIŲ KINTAMŲJŲ FUNKCIJOS = Veža, *)1 0, V)= S TT 177777 717 177577 t. y. atstumas erdvėje R" x R" yra lygus atstumui erdvėje R"*". apibrėž- tam IX.l, (1) lygybe. 6. Meitrinės erdvės taškų sekos Sakykime, kad £ — metrinė erdvė, (x,) — erdvės E elementų …
Excerpt
6. METRINĖS ERDVĖS TAŠKŲ SEKOS 2 teiginys. Jei x„-> x, tai kiekvienam < > 0 egzistuoja toks NeN, kad a (ėžą 645) < UA 10 INK > Imkime => 0. Kadangi x,—> x, tai lim o(x,, x)=0. Todėl eg- n0 zistuoja toks NeN, kad p(x,, x) N. Sakykime, kad m, n> N. Tada e …
Excerpt
IX KELIŲ KINTAMŲJŲ FUNKCIJOS Perėję prie ribos šioje nelygybėje gausime lim r„=c, t. y. seka (r„) kon- verguoja erdvėje R, todėl ji yra fundamentali. Tačiau CEO. todėl seka (r„) nekonverguoja metrinėje erdvėje O, taigi O — nepilna metrinė er- dvė. 4 …
Excerpt
7. FUNKCIJŲ METRINĖSE ERDVĖSE RIBOS 1 teorema. Kiekviena kompaktiškos metrinėje erdvėje aibės elementų seka turi konverguojantį posekį. > Sakykime, X — kompaktiška metrinės erdvės aibė ir (x,) — aibės K elementų seka. Jeigu visų sekos (x,„) elementų …
Excerpt
IX KELIŲ KINTAMŲJŲ FUNKCIJOS 1 apibrėžimas. Tašką beY vadiname funkcijos f riba taške a (rašome lim f(x) =), jei kiekvieną taško b aplinką V, atitinka tokia taško a aplinka xa V., kad f (x)eV,;, jei xEV,.N A ir xa. Nesunku įsitikinti, kad ribos apibrėžime …
Excerpt
7. FUNKCIJŲ METRINĖSE ERDVĖSE RIBOS riba lim f(x) egzistuoja tada ir. tik tada, kai kiekvienam 0 egzistuoja tokia taško a aplinka V. kad Bao ACa) a a a i > Būtinumas. Tegu => 0 ir lim f(x)=b. Tada egzistuoja tokia taš- ko a aplinka V, kad oy (760), b) < 0 …
Excerpt
IX KELIŲ KINTAMŲJŲ FUNKCIJOS 2. Pagal funkcijos ribos ir aibės sąlyčio taško (IX. 3) apibrėžimus taškas c yra funkcijos f reikšmių aibės / (4) sąlyčio taškas, t. y. cef (4). Be to, uždaros aibės F uždarinys F yra lygus aibei F (IX. 3, 2 teoremą) ir f(A) < …
Excerpt
7. FUNKCIJŲ METRINĖSE ERDVĖSE RIBOS tai egzistuoja kartotinė riba lim lim f (x, a) ir Xx—a y—a lim lim f(x, V)= L Žž (GG): (4) x—a y—b (a, 5 —=(a > Pažymėkime c— imt BAC) (x, »)=(a, 6) ir pasirinkime 0. Pagal ribos apibrėžimą egzistuoja toks 6> 0, kad 0z …
Excerpt
IX KELIŲ KINTAMŲJŲ FUNKCIJOS Jeigu išvados sąlygos nėra patenkintos, tai kartotinės ribos taške (a, b) gali neegzistuoti arba gali egzistuoti ir nebūti lygios. Pavyzdys. Sakykime, kad funkcija /:R*ž—R apibrėžta lygybėmis a B 2 Ja, Y= 27 ii G DZ(O0, 0), …
Excerpt
8. TOLYDŽIOSIOS FUNKCIJOS METRINĖSE ERDVĖSE 8. Tolydžios funkcijos, atvaizduojančios meirines erdves metrinėse erdvėse Sakykime, kad X ir Y — metrinės erdvės. 1 apibrėžimas. Funkciją f:X— Y vadiname tolydžia taške aeX, jei kiek- vienai taško f(a) aplinkai …
Excerpt
IX KELIŲ KINTAM ŲJŲ FUNKCIJOS Pagal tolydumo taške x, apibrėžimą (1 apibrėžimas) egzistuoja tokia taš- ko x, aplinka V, kad J (x)eA, jei xeV, siais VAS (CI) Įrodėme, kad kiekvienam aibės f-1(4) taškui X, egzistuoja tokia ap- linka V, kad Vcf-1(4), todėl …
Excerpt
8. TOLYDŽIOSIOS FUNKCIJOS METRINĖSE ERDVĖSE Išvada (Vejerštraso teoremų apibendrinimas). Jei K — kompaktiška metrinė erdvė ir f — tolydi funkcija K—-R, tai funkcija f yra aprėžta ir aibėje K įgyja savo didžiausią ir mažiausią reikšmes. > Pagal teoremą …
Excerpt
IX KELIŲ KINTAMŲJŲ FUNKCIJOS 4 teorema (Kantoro teoremos apibendrinimas). Jei K — kompaktiš- ka metrinė erdvė, Y — metrinė erdvė, tai tolydžioji funkcija K—-Y yra ir tolygiai tolydi. > Sakykime, kad funkcija f: K— Y yra tolydi. Tarkime, kad 7 nėra …
Excerpt
8. TOLYDŽIOSIOS FUNKCIJOS METRINĖSE ERDVĖSE Iš (3) ir (4) išeina, kad (E O))EF- IelES t. y. sudėtinė funkcija fog — tolydi taške a. X. 5 apibrėžimas. Funkciją f vadinsime sutraukiančiuoju atvaizdžiu, jei egzistuoja toks teigiamasis skaičius xe (0, 1), kad …
Excerpt
IX KELIŲ KINTAMŲJŲ FUNKCIJOS Kadangi O O egzistuoja toks NeN, kad |: (1-4) LAS N. ; S a JI m, neN, n> m; O0 …
Excerpt
9. SUSIJUSIOS METRINĖS ERDVĖS Be to, aibės f-1(A) ir f- (B) — netuščios, nesikertančios ir f-1(A)U Uf7B)=X, t. y. X — nesusijusi metrinė erdvė, o tai prieštarauja teoremos sąlygoms. 1. Jei A — intervalas, tai A — susijusi aibė pagal lemą iš VIII. 10. 2. …
Excerpt
IX KELIŲ KINTAMŲJŲ FUNKCIJOS Pastebėkime, kad pagal pateiktąjį apibrėžimą kreivė yra ne erdvės X taškų aibė, o funkcija o: [a, b]—> X. Žinoma, jei yra apibrėžta tokia funkcija o, tai kartu yra apibrėžta ir jos reikšmių aibė o ([a, b]) < X, kurios taškai …
Excerpt
10. KOMPAKTIŠKOS AIBĖS ERDVĖJE Rr > Tarkime, kad X — nesusijusi metrinė erdvė. Tada egzistuoja tokios dvi atviros, netuščios ir nesikertančios aibės A ir B, kad X= 4 Ų B. Tegu xA,€A ir x„ 1228 tai egzistuoja erdvės R" taškas x*, priklausantis visiems A,, …
Excerpt
IX KELIŲ KINTAMŲJŲ FUNKCIJOS [a;, c;] ir [c;, 6; ](j=1, ..., n]. Intervalai [a;, c;] ir [c;, b/] apibrėžia 2" uždarųjų 7-mačių stačiakampių gretasienių O; …