Excerpt
XII INTEGRALAI, PRIKLAUSANTIEJI NUO PARAMETRŲ 1. Integralo, priklausančio nuo parametrų, sąvoka Sakykime, kad YCR ir reali dviejų realių kintamųjų funkcija yra api- brėžta aibėje (a, D x Y =((x, y)eR?:xe(a, b), ysY ]. Jei pasirinksime kokį nors skaičių …
Excerpt
XII INTEGRALAI, PRIKLAUSANTIEJI NUO PARAMETRŲ 2. Tolygaus konvergavimo sąvokos apibendrinimas Pirmoje šio vadovėlio dalyje buvo apibrėžta funkcijų sekos (f) toly- gaus konvergavimo sąvoka (VIII. 1). įBūtent, jei A yra bet kokia aibė ir f. A-> R, tai seka …
Excerpt
2. TOLYGAUS KONVERGAVIMO SĄVOKOS APIBENDRINIMAS apibrėžimą egzistuoja tokia b aplinka V, kad | f(x, »)- g (x) | < =/2 visiems xeA, jei ye Vn B. Tada L, »)-f7(0, V)I < LJ, »)-20)|+180) — (6, V")| < E £ 2 jei y“, vy" e Vn B, t. y. f tenkina (2) sąlygą. …
Excerpt
XII INTEGRALAI, PRIKLAUSANTIEJI NUO PARAMETRŲ jei y', vy" < V. Perėję (4) nelygybėje prie ribos, kai x-—> a, gauname: |L(V)—L(9)| …
Excerpt
3. INTEGRALŲ, PRIKLAUSANČIŲ NUO PARAMETRŲ, RIBOS 3. Integralų, priklausančių nuo parametrų, ribos Lebego ir Levi teoremas apie perėjimą prie ribos po integralo ženklu (XI. 7) galima pritaikyti integralams, priklausantiems nuo parametrų. Sakykime, kad A …
Excerpt
XII INTEGRALAI, PRIKLAUSANTIEJI NUO PARAMETRŲ Be to, pagal teoremos 1 sąlygą g; < L (4), o pagal 3 sąlygą Igg(0)| …
Excerpt
3. INTEGRALŲ, PRIKLAUSANČIŲ NUO PARAMETRŲ, RIBOS yra integruojama -aibe A ir lim [fG. Ndx= | g 6) dx. (5) PD ž A „> Pasirinkime aibės B taškų seką (y,), tenkinančią sąlygas: (y,) didė- ja, yy=> b ir y„£b. Apibrėžkime funkcijas g, lygybėmis Sk (x) = f(x, …
Excerpt
XII INTEGRALAI, PRIKLAUSANTIEJI NUO PARAMETRŲ 5. Integralų, priklausančių nuo parametrų, diferencijavimas ir integravimas Sakykime, kad 4 yra m-matis stačiakampis gretasienis erdvėje R", B — atviras intervalas erdvėje R, f(x, y) — funkcija A xB—-R ir I= …
Excerpt
5. INTEGRALŲ DIFERENCIJAVIMAS IR INTEGRAVIMAS t. 3. Tunkcijai (p) diferencijuojama taške y, ir šiame taške teisinga (2) lygybė. Bet taškas y, intervale B buvo pasirinktas bet kaip, todėl (2) ly- gybė teisinga bet kokiems y e B. < 1 išvada. Jei …
Excerpt
XII 1INTEGRALAI, PRIKLAUSANTIEJI NUO PARAMETRŲ > Ši teorema sutampa su Tonelio teoremos išvada (XI. 11). 0;+ 0 —0;1- In x 292 …
Excerpt
5. INTEGRALŲ DIFERENCIJAVIMAS IR INTEGRAVIMAS t. y. gauname C=0. Todėl 1 I(0= | * dx=-Wn(1+9). 0 Įrašę a=1, gauname 1 | GE aki r 2) In x 2 pavyzdys. Apskaičiuosime integralą K= f e-* dx. 0 Pastebėkime, kad funkcija f(x)=e-* priklauso klasei L (0, 00). Iš …
Excerpt
XII INTEGRALAI, PRIKLAUSANTIEJI NUO PARAMETRŲ ir todėl pagal 3 teoremą “o [S09= [a Pereoais Jar J veP KD dy = 0 0 0 0 0 1 1 alga =» (AR a | 7 = T 0076 4-5 | Tea, 7 O 0 0 Iš (5) ir (6) gauname K*=/4, taigi K“ | e" dx = ius (7) 0 Pastebėkime, kad, …
Excerpt
6. INTEGRALAI SU KINTAMAIS INTEGRAVIMO RĖŽIAIS > Tegu j0, y €B, yŽy, ir y, yra aibės B ribinis taškas. B (0) S0= | 76“ «(») (vo) B (vo) B 0) = | fe Nd | f6 Da | 76 Dak= « (x) a (0) B (vo) =I, (V) + 950) + 95 (9). (2) Pagal Lebego teoremą (XII.3, 1 …
Excerpt
XII INTEGRALAI, PRIKLAUSANTIEJI NUO PARAMETRŲ Lema. Jei funkcija F: [a, b|--R yra tolydi kompaktiškame intervale [a, 6], tai egzistuoja toks taškas x e [a, b], kad b [ F(x dx=F(5)(b—-a). (4) a > Pažymėkime M= max F(x), m= min F(x). …
Excerpt
6. INTEGRALAI SU KINTAMAIS INTEGRAVIMO RĖŽIAIS diferencijuojama intervale (c, d) ir 80) I0= | 2 i O (0), X- 07 (0) X). G) a (x) > Tegu y, y,e(c; d) ir y jp. ; 860) Bo) S LS E 52 Ee a O) a (vs) Bo B0) = 555 ( J 76 nai | fo na | G pak— a (x) (ys) B(0) B(99) …
Excerpt
XII INTEGRALAI, PRIKLAUSANTIEJI NUO PARAMETRŲ čia B0) …
Excerpt
7. INTEGRALŲ TOLYGUS KONVERGAVIMAS D Įrodymas išplaukia iš Koši kriterijaus (XII. 2, 1 teorema), pritai- kius jį funkcijai F(y, +) ir atsižvelgus į lygybę FG, )-FG, 1)|=| | £65 ndx- | 76, pax |= =| [f6s pax]. a 2 teorema (Vejerštraso požymis). Jei …
Excerpt
XII INTEGRALAI, PRIKLAUSANTIEJI NUO PARAMETRŲ 2 pavyzdys. Įrodysime, kad integralas 0] d Isinas f e 52 dx 0 konverguoja tolygiai parametro as [0, + 00) atžvilgiu. Pažymėkime Ka sin U F(x)= || 5, dy —10E 0 Tegu 0ir O l sin x | € aa || Z- …
Excerpt
8. TOLYGIAI KONVERGUOJANČIŲ INTEGRALŲ SAVYBĖS 8. Tolygiai konverguojančių integralų savybės Sakykime, kad as R, be R, BcR", y, — aibės B ribinis taškas, f(x, y) — funkcija (a, b) x B—-R ir integralas b 70)= | 6, X) dx (I) konverguoja kaip netiesioginis …
Excerpt
XII INTEGRALAI, PRIKLAUSANTIEJI NUO PARAMETRŲ konverguoja. Perėję prie ribos (3) ir (4) nelygybėje, kai +/—b— , gauname: b b | Iie: J)dx| < < ir || g) dx| < < 12 ij visiems …
Excerpt
S. TOLYGIAI KONVERGUOJANČIŲ INTEGRALŲ SAVYBĖS > Tegu +e (a, b) ir 0. Pagal 3 teoremos sąlygą funkcija f(x, y) yra tolydi kompaktiškame 74-1-mačiame stačiakampiame gretasienyje [a, :] x B. Todėl pagal Kantoro teoremą ji yra tolygiai tolydi. Taigi egzis- …
Excerpt
XII INTEGRALAI, PRIKLAUSANTIEJI NUO PARAMETRŲ Pastaba. Kai y=c, arba y=d, tada 26 D suprantama kaip vie- našonė išvestinė. Ž > “Tegu J, Jos (c, d), V £Jo- Tada b IO) -I0) — [ P, 065 V) dy (8) y-Yo Y-Jo Ž Teorema bus įrodyta, jei įrodysime, kad (8) …
Excerpt
8. TOLYGIAI KONVERGUOJANČIŲ INTEGRALŲ SAVYBĖS Įrodysime, kad bet kokiam te (a, b) Go 7)— f(a, Yo) Aosę Of (x, Vo) Y-Jo0 Oy tolygiai x < (a, +) atžvilgiu, kai v—j4. Iš tikrųjų pagal Lagranžo vidurinių reikšmių teoremą tarp y; ir y egzistuoja toks skaičius …
Excerpt
XII INTEGRALAI, PRIKLAUSANTIEJI NUO PARAMETRŲ > Pagal XII. 5, 2 teoremos išvadą kiekvienam < (a, b) yra teisinga lygybė d t t d [d [fo xydx= | dx [76 D) dy. (11) c a c Funkcija t F(e, »)= | 76, > ) dx konverguoja, kai 7+—> b—, tolygiai y < [c, d] …
Excerpt
9. GAMA FUNKCIJA ir 6 (I)=0!=1. Pastebėkime, kad (1) lygtis ir (2) sąlyga apibrėžia funkci- ją Ę vienareikšmiškai. Tikrai o (1) reikšmę apibrėžia (2) lygybė. Tada iš (1) lygybės gauname 9(2)=1-9(I)=1, o(3)=2-6(2)=2-1 =2! 0(4)=3-6(3)=3-2!1=3! Apskritai, …
Excerpt
XII INTEGRALAI, PRIKLAUSANTIEJI NUO PARAMETRŲ Todėl funkcija x*-! e-* integruojama x atžvilgiu ir intervalu (I, 10) kiekvienam y e (0, + 0). Kadangi ši funkcija integruojama ir intervalu (0, 1) ir intervalu (1, + 00), tai ji integruojama intervalu (0, -- …
Excerpt
9. GAMA FUNKCIJA visiems y e (a, b), taigi ir taške y4. Kadangi y, — bet koks intervalo (0, c0) taškas, tai (7) lygybė teisinga visiems y € (0, 00). Panašiai įrodoma, kad (7) integralą irgi galima diferencijuoti po in- tegralo ženklu, t. y., kad T) = | 5 …
Excerpt
XII INTEGRALAI, PRIKLAUSANTIEJI NUO PARAMETRŲ tervale (0, y,) ir didėja intervale (y4, + 00). Nesunku išsiaiškinti ir funkcis jos T (y) kitimą, kai y—> 0+ ir kai y— 100: Ia O i O E os y—01- y—0+ y nes T (x+1)—T (1)=1, kai y=> 0+-. Jei K — bet koks (kaip …
Excerpt
10. BETA FUNKCIJA Jei x €(0, 1/2), u> 0 ir 0> 0, tai UL) (U— K todėl x*-1(1— x)2-1 < 2511 ir 1/2 5 i - 0 | x = ldy 2 | 0 ir 0> 0, tai Panašiai vertindami gauname: 1 (I ĄT 0 ir 2> 0. Lygybė B (vu, 2)=B (2, u) gaunama (1) integrale pažymėjus 1—x=t: 1 1 B …
Excerpt
XII INTEGRALAI, PRIKLAUSANTIEJI NUO PARAMETRŲ nes cosaxsin kx yra nelyginė funkcija. Kadangi cos ax yra tolydžiai di- ferencijuojama funkcija intervale [— 7, 7] ir šio intervalo galuose įgyja lygias reikšmes, tai jos trigonometrinė Furjė eilutė …