Excerpt
11. FUBINIO IR TONELIO TEOREMOS (Xa,x5, — Charakteristinė gretasienio A; xB; funkcija). Funkcija g, — išmatuojama gretasienyje A,xB, kaip dviejų išmatuojamų funkcijų sandauga. Be to, …
Excerpt
XI DAUGIALYPIAI INTEGRALAI 2 išvada. Jei f yra išmatuojama stačiakampiame gretasienyje AxB funkcija, tai fe L(A xB) tada ir tik tada, kai bent vienas iš integralų [a [re olas arba [dy [6 las 2 B B 4 yra baigtinis. [> Įrodoma kaip Tonelio teoremos …
Excerpt
11. FUBINIO IR TONELIO TEOREMOS Bendruoju atveju, jei O yra n-matis stačiakampis gretasienis, t. y. O0=(a, b)x... x(a,, b)cR", ir fe L (0), tai, n kartų pritaikę Fubinio teoremą, gaunamę 6; 6, 5. [f0dx= Ika Ika Iro a ao. (6 0 a a; a n 1 pavyzdys. …
Excerpt
XI DAUGIALYPIAI INTEGRALAI 2 pavyzdys. Apskaičiuosime keturlypį integralą = IaIšiai sin (x +y4+Z+u) dxdy dzdu, 0 jei O — keturmatis kubas: O=(0, 7) x (0, 7) x(0, T) X (0, 7). Tada Tr ax [r [ dz [ sin(x +y+Z+u) du. (19) 0 s Integrale T | sin(x+y+Z+u)du 0 …
Excerpt
12. KAVALJERIO PRINCIPAS DAUGIAMATĖMS ERDVĖMS 3 uždavinys. Apskaičiuosime trilypį inte- gralą 2= [ff oydeavas, - jei ESC > )ER RES SE 2 0520) (56 pav.). Pažymėję yr aibės E charakteristinę funkciją ir pasirėmę integralo aibe E apibrėži- mu, gauname: 56 …
Excerpt
XI DAUGIALYPIAI INTEGRALAI A lEatvejis: |EE, 2022 Šiuo atveju aibės E£ charakteristinė funkcija x; integruojama erdve R" xR", t. y. yp < L(R" x R"). Pagal Lebego mato apibrėžimą (XI. 8) ir Fubinio teoremą - IEl= [| x665 )dxdy= [dk [geo Nd. (2) R" xR" pa …
Excerpt
12. KAVALJERIO PRINCIPAS DAUGIAMATĖMS ERDVĖMS (57 pav.). Jei aibę E įsivaizduosime kaip trimatį kūną, tai | £| bus kūno E tūris, o | E(x,) | — to kūno pjūvio plokštuma X=xA, plotas. Taigi šiuo atveju (1) lygybė reiškia, kad kūno E tūris yra lygus jo …
Excerpt
XI DAUGIALYPIAI INTEGRALAI 13. Kintamųjų keitimas daugialypiuose integraluose Sakykime, kad E yra atvira erdvės R" taškų aibė, g — tolydžiai dife- rencijuojama funkcija E—R", t. y. g€ C1(E, .R"). Pažymėkime g15 --> g, — funkcijos g koordinatines …
Excerpt
13. KINTAMŲJŲ KEITIMAS DAUGIALYPIUOSE INTEGRALUOSE > Teoremą įrodinėsime panašiai kaip teoremą apie kintamųjų keiti- mą dvilypiuose integraluose (X. 17). Sudarykime įrodymo planą. Įrodinėsime iš eilės šitokius teiginius: 1. Jei kiekvienam aibės E taškui …
Excerpt
XI DAUGIALYPIAI INTEGRALAI visoms funkcijoms fe L (g (4)) (ženklas „+“ prieš integralą (8) lygybėje pasirenkamas, kai A) 20 o ženklas „—“, kai „2500 < 0). Taigi įrodėme (6), kai funkcija g keičia tik n-ąją taško u= …
Excerpt
13. KINTAMŲJŲ KEITIMAS DAUGIAILYPIUOSE INTEGRALUOSE Tada, suprantama, LT i PEŽŲ)S Apibrėžkime funkciją A: E-—-R" lygybe h (u) = (1, 82 (u), “3 Sn (u)), u=(t, -, U„) e E. Kadangi A — tolydžiai diferencijuojama“ aibėje E ir | 1 0 220 |seėsas i Oe Aki CE det …
Excerpt
XI DAUGIALYPIAI INTEGRALAI Kai n= 1, teorema teisinga. Sakykime, kadn — bet koks natūrinis skai- čius ir teorema teisinga erdvėje R"-!, t. y. n— 1-lypiams integralams. Įro- dysime, kad tada teorema teisinga ir erdvėje R". Tegu E < R" ir funkcija g: £—R" …
Excerpt
13. KINTAMŲJŲ KEITIMAS DAUGIALYPIUOSE INTEGRALUOSE nes pagal (10) 025 des | OUs | det Aš (uz, S S |=det (u). gn | Ous TED -- | l Iš (11) ir (12) lygybės, pasirėmę 2 teiginiu, gauname: [/= | /-g-|dta'| g (U) U visoms …
Excerpt
XI DAUGIALYPIAI INTEGRALAI (užrašas x*4+y*4+22 < Rž po integralo ženklu čia reiškia aibę taškų (x, v, z) < R“, kurie tenkina nurodytą nelygybę, t. y. rutulį su spinduliu R). Pakeiskime kintamuosius: X=r COS Ę sin, y=r sino sin, (13) Zz=r.COSŲ, …
Excerpt
13. KINTAMŲIŲ KEITIMAS DAUGIALYPIUOSE INTEGRALUOSE 27 R r S Ni p2-26 sin V dr do d) = f dr f do [p-s sin Ų dy = 2 LA Žo 4 Ba dit RS-29 3—256 Atskiru atveju, kai c=0, gauname: 4 I0= [If dx dydz=|D|=> TR, D t. y. rutulio D tūrį. Pastebėkime, kad pagal …
Excerpt
XI DAUGIALYPIAI INTEGRALAI tai IAE 2-2 A R 2 h lo 14 * dz = Th 0 -— 20 Be to, pagal Tonelio teoremą gauname I (6)= + 00, jei 6> 1. 3 pavyzdys. Apskaičiuokime n-mačio rutulio B„(R)=(x < R": |x| < R), R> 0, tūrį | B, (R) |. |B,(R)|= [ 4x= bs jas: das …
Excerpt
13. KINTAMŲJŲ KEITIMAS DAUGIALYPIUOSE INTEGRALUOSE Pažymėję 1 = [ A—u* Rd, k=0, 1,2, Ce, A (18) lygybę galime perrašyti šitaip: = I Yas (19) Integruodami integralą I, dalimis, gauname: k-2 k- 2 EA [amo du=k [esi 5a 7 di — —1 k k-2 i [am du+k [| (1-1) * …
Excerpt
XI DAUGIALYPIAI INTEGRALAI Jei n — lyginis skaičius, tai pakartotinai pritaikę (23) lygybę gauname: 2 Pr 2 (27)/1-1 a tagai m AA T aTa „ (24) n n(n-2)... nes Ys= T. Jei n — nelyginis skaičius, tai vėl pakartotinai pritaikę (23) lygybę gauname: nzl (27) ? …
Excerpt
15. NETIESIOGINIAI DAUGIALYPIAI INTEGRALAI Sakykime, kad => 0. Kadangi f — tolydi taške a, tai egzistuoja toks 6> 0, kad f(a) —s …
Excerpt
XI DAUGIALYPIAI INTEGRALAI Sakoma, kad f f konverguoja, jei I egzistuoja ir yra baigtinis; priešingu E atveju sakoma, kad | f diverguoja. Netiesioginis integralas f f vadina- E mas absoliučiai konverguojančiu, jei f tenkina (2) sąlygą. Jei f < L (E), tai …
Excerpt
16. RYMANO DAUGIALYPIS INTEGRALAS Pavyzdys. Apskaičiuosime trilypį integralą C a XV I(0=(0) | ! [ => 20420 aibe =, y 2)S RX R 05 E Or 01) Pažymėkime B. rutulį su centru taške (0, 0, 0) ir spinduliu 5/2. "reiia 25 Kadangi aibėje D integralo I («) …
Excerpt
XI DAUGIALYPIAI INTEGRALAI Didžiausią iš aibių E, diametrų pažymėkime 3) (2). Funkcijos f Rymano n-lypiu integralu aibe E yra vadinama integralinių sumų 6(/, 2, Ę) riba, kai X (2)—0: (R) | £6) dx= lim (f, 2, E). = 1(2)> 0 Daugialypių Rymano integralų …
Excerpt
17. TRILYPIŲ INTEGRALŲ TAIKYMAI ir | E(x) |=0, jei xg(0, R). Todėl kūno E tūris R LEI | (Rž-x)dx=Ž RB. N NN S E 61 pav. 62 pav. 2. Erdvinių kūnų masės skaičiavimas. Sakykime, kad yra žinomas trimačio materialaus kūno E tankis d (x, J, z) kiekviename to …
Excerpt
XI DAUGIALYPIAI INTEGRALAI —> — Pagal (4) R 21 T t cdxdydz | a 378 m= [f 13 =C [ dr [ do | ršl* sinų dy => rcR'!2, x*-y'-2* < R 0 0 0 3. Materialiųjų kūnų inercijos momentų skaičiavimas. Jei S=(M,, ..., M,) yra materialiųjų taškų sistema, / — duotoji …
Excerpt
7. TRILYPIŲ INTEGRALŲ TAIKYMAI MS JŠIB (zž+x2) d(Ax, y, z) dxdydz, E I.= SB (+) 0, y, z) dxdyaz, » E o koordinačių plokštumų atžvilgiu — šitokie: EL ŠIEL ZA 7, 2)ldxkdjida, E Ie = [If x S (x, y, z) dxdydz, E Is= |[f y d (x, y, z) dxdyaz. E 3 pavyzdys. …
Excerpt
XI DAUGIALYPIAI INTEGRALAI Jei E yra bet koks materialus trimatis kūnas, tai jį dalijame į dalinių kūnų baigtinę sistemą 2= (E, ..., E,|. Tegu 6 (M) yra kūno E tankis taške M, d(M) — taško M atstumas nuo plokštumos P ir M; < Ej (j= =1, ..., 1). Tada kūno …
Excerpt
17. TRILYPIŲ INTEGRALŲ TAIKYMAI 4 pavyzdys. Rasime pusės ru- z tulio masės centrą, jei rutuiio tan- kis 6 yra pastovus. Pažymėkime raide R rutulio spindulį ir pasirin- kime koordinačių ašis kaip parody- ta 64 paveiksle. Masės centro koor- dinates …
Excerpt
XI DAUGIALYPIAI INTEGRALAI Panašiai (F),Zy mų Tai B d (M) |Erl: a (Fr). SYM | M, N 8 = Š(M)| E, | Visos atstojamosios jėgos F ukio ašyje x lygi šitokiai ribai: (F),= lim S mą B 3 — S(M)|E,|- 2(2)—0 k=1 Analogiškai išreiškiamos ir F projekcijos kitose …
Excerpt
19. UŽDAVINIAI 18. Apžvalga Šio skyriaus tikslas — parodyti, kaip, tinkamai formuluojant apibrė- žimus ir įvedant patogius žymėjimus, visas teoremas, kurios buvo įrodytos dvilypiams integralams, galima „perkelti“ daugialypiams integralams. Teoremų apie …
Excerpt
XI DAUGIALYPIAI INTEGRALAI 7. Apskaičiuokite cilindrinio kūno E=((x,y, )e Rš: x*+y7 …