Excerpt
P Pavyzdys. Laikydamiesi nurodytos schemos, apskaičiuosime trečios eilės deter- minantą 5 B ET D=2-6-7+3-1-0+5-4-8—5-6-0—3-4-7—9-1 -8=2410+160—0—84—16=144. S 6. Trečios eilės determinanto savybės Nurodysime kai kurias trečios eilės determinanto savybes, …
Excerpt
nariuose. Visus narius suskirstome į tris grupes taip, kad pirmos grupės na- riai turėtų daugiklį a;,, antros — daugiklį a;3, 0 trečios — daugiklį do3: D=aūx (41503> — 015033) + 055 (A1055 — A 5051) T- Ars (d15031 — G11032). Kadangi kiekvienuose …
Excerpt
Įrodymas. Šiuo atveju reikia palyginti du trečios eilės determinantus: Į "Uu Or Gi3 "Au Gy ES i 3 Ū3p ži 5 7 Az, App GŪ3 | C3 A Ūz5 Tie determinantai ne tik lygūs, bet ir sudaryti iš atitinkamai lygių narių. Tuo įsitikiname, apskaičiavę determinantą D …
Excerpt
lutę ir atitinkamus stulpelius. Kadangi 4;;=(—1)'*/M;, tai sutampa ir ati- tinkamieji adjunktai. Todėl pagal (5) formulę D'=ka; - Aj + kais: A15 + Kaja: Ana. Iškėlus už skliaustų bendrąjį daugiklį k, skliaustuose likusi suma lygi D. Va- dinasi, DO DE Arba …
Excerpt
Įrodymas. Sukeičiame vietomis, pavyzdžiui, antrąją ir trečiąją determi- nanto D eilutes ir gauname determinantą |Au Up Us L Į D mi ia la) [An O Az | Determinantų D ir D' pirmos eilutės elementų minorus pažymėkime Mi; ir Mi; (/=1, 2, 3). Lengva įsitikinti, …
Excerpt
Se Tiesinių lygčių su trimis kintamaisiais sistema Jei a, b, c ir d — realūs skaičiai, o x, y ir z — kintamieji, tai lygtis ax4+by+cz=d vadinama pirmojo laipsnio (arba tiesine) lygtimi su trimis kintamaisiais x, y ir z. Skaičių trejetas, arba taškas, (x4, …
Excerpt
Panašiai galima sudaryti dar du determinantus DOžir* D: 5 ! | Cu (C) Gaz D,= Ū3 Cs Ūsą A Ca Aa | =C A 1-5 A35 1 Cą Aso, Au Up Ci | D A1 Op Ca = Ars Cs Ax5 + Cą Ana. A Ūzp Ca | Teorema. Jeigu (T) lygčių sistemos determinantas D nelygus nuliui, tai ta …
Excerpt
Pirmąją lygybę padauginame panariui iš A,,, antrąją — iš 4A,„, trečiają — iš A,;, ir gautąsias skaičių lygybes sudedame: (a An + 03 An +-05 Ag) X + (Os Ayi + Ars Ani + Aga Ass) Y+- + (as An + 05 An +-035 A3)Z= 01 An + Co A +-C5 Ar. Pirmuose skliaustuose …
Excerpt
Be įrodymo pateikiame dar du teiginius, liečiančius (7) lygčių sistemos sprendinių skaičių. Jei D=0, o bent vienas iš determinantų D,, D,ir D, nelygus nuliui, tai (7) sistema neturi sprendinių. Tokia sistema vadinama nesuderinta. Jei ne tik D=0, bet ir …
Excerpt
III skyrius VEKTORINĖS ALGEBROS ELEMENTAI S 8. Skaliarai ir vektoriai Dydžiai, su kuriais tenka susidurti mechanikoje, fizikoje ir kituose taikomuosiuose moksluose, būna dviejų rūšių. Tokie dydžiai, kaip ilgis, plotas, tūris, masė, temperatūra ir pan., …
Excerpt
Du vektorius laikome lygiai s, jeigu jie yra-V) vienodo ilgio, 2) lygiagretūs (yra vienoje tiesėje arba lygiagrečiose tiesėse) ir 3) vienodų krypčių. 6 brėžinyje pavaizduoti du lygūs vektoriai a ir b. Vektoriai a ir nely- gūs, nes nesutampa jų kryptys, …
Excerpt
> —— iš 1 presipio lengvai įsitikiname, kad OA+AC= OB +BC. Tą lygybę, pastebėję, kad BC =a, galime rašyti taip: a+b=b-+a. | Parašytoji lygybė išreiškia vektorių sudėties komutatyvumo dėsnį: dviejų "vektorių suma nepriklauso nuo to, kurį vektorių laikome …
Excerpt
š Remdamiesi šiuo dėsniu, trijų (ir daugiau) vektorių sumą rašome be skliaustų: a+b-+-c. Atimtis apibrėžiama, kaip veiksmas, atvirkštinis sudėčiai: vektorių a ir b skirtumu, žymimu simboliu a—b, vadinamas toks vektorius, kurį pridėję prie b, gauname a. > …
Excerpt
Iš sandaugos Ja apibrėžimo matyti, kad vektoriai a ir b=Ja yra koli- nearūs. Lengva įsitikinti, kad teisingas ir atvirkštinis teiginys: Jei nenuliniai vektoriai a ir b kolinearūs, tai galima rasti skaičių A, kad galiotų lygybė b= =2a. Pakanka imti al=2, …
Excerpt
s 11. Vektorių projekcijos Imkime k krypties tiesę /, kurią vadinsime projek- cijų ašimi, ir bet kurį vektorių Mikė a, nestatmeną tiesei /. Per šio vektoriaus pradžios ir galo taškus nubrėžkime dvi plokštumas, statmenas projekcijų ašiai (12 brėž.). …
Excerpt
Įrodysime, kad dviejų vektorių sumos projekcija kurioje nors ašyje lygi tų vektorių projekcijų sumai, t. y. iš lygybės c=a+b išplaukia lygybė pr,c=pr,„a+pr,b. Tuo tikslu projekcijų ašyje + imkime tašką M (14 brėž.) ir nubrėžkime —> —> — vektorius MN =air …
Excerpt
Pastebėsime, kad šis dėsnis tinka bet kuriam dėmenų skaičiui. Pavyzdžiui, imdami tris vektorius a, b ir c, turime pr(a+b+c)=pr,[(a+b)+c]=pr,(a1+b)+pr,c=pr a +-pr,b+-pr,c. —> Imkime vėl vektorių MN =a, kurio pradžia yra projekcijų ašyje t (15 brėž.) ir bet …
Excerpt
Panašiai įsitikiname, kad —> A OB=a,j ir OC=a.k, Jei a, ir a, — vektoriaus a projekcijos y ir z ašyse. Dabar (1) lygybę galima parašyti šitaip: a=ai+a,į+a.k. Šioje lygybėje vektorius a išreikštas savo projekcijomis a,, a, ir a, koordi- načių ašyse. $ 11 …
Excerpt
Pavyzdys. Turėdami du vektorius a=2i—5j+3k ir b=3i+j—2k, galime rasti vek- torius ab, a—b ir 3a: a+b=(2i—5į+3k) +(3i+j—2k)=5i—4į +k, a—b=(2i—5į+3k)— (3ij—2k)= —i— Gj +-5k, 3a=3- (2i—5į+3k)=6i— 15j+-9k. — Kai vektoriaus OM =a pradžia sutampa su koordinačių …
Excerpt
Iš gautosios sistemos lengvai randame taško C koordinates: X.-+ Ma 1+4 Vi + Aa = EEŽ 3 (3) z,+225 SATA — Atskiru atveju, kai taškas C yra atkarpos AB vidurys, t. y. |AC| =|CB|, |AC | CB| name iš (3) formulių, imdami A=1: matome, kad A= =1. Todėl atkarpos …
Excerpt
Kadangi iešk omasis taškas C yra xy plokštumoje, tai jo aplikatė = lygi nuliui. Į pasku- tinę iš (3) formulių įrašę z,= —4, z;=2 ir z=0, gauname o. 22: 114 Iščia 2)=2. Taško C abscisę ir ordinatę randame iš likusių (3) formulių: L B-45 Bas CD į 27 BT …
Excerpt
Atskiru atveju, kai b yra vienetinis vektorius b? (5? =1), turime a-b? =dpo, t. y. vektorių a daugindami skaliariškai iš vienetinio vektoriaus, gauname vek- toriaus a projekciją į to vienetinio vektoriaus kryptį. $ 15. Skaliarinės sandaugos savybės 1. …
Excerpt
Pakanka apskaičiuoti abi (7) lygybės puses. Kairėje pusėje gauname x(a -b)=A - ba,, o dešinėje — (24) -b=b- pr„(Ja)=b » Apra =b > Ja,. Iš dviejų paskutiniųjų lygybių ir išplaukia (7) lygybė. s 16. Skaliarinės sandaugos reiškimas vektorių projekcijomis …
Excerpt
Kita vertus, skaliarinę sandaugą a - a galima išreikšti vektoriaus a =a,i +a,j + +a.k projekcijomis: a-a=a,a,+0,0,1+a,a,=a2+a3+a2. Iš dviejų parašytųjų skaliarinės sandaugos a - a išraiškų išvedame lygybę až=a2+a24+a2, kuri išreiškia žinomą dėsnį: …
Excerpt
Kai aaa io Žnaitėi sergi, Kadangi |AD|*= |BD|2, |BD|?= |CD]Įž, tai ( (++2;+(5—1). Iš tos lygčių sistemos po suprastinimo gauname jai ekvivalenčią tiesinių lygčiu sistemą x—-y=-2, "2Rxžy= 2. ! Paskutinės sistemos sprendinys (0, 2) ir yra ieškomasis taškas, …
Excerpt
Panašiai randame kampą B, kurį vektorius a sudaro su y ašimi (arba su vie- netiniu vektoriumi į). Šiuo atveju b=0-i+1 -j+0-k ir b=1. Todėl iš (11) formulės t Gy cos B= Ž Pagaliau kampą y, kurį vektorius a sudaro su z ašimi, gauname iš lygybės cos y = £Z …
Excerpt
5 19. Vektorinė sandauga $14 įvedėme vektorių skaliarinės sandaugos sąvoką. Sudau- ginus du vektorius skaliariškai, gautoji sandauga yra skaičius (skaliaras). Dabar apibrėšime kitokią vektorių daugybą, kurios rezultatas bus vektorius. Tarsime, kad …
Excerpt
Šių savybių įrodymą praleidžiame. Esant reikalui, skaitytojas gali jį rasti platesniuose vadovėliuose. Dabar vektorių a=a,i+a,į-+a,k ir b=b,i +b,j+b,k vektorinę sandaugą išreikškime šių vektorių projekcijomis. Remdamiesi nurodytaisiais dėsniais, šiuos …
Excerpt
Uždaviniai 1. Lygiagretainio AR piupins susikerta taške M. Vektorius MA, MB, MCi ir MD E vektoriais 45= air 4b= = 1 Ats. E (a+-b); 2 (a—b); “ (a+-b); 2 (b-a). —> — — — 2. Vektorius AM, BN ir CP, sutampančius su trikampio ABC pusiaukraštinėmis, š i 1 —> …
Excerpt
Dabar aptarsime, kaip sprendžiamos lygčių sistemos kitais atvejais. Tuo tikslu grįšime prie (5) lygčių sistemos ($ 66): AX 0 5X2 +... Ta X, = bi, AX, + 05953X+... +ū,X,=bo, (5) pi sias „fipilas mi 94 vns utjai aekias 65 a kas GA Ani Xi ans Xa 5 On Aa — …