Excerpt
Tetraedras (V)iš viršaus yra apribotas plokštuma z= 1 —x— y, o iš apačios — plokštu- ma z=0. Jo projekciją xy plokštumoje pažymėję (P), turime I-x-y i Iz 1=[[[ | "Užxžy1 25 jo (P) 0 Apskaičiuojame vidinį integralą: 1—-x-y dz 1 z=LA ie A E > [ l 2 …
Excerpt
Tarsime, kad taškų A; (i=0, 1,2, ..., 1) koordinatės yra x, bei y;, ir įvesime žymėjimą Ax;=x;—x;-, (i=1, 2, ..., m). Be to, kiekviename lanke A; „A; pasirinksime po vieną tašką (Ė;, 1,;). Turėdami 7 taškų (ž45 71); (Ė25 12), =--> (Ei Ni), --> (E,5 T,), …
Excerpt
Jeigu kreivės AB taškuose yra apibrėžtos dvi funkcijos P (x, y) ir O (x, y), tai integralų [ Plk y)dx ir | O(x y)dy AB AB suma rašoma trumpai, praleidžiant antrąjį integralo ženklą: i! P(x, y)dx+ 0 (x, y)dy. AB s 188. Kreivinio integralo skaičiavimas …
Excerpt
kad [ Pl, v)dx+06x y)dy=— | P(x, v)dx+06, y)dy. BA AB Kai integravimo kreivė / yra uždara, t. y. jos pradžios ir galo taškai su- tampa, tai viena kreivės kryptis laikoma teigiama, o kita — neigiama. Teigia- mąja uždaros kreivės / kryptimi laikoma ta, …
Excerpt
Pavyzdžiai. |. Apskaičiuosime kreivinį integralą H— [ 2xy dx+-x3 dy, OA kai integravimo kelias OA, jungiąs taškus O (0, 0) ir A (1, I), yra a) tiesė y=x; b) parabolė y=x*; c) kubinė parabolė y=x*; d) parabolė x=y* (230 brėž.). a) Kadangi y=x, dy=dx, tai 1 …
Excerpt
co) Kai y—x7, dy— A dx, 1 žpils + Ia AŽ Ci Epe > ) 10 G= | (6+39) de=| 0 d) Čia x=y?, dx=2y dy; todėl 1 2y3 17 19 ži 4 6 = La ių Zi = | er+6> [++)|, 35“ 0 Pastaba. Skaitytojas, be abejo, pastebėjo skirtumą tarp 1 pavyzdžio ir 2 pavyzdžio rezultatų. …
Excerpt
Vadinasi, P=- | ydx. (11) I Iš kitos pusės, jei kreivės BAD ir BC D reiškiamos atitinkamai lygtimis x=gi (y) ir x=8> (9) (c …
Excerpt
Taškas (x, y) apeina kilpą teigiamąja kryptimi, kai / kinta nuo 0 iki 1. Todėl paga! (11) formulę plotas 1 1 P=- | yax=- | (2) (L 2)dr= | (313—12—21*) d: = 1 0 0 -( 314 AD al i Ad 3 za š o o o $ 190. Kada kreivinis integralas nepriklauso nuo integravimo …
Excerpt
Teorema. Sakykime, kad funkcijos P(x, y) ir O(x, y) yra tolydinės kiek- viename srities (P) taške, 0 A ir B — du tos srities taškai. Jeigu integralas | Px, »)dx+0(x; y) dy AB nepriklauso nuo integravimo kelio, tai P(x, y)dx+ O (x, y)dy yra kokios nors …
Excerpt
Iš parašytųjų lygybių lengva apskaičiuoti funkcijos U (x, y) pokytį, ati- tinkantį pokytį Ax: U (x4 + Ax,74)—U (ys 91) = | P(6s »)dx +0 (x, y)dy. BC Turėdami mintyje, kad atkarpos BC lygtis yra y=y,, kad dy =Ū ir kad x kin- ta tarp x, ir x, +Ax, kreivinį …
Excerpt
kuris, atsižvelgiant į (14) lygybes, lygus pointegraliniam kreivinio integralo reiškiniui: dU (x, y)=P (x, y)dx+ 0 (x, y) dy. Atvirkštinė teorema. Jei reiškinys P (x, y) dx + O (x, y) dy yra dviejų kin- | tamųjų funkcijos diferencialas, tai kreivinis …
Excerpt
Matome, kad nurodytu atveju kreivinio integralo reikšmė priklauso tik nuo integravimo kreivės pradžios ir pabaigos koordinačių. Iš (16) formulės matyti, kad tuo atveju, kai pointegralinis reiškinys yra kurios nors funkcijos F(x, y) diferencialas, …
Excerpt
a) trikampis su kraštinėmis x=0, y=0, x4+y=2; b) lygiagretainis su kraštinėmis x=1, x=3, x—y—1=0, x—y+1=0; c) skritulys, apribotas apskritimu x24+32= d) figūra, apribota parabolėmis y=x2, y?=x. DS 3 1 Ats. a) i dx J f(x, y) dy; b) | dx 1 f(x, V) dy; 0 0 1 …
Excerpt
kai sritis (P) yra pusskritulis, apribotas pusapskritimiu y= V1-3 ir x ašimi. Ats. k. a ND 7. Apskaičiuokite dvilypį integralą J [ (+) dx dy, (P) kai sritis (P) yra apribota parabolėmis y=x? ir y*=x. 33 Ats. mp“ 8. Apskaičiuokite dvilypį integralą | F …
Excerpt
12. Apskaičiuokite trilypį integralą i ycos (z+x) dx dy dz, (V) kai sritis (V) yra apribota cilindru »=Vx ir plokštumomis y=0, z=0 ir x+2= 7. T 1 Ats. AB: I > . 13. Apskaičiuokite kreivinį integralą (2, 4) (x2—)?) dx, (0, 0) kai integravimo kelias yra …
Excerpt
AZ 18. Kreiviniu integralu apskaičiuokite plotą, apribotą astroide x=a cos*, y=a sin. Ats. > Taš. 19. Apskaičiuokite kreivinius integralus, kurių pointegraliniai reiškiniai yra pilnieji diferencialai: (2, 3) a) [ ydx+xdy; (1, 2) (I, I) b) p xdx-dy. (0, 0) …
Excerpt
Kai lim S, yra begalinė arba neegzistuoja, sakome, kad eilutė diverguoja. Diverguojanti eilutė, aišku, sumos neturi, Pavyzdžiai. 1. Išnagrinėsime skaičių eilutę 1 l l ltzta t ta T too Tos eilutės nariai sudaro geometrinę progresiją, kurios pirmasis narys …
Excerpt
3. Eilutės 1+24+34+1+-...1+7+... nariai sudaro aritmetinę progresiją. Todėl šiuo at- veju 2 1 S,=1+24+3+...+71= — 2 ; š 1 lim S„,=lim Ai A =+0. Matome, kad dalinės sumos S, riba yra begalinė. Vadinasi, pateiktoji skaičių eilutė diverguoja. 4, Sakykime, …
Excerpt
Tuo pačiu keitiniu £= = (d:= = dx) galima perdirbti ir formules koeficien- tams nustatyti: 1 ŽLSOS 2 dx, = S) sin ETž dx, 2 1 k 2 E £ (0 2 (2 Uždaviniai 1. Raskite funkcijų eilutės konvergavimo sritį: a) Inx+1Inžx—-...+In?x1...; 9 E 1+x 14132 1+x" „2 „Nn …
Excerpt
5. Iš pradžių integruodami, o po to diferencijuodami panariui,raskite sumą laipsninės eilutės 1+2x+37141-... 1 Ats. 5 (-1 …
Excerpt
10. Neapibrėžtinius integralus išreikškite laipsninėmis eilutėmis, nurodydami konver- gavimo intervalą: a) | 22 dx; Db) J e“ dx. . x3 x S x2n+1 A „ Ats. a) CA ik D "Paz Piko …
Excerpt
15. Funkciją —1, kai —z …
Excerpt
. Jei y“) yra aukščiausios eilės išvestinė, parašyta diferencialinėje lyg- 3 tyje, tai skaičius 7 vadinamas tos lygties eile. Pavyzdžiui, lygtys 2 y —-Ayž+A3=0, y"14y'3=0 ir x*y"—y5y' =0 yra atitinkamai pirmos, antros ir trečios eilės diferencialinės …
Excerpt
Pavyzdžiai. 1. Diferencialinės lygties y'=2x bendrasis sprendinys, kaip įsitikinome, yra y=x*+C. Imdami C=0, gauname atskirą sprendinį y=x?; imdami C= 1, turime y=x?+1 irt.t. 2. Iš lygties y7=6x bendrojo sprendinio y=+ Cx + C;, imdami C,= C,=0, gau- name …
Excerpt
Jei lygtis yra n-os eilės, tai pradinės sąlygos išreiškiamos šitaip: reikia rasti tokį sprendinį y, kad būtų V |x=x = Jos J LL = Jos y Į=x0 = Jos daop ya=DIKL S AD (ai Yas Yo, Vis 244 J > AUoLi Skaičiai): Skaitytojas, be abejo, atkreipė dėmesį, kad …
Excerpt
$ 213. Pirmos eilės lygtis su atskiriamais kintamaisiais Iš pradžių spręsime šitokią pirmos eilės diferencialinę lygtį: J6)+8 0)y'=0. (2) Visus tos lygties narius padauginę iš dx ir vietoj y' dx parašę dy, gauname J(x)dx+8 (y) dy=0. (2a) (2) lygtis …
Excerpt
Integralinės kreivės šiuo atveju yra lygiaašės hiperbolės (245 brėž.). Kai C> 0, hiper- bolių realioji ašis yra x ašis, o kai C (V) y'=0. | (3a) 81 (x) J- (V) Tai diferencialinė lygtis su atskirtais kintamaisiais, todėl jos bendrasis sprendinys reiškiamas …
Excerpt
ir, dalydami visus lygties narius iš (x2— I)y, atskiriame kintamuosius: dy io 2x dx y A-l Ž Iš nagrinėjamų x reikšmių išmetame x= + I ir ieškome sprendinių.Įtapatingai nelygių nuliui Integruodami gauname In |»|-In |x*—1|=c; iš čia P In sz ! J ———-=+ęeč. …
Excerpt
Pavyzdžiui, ką tik išnagrinėtas funkcijas galima parašyti šitaip: Dyz [1-2-Ž], 3 Na | B Dabar paaiškinsime, kaip sprendžiama pirmos eilės diferencialinė lygtis f(x, y)dx+8 (x, y)dy=0, (8) kurios koeficientai f(x, y) ir g (x, y) yra vienodo laipsnio …
Excerpt
Patogumo dėlei abi šios NSE puses dauginame iš 2 ir integruojame panariui: 2 L In |244-1|42 In |x|=c Iš čia arba ec | 2u+1|= a. * Pastarąją lygybę parašę šitaip: pažymėsime C= +e“(C0) ir gausime 2u+l= S. Kadangi u=Ž, tai 2y sp Cc T = 7 X x arba AG => (£-> …