Excerpt
Pavyzdžiai. IE | xcosxds. u=x, dy=cos x dx; du=dx, v=sin x; | x cosxdx=x sin x— f sinxdx=x sin x+co0s x+C. k | x isinodxa“ u=x, dy=sinx dx; du=dx, v= — cos x; f x sinxdx= —X Cos “A xdx=—xcoSx+sinx+C. 3, || kalna 2 dx a u=ln x, dv=xž dx; du= = „09-33 3 3 …
Excerpt
a $ 153, 5 ' Paprasčiausių racionaliųjų funkcijų integravimas A. Imsime bet kurį polinomą P(x)=a,x7+a, x7711+...+ +a,-„XxX+a, ir išsiaiškinsime, kaip skaičiuojamas integralas P(x) G- 2 S hs kai k — natūrinis skaičius. Jei polinomo P (x) laipsnis 2 ne …
Excerpt
f. Pavyzdys. 1. Apskaičiuosime tokį racionaliosios funkcijos integralą: ž x1—2 p a Tip B Ž Skaitiklį x*—2 dalydami iš vardiklio (x— 1)=x3—3x24+3x— 1, gauname dalmenį x+3 ir liekaną 6x2—8x4 1. Todėl x1-2 3 6x*—8x11 ET EE Dabar tapatybės 62 —8x+1= 4, …
Excerpt
I. Jei trinario x*4+px+4 diskriminantas p?—4g yra teigiamas, tai tri- naris turi'dvi skirtingas realias šaknis x, ir x;. Tokiu atveju (7) integralo po- integralinę funkciją išreiškiame paprastųjų trupmenų suma: mx+n A B +px+g X-XI i E (8) ir integruojame …
Excerpt
Vadinasi, x41 2 1 | x*-x-2 dx= | — A lū= (x—2)? xX+1] “ =2ln|x-2|- In|x+1|4+C=1n +C. II. Kai kvadratinio trinario X? 4-7x +-4 diskriminantas p? —44 yra neigia- mas, trinarį pertvarkome taip: AE +px+ą =|14+5) + 1-2 . —1—2151 222 Po to tariame, kad t=x15 …
Excerpt
tenka atlikti daugiau veiksmų. paie *+x+l=[(*+5) +3- „ka š xdx 4. Skaičiuojant integralą j' Er 3 1 Ka Ė —=t, tai iš jos gausime x= E dx=dt. Vadinasi, Jeigu parašysime lygybę x + 5 Is e a rxEl Lis Kol ies 48 25 Ų i DT“ EE Ei ESA 2x+1 = 1 1 Ž a In EAT. …
Excerpt
B. Iš kitų dažniau pasitaikančių iracionaliųjų funkcijų integralų čia iš- nagrinėsime tik vieną, būtent, LŽ ——— BEF kai trinaris ax*4-bx +-c nėra dvinario kvadratas. Tuo atveju trinaris perdirba-. mas šitaip: V — h2 4ac-b š 2 a +bx+c=a|x+ 57) + 7 ir iš …
Excerpt
sa dx a Antrasis integralas [ — , pažymėjus x=až (x > 0!), integruojamas B Vax sitaip: LŽ TR 2 — =arosin Ž+C. a | 1-|= p Vadinasi, i 2 I E! ŽTC. (12) Pavyzdžiai. ST : dx dx 2. | "==! TE Šiuo atveju iš lygybės x— 1 =/ rašome lygybę dx= dr ir, remdamiesi …
Excerpt
Pavyzdžiai. [si Sa ss sa aa cos 4x | cos 2x IL J Sin 3x cos xdk=5 J Gindx+sin x) dx= r aES M L 1 sin 2 sin 4x 2. J sin ŠX sin x dx= 5 || (cos 2x—cos 4x) d 22 8 E aC. B. Nurodysime keletą atvejų, kai lengvai apskaičiuojamas integralas [ sin caS" db 1. Jei …
Excerpt
1 1 1=cos4 1 + 3 J sin Becos2rdr=3 | 2 migg [sin 2rdsin2x= 1 1 1 sin*2x x sin4x sin? 2x 15 | 4-15 J costxdr+15- ERB. M 11 + C. Tarkime, kad m — natūrinis skaičius, ir išnagrinėkime integralą [ te" xdx. Šiuo atveju geriausia imti /=tg x; tada t arctgf, dx …
Excerpt
1 1 Š 5 *—5ln(?+1); 4 S O kiarolgsi 5. +17 +nlx+1 Iš 2 T šias Ix=i 6. 5 414 — p dinix-lį; 7. In i S 8: x+1n | Zri E (x+2)2 * | x-2 9. In il 10. In Dei E 2 In (x*—2x42)+2 arctg(x—!); m 12. arctg (x—2). Apskaičiuokite žemiau pateiktus iracionaliųjų funkcijų …
Excerpt
8. | cos* x dx; 13. [ (te? x+tg! x) dx; 10. [ sini x dx; 14, [ =: t. [tg x dx; 15. | =: 2 [tė kas Ž £ „Viexo 12 sin X COS X sin x cos x 1 1 1 Ats. 1. 3 (cos X—3C0S 3x); 2 E sin 2x- 5 : sin 4x) i; 1 1 1 3. Ž (sin 2x+ 2 sin 4x); 4 2 5 (2x+sin 2x+5 | sin 411 …
Excerpt
Per dalijimo taškus, pavaizduotus x ašyje, nubrėžiame statmenis x ašiai iki susikirtimo su kreive AB. Tie statmenys kreivinę trapeciją dalija į n vertikalių juostelių. . Sakykime, kad intervalo [a, b] skaidinys yra pakankamai smulkus: visų dalinių …
Excerpt
Bent vienas iš dalinių intervalų, į kuriuos suskaidėme intervalą [a, b], tu- ri didžiausią ilgį. Tas ilgis, žymimas raide 2, yra didžiausias iš skaičių Ax;, Akai 2 Ak: A=max Ass (ik. 2 150): Dabar įsivaizduokime, kad intervalą [a, b] skaidome vis smulkiau …
Excerpt
Iš kiekvieno dalinio intervalo laisvai pasirenkame po vieną skaičių E,(i= 2 as E: Ei Al. Apskaičiavę funkcijos y=f (x) reikšmes taškuose č;, kiekvieną reikšmę f (š;) padauginame iš atitinkamo dalinio intervalo ilgio Ax; ir tas sandaugas sude- dame. …
Excerpt
Kai funkcijos f (x) integralinė suma intervale [a, b] turi baigtinę ribą, ki- b ' taip sakant, kai egzistuoja [ f(x)dx, tą funkciją vadiname integruojama - a intervale [a, b]. Pabrėžiame (be įrodymo), kad kiekviena funkcija, tolydinė uždarame in- tervale, …
Excerpt
trapecijos, kuri yra apribota kreive y=f (x), x ašies atkarpa ir tiesėmis x= S BEL AS 6 [f6)ix=s. a Jei f (x) …
Excerpt
t Funkciją D (:)= ii Jf(x)dx vadiname apibrėžtiniu integralu su kintamu viršutiniu rėžiu t. Teorema. Jei Junkcija f(x) yra tolydinė kiekviename intervalo [a, b) taške, tai Junkcija O (r) turi išvestinę D" (f), lygią f (1). Įrodymas. Suformuluotąjį teiginį …
Excerpt
Pažymėkime funkcijos O argumentą raide x. Tada turėsime funkciją O (x), apibrėžtą intervale [a, b], kurios išvestinė lygi f (x): D O) TO) 1-1 Vadinasi, O (x) yra viena iš funkcijos f (x) primityviųjų funkcijų. Ji ypa- tinga tuo, kad O (a)= | f()dx=0. …
Excerpt
Dabar aišku, kad (2) tapatybę reikia rašyti taip: O (x)=F(x)—F (a). Jei (1) lygybėje O (:) pakeisime skirtumu F (/)—F (a), tai gausime lygybę F(1)-F(a)= | f(x)dx. Kadangi 7 yra bet kuris intervalo [a, b] skaičius, tai atskiru atveju galima tar- ti, kad …
Excerpt
s 160. Apibrėžtinio integralo savybės | 6 I. Apibrėždami integralą f f(x) dx, kaip integralinės sumos a ribą ($ 157), be abejo, galvojome, kad apatinis rėžis a yra mažesnis už viršu- tinį rėžį b …
Excerpt
III. Skaitinį daugiklį galima iškelti prieš apibrėžtinio integralo ženklą. Tarkime, kad F' (x)=f (x); tada [k F (x)Į =kf (x), todėl 6 | kf(x)dx=kF (x) Kadangi =kF (b) —kF (a)=k[F(b)- F (a)). b a F(B)-F (a)= | f()dx, tai b b Į kf(x)dx=k | f) dx. a IV. …
Excerpt
S 161. Vidutinės reikšmės teorema Tarkime, kad F (x) yra tolydinės funkcijos f(x) primityvioji intervale [a, bl, t. y. F' (x) =f (x), kai …
Excerpt
2. Panašiai randama ir funkcijos f(x)=x* vidutinė reikšmė intervale [0, 3]: 3 1 K > KA 2 —————211—a4. i-3 | 84-3-5 3 0 S 162. Apibrėžtinio integralo skaičiavimas, keičiant kintamąjį 6 Sakysime, reikia apskaičiuoti integralą f f(x)dx, kurio po- integralinė …
Excerpt
Iš dviejų paskutiniųjų lygybių kaip tik gauname (6) lygybę, kurią reikė- jo įrodyti. 2 Pavyzdžiai. 1. Apskaičiuosime plotą figūros, apribotos elipse x2 y Ci =l.: Kadangi elipsė yra simetriška koordinačių ašių atžvilgiu, tai visos figūros plotas bus lygus …
Excerpt
karto imsime x=a (+—sin t), kai 0 …
Excerpt
Iš šios lygybės gauname apibrėžtinio integralo dalinio integravimo formulę b b b | u(x) v' (x) dx =u (X) v (x) |- / 2 (x) u (x) dx, kurią, turėdami mintyje, kad du=u" (x) dx, dv=v' (x) dx, rašome trumpiau: 6 6 [udy=uv L f y dų. (7) a a Pavyzdys. …
Excerpt
Po to apskaičiuosime funkcijos y=f (x) reikšmes dalijimo taškuose: Vos Yas Yas Vis Va: Jei per dalijimo taškus nubrėšime tieses, lygiagrečias y ašiai, tai kreivinė trapecija bus padalyta į n vienodo pločio juostelių. Kiekvieną tokią juostelę galima …
Excerpt
2. Parabolių formulė. Intervalą [a, b] padalykime taškais LL S 8 į 2n lygių dalių ir atitinkamas funkcijos reikšmes pažymėkime Vos Vis Vas 5 Yan 25 Yan-15 Van: y - Imkime dvigubą dalinį intervalą [x4, Xal, kurio ilgis h=x;—x,= 21 „ir per taš- kus (Xo, …
Excerpt
Panašiai gautume, kad r 4, J J )dx= 5 (v> +4y2 194), 2n k T f (x) dx= 6 si 55 4Yan— 1 + Va), todėl ž 2 h h į J TA) dxT 5 Ua k) p Ua WAY) 1 h B (z-22 Avo 1 E Yas), arba E h f(x) dx = = Uvo+Y> )+401+Y51---+Ym-1) + ; 6 +2(y:+Y. +... +Y2m-> )l (9) (n -). …