Excerpt
$ 6] Pagrindinių normalinių piūvių kreivumai 161 (64) lygti parašome pavidalu k=k,—sinž8 (k, — k,). Dešinėje pusėje antrasis narys yra teigiamas, todėl 4 gauname, iš A, atėmę teigiamą dydį, vadinasi, bet kokiam 8 k < ki. Parašę (64) lygtį pavidalu k=k, | …
Excerpt
162 Paviršių teorija [II d. kiek jų sandauga ir suma. Iš (68) lygties randame KAT IN M LŽ RIMA M AEG A MS IEN PM GE Ailmleai Eo Bi K (69) K vadinama paviršiaus Gauso kreivumu, arba paviršiaus pilnu kreivu- mu, arba tiesiog paviršiaus kreivumu, H — …
Excerpt
$ 7] i Kreivumo linijos 163 43. Skirtumas H?— K vadinamas Eulerio skirtumu. Įrodyti, kad umbiliniuose taškuose ir tik juose Eulerio skirtumas lygus nuliui. 44. Nuo kiekvieno paviršiaus P taško ant normalių 2 atidėjus to pačio 11- gio atkarpas A, jų galai …
Excerpt
164 : Paviršių teorija [II d. mei nustato pagrindines kryptis du: dv. Sutvarkę (67) lygtis pagal Ą, turime: LduA- Mdv—k(Edu + Fdv)=0, Madu + Ndo —k(Fdu + Gdo) =0. (1) Eliminavę k, gauname: LduĄ-Mdv9 Edu Fdo — i (72) Mdu5- Ndo Fdu4 Gdv 2 arba (LF — ME) du? …
Excerpt
WP PPHTHPPVHSP MAP EVER s 7 “ Kreivumo linijos 165 turime kreivę u=u(t), v= (1). Kiekvienam šios kreivės taške išvedame paviršiui normalę m; tuomet kreivės radiusas-vektorius 7“ ir jos taškuose išvestos paviršiui norma- lės vektoriai m yra t funkcijos. …
Excerpt
166 Paviršių teorija [II d. Parašome (77) lygtį išvystytu pavidalu T,du-+- T,dv > +- R(n,du> - n,dv) =0. Padauginę iš eilės iš 7, ir 7, ir priėmę dėmesin (19) ir (44) lygtis, turime: Edu; Fdv— R(Ldu 4 Mdv)=0, Fdu4+-Gdv— R(Mdu4+ Ndv)=0. Gautos lygtys, jose …
Excerpt
sn . Kreivumo linijos 167 mąjį paviršių ir dėl to lygiagretė yra Kiciguiia linija. Tuo mūsų tvirtinimas yra įrodytas. Bet kuriame sukimosi paviršiaus taške A vieno pagrindinio nor- malinio piūvio kreivumo centras sutampa su meridiano taško A krei- vumo …
Excerpt
168 Paviršių teorija [II d. viršiaus yra drauge ir kreivumo linijų tinklas. Dabar, pasirėmę Rod- rigo formule, įrodysime; kad sfera ir plokštuma yra vieninteliai pa- viršiai, sudaryti iš umbilinių taškų. Jeigu paviršius sudarytas vien iš umbilinių raškų, …
Excerpt
s Kreivumo linijos 169 eina po 3 paviršius. Kas du paviršiai susikerta pagal kreivę, kurią gauname laikydami du parametrus pastoviais, o trečią kintamu; taigi per kiekvieną tašką eina po 3 kreives. (80) lygtis išreiškia triparamet- rinę paviršių sistemą. …
Excerpt
* 170 Paviršių teorija [II d. mo linijos. Tačiau problema įsprausti paviršių į triortogonalinę pavir- šių sistemą yra ekvivalenti kreivumo linijų diferencialinės lygties inte- gravimui. . Kartais iš kitų geometrinių nagrinėjimų yra žinoma, kad duotas …
Excerpt
. $ 81 Asimptotinės linijos 171 51. Rasti hiperbolinio paraboloido az=xy kreivumo linijas. [ Susikirimo hiperbolinio paraboloido su cilindrais (++1 BpB)(y+ V ai )-a ir (++V BT3)=a(y+ V EEZŲ kreivės. 52. Rasti hiperbolinio paraboloido, duoto parametrinėmis …
Excerpt
* 172' Paviršių teorija [II d. Ant paviršiaus kreivę, kurios bet kurio taško liečiamosios kryptis su- tampa su to taško „asimptotine kryptimi, vadiname asimprotine linija. (83) lygtis yra diferencialinė lygtis; jos bendrasis sprendinys duoda visas …
Excerpt
$ 8] Asimptotinės linijos 173 paviršiaus paimta kreivė yra tiesė, tai 7,,= 0, ir todėl L = 0; vadina- si, tiesė yra asimptotinė linija. JA Duosime šio dėsnio antrą įrodymą. Bet kuriam plokščiam piūviui kryptimi du:dv pagal (47) turime: 058 B cos9= Ldu* + …
Excerpt
174 : Paviršių teorija | II -d.] Priėmę dėmesin, kad šiose lygtyse po radikalu esantis reiškinys yra teigiamas ir kad L, M, N yra u, v funkcijos, turime dvi diferenciali- nes lygtis tipo 2 AC AA (88) Šių lygčių bendrieji sprendiniai duoda dvi asimptotinių …
Excerpt
$ 8] Uždaviniai 175 iš neigiamo kreivumo taškų, eina po dvi asimptotines linijas; panašiai teigiamo kreivumo taške neegzistuoja asimptotinių linijų. Per nulinio kreivumo tašką, jei jo aplinka susideda vien iš nulinio kreivumo taš- kų, eina po vieną …
Excerpt
176 Paviršių teorija [II d. 64. Įrodyti, kad paviršius yra minimalinis, t. y. kurio H=Ū, tada ir tiktai tada, kai asimptorinės linijos yra statmenos. 65. Įrodyti, kad, paviršių projektyviai transformuojant, asimptožinės lini- jos pereina į asimptotines …
Excerpt
s 9 Sujungtiniai tinklai 177 Paviršiaus tinklas, kurio kiekviename taške kreivių liečiamųjų kryp- tys yra sujungtinės, vadinamas sujungtiniu tinklu. Sujungtinį tinklą ga- lima sudaryti tokiu būdu. Paviršiuje išvedame vienparametrinę kreivių šeimą. Tegu …
Excerpt
178 Paviršių teorija [II d. Ši sąlyga yra patenkinta, jeigu paviršius duotas lygtimi T=T,(U) + r; (0), (92) nes T.„— 0. Paviršiai (92) tipo. vadinami rransliaciniais paviršiais, nes jie gali būti gauti, lygiagrečiai judant kreivei 7.= 7, (4) arba kreivei …
Excerpt
$ 10] Trečioji kvadratinė forma 179 72. Ant helikoido xX=vcosų, y=vsinu, z=4u rasti kreivių šeimą, kuri su kreivių šeima 4-4 v= const sudarytų sujungtinį tinklą. …
Excerpt
180 Paviršių teorija [II d. prasmės sistemą, kaip ir sferos vektoriai 2, M, M. Šiuo atveju sa- koma, kad paviršius ir sfera vienodai orientuoti. Antru atveju, jei vektoriai 7, 7,, 1 sudaro dešininę sistemą, tai 1, Nn, T — kairinę; šiuo atveju sakoma, kad …
Excerpt
. $ 10] Trečioji kvadratinė forma 181 todėl ploto S diferencialas yra dS= V EG-— Fždudo, dS= |T,XT,| du dv. Šią lygtį galima parašyti pavidalu dS= (T, du, T,dv, n). (96) Skirtumas su aukščiau stovinčia lygtimi yra tik tas, kad pagal (96) ant teigiamai …
Excerpt
182 Ėė Paviršių teorija HI d. K=0 atveju. Tik šiuo atveju ne tik 4S* bet ir S* visuomet lygus nuliui, nes šiuo atveju vienas iš vektorių m, ar m, yra lygus nuliui. Iš tiesų, jei K= 0, tai iš (99) seka ZS* = 0, bet S*ž=|n,Xn,|du do, taigi turi būti ir …
Excerpt
$ 10] Trečioji kvadratinė forma 183 Taigi iš tiesų gavome, kad trečiąją kvadratinę formą galima tiesiškai išreikšti per pirmąsias dvi. Pilnai išvysčius (100) lygtį, kadangi du ir dv yra nepriklausomi, tai koeficientai prie du?, du dv ir dv? turi būti …
Excerpt
184 4 "Paviršių teorija || 25 [II d. Kadangi asimptotinėm linijom II=0, tai iš (100) lygties turime; Vadinasi, S Ši formulė, rišanti asimptotinių linijų sukimąsi su paviršiaus kreivumu, vadinama Beltramio (Beltrumi) ir Eneperio (Enneper) formule. Asimp- …
Excerpt
$ 1] Vienparametrinės paviršių šeimos 185 H : 75. Rasti minimalinį paviršių P*, lygiagretų paviršiui P, kurio = 7 00nst H [r (u, 0)=7T (u, V) + saiC? 2). 76. Įrodyti, kad dviejų lygiagrečių paviršių Gauso ir vidutiniai kreivumai surišti lygtimis H*-4K …
Excerpt
186 Paviršių teorija [II d. Tačiau (105) paviršių susikirtimo kreivė, Az artėjant į nulį, gali ir neturėti ribinės kreivės, o (106) lygtis gali reikšti konkrečią kreivę. Kreivę, duotą (106) lygtimis, vadiname paviršiaus, atitinkančio para- metro a …
Excerpt
sales Vienparametrinės paviršių šeimos 187 o diskriminantinio paviršiaus 0a (Xos Jos Zos Lo) 3 Fa (*0 Yo Z0 80) T- Fi (X Yos Z0> Go) = a (Xa> Vos Zos 40) r (X Vos Zos 40) + Fa(Xos Vos Z0> Go) - Žv 2 Oa (Xų, » 20 Go) F, (o Yo Zoo 4) -- Fi (X; Vo 05 Go) 2 …
Excerpt
188 Paviršių teorija [II d. Šeimos paviršiai gali turėti ne vieną arba kelis ypatinguosius taš- kus, bet visą kreivę ypatingųjų taškų. Tuomet visos šeimos ypatin- gieji taškai gali sudaryti ne (109) lygtimi - duotą kreivę, bet paviršių, kurį galima …
Excerpt
$ 11] Vienparametrinės paviršių šeimos „189 Kadangi A ir A gali artėti į nulį nepriklausomai, tai, kai Ž— 0 ir +—-0, šios lygtys virsta Ė F(a)=0, F.(a)=0, F,„(a)=0. (111) Tokiu būdu, ribiniai taškai, jei jie egzistuoja, turi patenkinti (111) lyg- tis. …
Excerpt
190 Paviršių teorija [II d. sudarytų su koordinačių ašimis, kosinusai yra proporcingi koeficien- tams prie dx, dy, dz, kuriuos nustatys lygtys, gaunamos, diferencijuo- jant (106) lygtis, kuriose jau a laikoma x, y, z funkcija. Turime: F,dx4- F,dy4 F.dz 4 …