Excerpt
$ 29] ' Paviršių lenkimas į sukimosi paviršius s 263 parašę v, pirmąją kvadratinę formą parašome pavidalu dsž = duž —- 4 (u)* dvž. (249) Aišku, kad šiuo pakeitimu geodezinės' lygiagretės nepasikeičia. $ 19 turėjome, jei plokščią kreivę x=u, Zz=9(u) …
Excerpt
264 Paviršių teorija [II d. kur a yra bet kokia teigiama konstanta, 4 yra ta pati funkcija, kuri figūruoja (249) lygtyje, o u' yra kreivės lanko ilgis. Reikia dar rasti z kaip u' funkciją. Plokščios kreivės lanko diferencialas yra ds* — dx? - dz, bet jis …
Excerpt
$ 22] Paviršių lenkimas į sukimosi paviršius 265 delius gabalus, galima gauti abipus vienareikšmį izometrinį atvaizda- vimą. Kadangi konstantą a jos apribojimo srityje galima laisvai pasirinkti, tai turime visą šeimą sukimosi paviršių, į kuriuos galima …
Excerpt
266 Paviršių teorija [II ad. Bet atitinkamų lygiagrečių apskritimų spinduliai yra skirtingi. Jeigu a V — Ii. Be to, kaip matome iš (257), kai u=—u", galioja 235 vadinasi, pirmojo paviršiaus meridianų projekcijos į = ašį yra dides- nės už antrojo …
Excerpt
< $ 23] Pastovaus kreivumo paviršiai 267 Ant bet kurio pastovaus kreivumo paviršiaus sudarysime pu- siau geodezinę koordinačių sistemą (žr. $ 20) šiuo būdu. Per pavir- . šiaus tašką A vedame bet kurią geodezinę kreivę C ir ją laikome v kreive; išvedame …
Excerpt
268 Paviršių teorija i [II d. Išdiferencijavę (261) lygtis pagal u, įstatę u—=0 ir reikalaudami, kad 0G sk Ž 2 — = 0, visais trim atvejais gauname: [71 c;(20)=0. Tokiu būdu, V G=cos(/ Ku), IR 0: VG = 1, K-0, VG=ch(V Ku, " K 0, ds* = duž L dv?; | KO (262) …
Excerpt
s 23 Pastovaus kreivumo paviršiai 269 Ant pastovaus kreivumo paviršiaus galima paimti tašką ir aplink jį išpiauti paviršiaus gabalą. Šį gabalą galima išlenkti ant to paties paviršiaus taip, kad taškas A ir jame duota kryptis sutaptų su bet kuriuo kitu …
Excerpt
270 Paviršių teorija Id arba USE ds* = du? + (cos VK uždo?. (264) Palyginus šią kvadratinę formą su (262) pirmąja, matome, kad bet kurį pastovaus kreivumo K paviršių galima išlenkti į sferą spindulio R, kur R su K yra surišti (263) lygtimi. (262) antrąja …
Excerpt
S 23] Pastovaus krėivumo paviršiai 271 Kadangi visus to paties pastovaus kreivumo paviršius galima iš- lenkti vienas į kitą, tai visus neigiamo „pastovaus kreivumo paviršius galima išlenkti į pseudosferą. i Susipažinome su trimis pastovaus kreivumo …
Excerpt
272 Paviršių teorija [II d. Dar kartą suintegravę, galutinai randame: KSS JS z=+ J D i (268) kur x; yra meridiano to a abscisė, kuriai z4;=0. Tokiu būdu, visų pastovaus kreivumo sukimosi paviršių meridianai xz plokštumo- je išreiškiami (268) lygtimi. …
Excerpt
$ 23] Pastovaus kreivumo paviršiai ; 273 tiktai, kai virsta begalybe arba nuliu, taigi jei x= V ca ir x= Wt= Ta "Todėliš viso,kas pasakyta, matome, kad kreivė susidedaiš kongruentinių dalių (80 brėž.). Taškai, kuriuose x= Į/ c— La yra kreivės ypatingi …
Excerpt
274 . Paviršių teorija 2 HI d Jei x=V ca, meridianas labiausiai nutolęs nuo sukimosi ašies. Šio meridiano taškas, besisukdamas aplink sukimosi ašį, duoda lygiagretę, ž > Ž r SAS Ž Ž = dz vadinamą sukimosi paviršiaus ekvatoriumi. Kadangi, kai x = V 12 …
Excerpt
$ 23] Pastovaus kreivumo paviršiai 275 vadinasi, kreivė savo iškilumu nukreipta į sukimosi ašį. Skirsime taip pat 3 atvejus: c> 0, c=0, c < 0. a. c > 0. (271) dešinės pusės po radikalo ženklu esantis skaitiklis turi būti teigiamas, tai c < l, ir …
Excerpt
276 Paviršių teorija [II d. Ši lygtis drauge su (273) lygtimi yra traktrisės parametrinės lygtys. Tuo būdu, šiuo atveju pastovaus kreivumo sukimosi paviršius yra pseudosfera (79 brėž.). c. …
Excerpt
$ 24] Vektoriaus ant paviršiaus lygiagretus perkėlimas 277 Jeigu vektorius d; ir a; vėl lygiagrečiai ant paviršiaus kreive C, per- kelsime į tašką A,, tai, aišku, kad vektorius 4, užims vaktoriaus a padėtį, o vektorius (i, tegu užims vektoriaus 45 padėtį. …
Excerpt
278 : Paviršių teorija [II d. Kadangi vektorius g ant paviršiaus perkeliamas lygiagrečiai, tai dd yra kolinearinis vektoriui 72 ir tuo pačiu yra statmenas paviršiaus vektoriui D, todėl s adb= —sinodą. (275) Paviršiaus vektorius lygiagrečiai perkeliant, …
Excerpt
$ 24] Vektoriaus ant paviršiaus lygiagretus perkėlimas 279 timi. Mūsų atveju vietoje x galima imti ul ir vietoj y — u2. Todėl turime: = - | |[Ž-0000- k Žž (no 0.)| du! duž, arba Ap = J ji [0 b.)— (n,b b.)) dt du?, nes nb,b,= — (nb,b,)=0, kadangi vektoriai …
Excerpt
280 Paviršių teorija | [II d, kur K yra paviršiaus Gauso kreivumas, o 4S yra ploto elementas. Dešinėje pusėje stovintis dvilypis integralas imamas srityje, apriboto- je uždaru kontūru; jis vadinamas paviršiaus srities pilnu kreivumu. arba integralinių …
Excerpt
$ 25] Gauso—Bone formulė 281 S 25. Gauso—Bone formulė Tegu ant paviršiaus turime duotą uždarą kontūrą, sudarytą iš n kreivių lankų (85 brėž.). Bet kuriame kontūro taške imame vekto- rius D, a, t. Visi vektoriai yra paviršiaus vienetiniai vektoriai. Be to, …
Excerpt
282 Paviršių teorija [II d. Be to, iš (279) lygties turime: < (t, d)= —4. Pritaikę dabar pereito paragrafo nagrinėjimus, tik vietoje D vektori- nio lauko imdami £ vektorinį lauką ir vietoj p imdami — J, pagal (276) turime; —db= —(ntdt), arba dė dt Bet dt …
Excerpt
$ 25] 2 Gauso—Bone formulė 288 Tegu plokštumoje turime vienkart susijusią sriti Xi ir joje R— 1 taip pat vienkart susijusių sričių 2, 2, +, Xp, neturinčias bendrų taškų (86 brėž.). Imame srių N, gautą iš srities Ž, išmetus 22 Si D H=2,-2,—2;—---— Ip. …
Excerpt
. 284 f Paviršių teorija ; [II d. apeinama sritis lieka iš kairės (87 brėž.). Priimkime, kad sritis 2, ap- ribota kontūru I", susidedančiu iš kontūrų T, T,,---,Tp, ir kontūru T apeiname sritį Z taip pat teigiama kryptimi. Todėl, , žiūrint iš pa- viršiaus …
Excerpt
$ 25] Gauso—Bone formulė 285 Sudėję šias lygtis ir atsižvelgę į tai, kad kreivalinijiniai integralai yra paimti ant tos pačios kreivės, tik apeinami priešingomis kryptimis (89 brėž.) ir dėl to jų suma lygi nuliui, gauname; a [f kas=ts- kur kairėje pusėje …
Excerpt
286 Paviršių teorija [II d. A Ž se mažiausia sueina 3 iš P,. Paviršių P vadiname orientuotu, jeigu kiekvienos iš P; apėjimo kryptis taip nustatyta, kad dviejų kaimyni- nių sričių bendros briaunos apėjimas yra priešingas. Kiekvienai iš P; galima taikyti …
Excerpt
$ 25] Gauso—Bone formulė 987 niams. Atveju > =0, t. y. kai paviršius yra sferos tipo, (288) lygtis virsta tokia lygtimi: s—b--k=2. Šiuo pavidalu Euleris (1752 m.) susekė dėsnį briaunainiams, nors jį jau prieš 100 metų žinojo Dekartas. Pritaikymas …
Excerpt
288 3 Paviršių teorija [II d. Pastovaus neigiamo kreivumo paviršių, pseudosferinių, vidaus ge0- metrija yra tapatinga Lobačevskio sukurtai neeuklidinei geometrijai, o teigiamo pastovaus kreivumo paviršių vidaus geometrija yra tapa- tinga Rymano …
Excerpt
DALYKINĖ Absoliutinis diferencialas 231 — paralelizmas 280 Antroji pagrindinė kvadratinė iorma 147, 148 Antrosios kvadratinės formos koeficien- tai 148 — — — poliarinė forma 176 Antros rūšies smailuma 44 Apolonijus 58 Archimedo spiralė 25, 71 Asimptotė 53 …
Excerpt
290 6 Rodyklė Gaubiamoji kreivė 98 Gauso—Bone formulė 281, 282, 286 — — apibendrinta 282 Gauso antroji diferencialinė forma 148 — formulės 210 — koordinatės 128 — kreivumas 162, 280 — kreivumo formulė 181 — pirmoji kvadratinė diferencialinė forma 139 — …
Excerpt
Rodyklė j 991 Kreivių lietimosi eilė 82 — šeima 95 Kreivumo ašis 92 — centras 87, 91, 103 — linijos 163, 164 — radiusas 63 — "spindulys 63 — vektorius 62 Kūbinė parabolė 79 Kūginė sraigto linija 39 Kūginiai taškai 137 Li 178 Liečiamosios ilgis 37 …
Excerpt
292 I basi As i S a Šaka o Rodyklė Radiusas-vektorius 12 Ribiniai taškai 95 Rikačio diferencialinė lygtis 115, 176, 204 Rymano neeuklidinė geometrija 287 Rodrigo formulė 165, 168, 181 Rolio teorema 85 Sere-Frene formulės 73, 75, 76, 90, 91 Sferinė kreivė …