Excerpt
Norėdami įsitikinti, kad duotoji funkcinė eilutė kurioje nors srityje konverguoja tolygiai, dažniausiai naudojamės Vejerštraso požymiu, kurį nusako šitokia teorema. Teorema. Jei kiekvienas eilutės (F) narys f, (z) srityje g yra aprėžtas konstanta Cyg: | f …
Excerpt
Pavyzdys. Imkime eilutę z+(27—2)+ ... +(75—7*-)1 A sudarytą iš funkcijų /; (z)=z, f; (2)=z*—zK—1 (k=2,3, ...), tolydinių baigtinėje komp- leksinėje plokštumoje. Jos dalinė suma yra F,(z)=z+(2*—2)+- ... +(27—27-1))=2", todėl eilutė konverguoja taške z=1 ir …
Excerpt
kai | z—z, | …
Excerpt
Pavyzdys. Seka Gedo 2 MA P A 223150) 40 P R LLS aprėžta, nes visi šios sekos nariai mažesni už |. Jos dalinė seka 23242 DTL GS turi ribą, lygią 1. Tai duotosios sekos viršutinė riba, nes šiuo atveju nėra dalinės sekos, kurios riba būtų didesnė už vienetą. …
Excerpt
Iš Koši požymio žinome, kad tokiu atveju eilutė I20|+|24Z0|+14525|+.-. +|a,Z5| +. konverguoja, todėl, imant z=z,, konverguoja (absoliučiai) ir eilutė (L). Vadinasi, kai /=0, laipsninė eilutė konverguoja bet kuriame taške z. k 2. Jei lim Ų|a,|= + 00, tai …
Excerpt
Kadangi eilutė 1+041+02+ ... +0717... konverguoja, tai konverguos ir eilutė 144|+|4129|+|4> 25|+--- +14,25|+--- (remiamės teigiamųjų eilučių palyginimo teorema), o tuo labiau eilutė a;+0,Z2,+0;25+ --. +0,25+ «.. Vadinasi, eilutė (L) bet kuriame skritulio …
Excerpt
Iš $ 28 išnagrinėtos laipsninės eilutės 144221... 171... matyti, kad laipsninė eilutė a)+-0,Z+a;2*1 ... +a,ZF+ …
Excerpt
$ 31. Laipsninės eilutės sumos analiziškumas Praeitame paragrafe paminėjome, kad laipsninės eilutės suma s (2) yra funkcija, tolydinė konvergavimo skritulyje. Dabar tą rezultatą page- rinsime, būtent, įsitikinsime, kad funkcija s (z) kiekviename …
Excerpt
| 61 brėž. santykį su z—zZį: s(2)=s(z) | - Ža Zz-Z —. Reikia įrodyti, kad lim s(2)— -s (21) =6(z,)= S Iki ij Ik Zz—Z;į —> Ža k=l Tuo tikslu, tarę, kad | …
Excerpt
Kadangi |z| Ak iun 2 im A8SA= k=N+1 [0] S klai k=N+1 Tokiu būdu, iš (2) lygybės gauname i A ) ,' T k | 65 G —6c(z,) | Z * K=I Todėl aukščiau minėtą skaičių < turi atitikti toks d, kad, imant |z—z, …
Excerpt
Taškas z, buvo bet kuris konvergavimo skritulio taškas, todėl visame skritulyje | z | < R galioja lygybė s (= 62) Ž. kūgzk=s k=1 Įrodytąją teoremą savo ruožtu galima pritaikyti eilutei a,+2a,27+...+ka,zk-11 = + A kaszt- k=l Jos suma s' (z) turi būti …
Excerpt
tai sakome, kad funkciją f(z) taško z, aplinkoje galima išreikšti laipsnine eilute. Iš aukščiau pateiktos išvados matyti, kad funkcija f(z), kaip laipsni- nės eilutės suma, turi būti be galo diferencijuojama skritulyje |z— —z| k(k-1)...(k-n+1)a, …
Excerpt
[> ] [0] 2. Tarkime, kad eilutės ŠA Zr IE +3 Zk konverguoja. Įrodykite, kad tuo atveju, k=l k=! o kai Re z,> Ū, eilutė * |Zx |? irgi konverguoja. k=l k o 3. Tarkime, kad Jim V 1zk|=4. Įrodykite, kad eilutė 2 z; konverguoja (abso- liučiai), kai g < I, ir …
Excerpt
V St Ka, k LS KOMPLEKSINIO KINTAMOJO FUNKCIJOS INTEGRAVIMAS $ 32. Integralo apibrėžimas Tarkime, kad L yra kompleksinės plokštumos kreivė, jungianti pradi- nį tašką z, su galiniu tašku Z (62 brėž.), o f(z) — vienareikšmė funkcija, apibrėžta kiekviename …
Excerpt
Skaičių I vadiname integralinių sumų 6 riba, jei kiekvieną (kiek norima mažą) skaičių < > 0 atitinka toks Š=3 (e), kad, imant bet kurį suskaidymą, kurio …
Excerpt
n lim ž (u (Ek T) A5r— BEL Ak) Ay,)= A—0 5 = [ u(x, y)dx—v(x, y)dy. L Dėl tos pačios priežasties lim Š 2 (e (ės m) Aankulės m) An) 2—0 r o (x, y dx +8(x, y)dy. L Vadinasi, minėtomis sąlygomis integralinės sumos G realioji ir menamoji komponentės turi …
Excerpt
o tarę, kad C,=z,—;, turime kitą integralinę sumą »3 Za - AZ k=! Kadangi funkcija f(z)=z bet kurioje kreivėje L yra tolydinė, tai integralas f zdz L egzistuoja; todėl abi integralinės sumos turi bendrą ribą [ zdz. Tą pačią ribą turės ir jų i aritmetinis …
Excerpt
8. Jei funkcija f(z) yra integruojama kreive L, tai, kreivę L padalijus į dvi dalis L, ir L,, [ £ie)dz= | £(e)dz+ | f(e)az. 4. Jei |f(z) | < M visuose kreivės L taškuose, tai [fd …
Excerpt
Vadinasi, iš $ 32 (4) formulės dabar gauname B [r04z= f [u(+0. > 0)* O=o(x00. »(0)y O Jar 8 +i [[e(x00, 300) x (xx (+. » (0) (O) dr [-4 8 Integralas f o (1) dt yra integralo ji o (z) dz atskiras atvejis: kreivė L čia a L yra realiosios ašies atkarpa [«, …
Excerpt
Pastebėsime, kad kreivės kryptis sutampa su parametro ; didėjimo kryptimi. Vadinasi, A(2)=a+re!!, X (t)=ire!!. todėl | dz * r ireitdt relt 21 =i [| dr=2zi. ZA ' 0 L $ 35. Tolygiai konverguojančios eilutės integravimas Iš $ 33 minėtos antrosios integralo …
Excerpt
Įrodymas. Iš pradžių pastebėsime, kad nurodytomis sąlygomis suma s(z) yra tolydinė kreivėje L ($ 29). Todėl integralas [ s(z) dz egzistuoja. I. Imkime (8) eilutės dalinę sumą I,= [| Atdz+ | Aldz+...+ [| f. (e) dz= L L L = | (KO+K0+---+/, 00) dz Kadangi f …
Excerpt
Dabar išnagrinėsime Koši integralinę teoremą, kurią analizinių funkcijų teorijoje galima laikyti pagrindine. Po jos atsiras sąvokų ir išvadų, kurioms analogiškų nebuvo matematinėje analizėje. Teorema. Jei funkcija f(z) yra analizinė ir vienareikšmė …
Excerpt
64 brėž. Tuo, kas pasakyta šioje pastaboje, apsiriboti negalima, todėl Koši inte- gralinę teoremą toliau įrodinėsime, laikydamiesi tų sąlygų, kurios nurodytos aukščiau suformuluotoje teoremoje, t.y. nereikalaudami nei išvestinės f'(=) tolydumo, nei to, …
Excerpt
Vadinasi, LLS L- A" Aš (Nė: A"" EAFBDCE + (firiaafoj it (ia oje ae i a FE EF DF FD ED D nes [af [4 [ao [a [0 FE | EF DF FD ED "DE Iš lygybės Ll E A Asinalais (ATA gauname BABA ASA S A A* A A A Bent vienas iš keturių dėmenų, esančių šios nelygybės …
Excerpt
Kiekvienas iš pasirinktųjų trikampių yra prieš jį esančiame trikampyje, Be to, 2 o = (> l, 258). (2) 2. Jeigu A, ir A yra atitinkamai kontūrų A, ir A ilgiai, tai = A. A A; PP Vadinasi, lim A,=0, t. y. šie trikampiai susitraukia į tašką, sakysime C, kuris …
Excerpt
Vadinasi, kai n> N ir zeA,, iš (3) nelygybės gausime K0-/0-/ (O e-O| N) [f dz| < (e-A)-A,=z-A5, A : arba | | Ąž [f dz …
Excerpt
66 brėž. nes [+ f =0. Todėl KL LK Is ae [JA-+ [MA P, Jei kuri nors laužtė P, ar P, turi daugiau kaip 3 viršūnes, tai su ja pasielgiame, kaip ir su laužte P. Procesą tęsdami, gausime lygybę Ira dz = | f(z)dz + Ira dz +... + [| f(2) dz, A, Ė kurioje A,, A,, …
Excerpt
būdu laužtė P suskirstoma į dvi dalis: uždarą laužtę P'= KBCDK, ne- kertančią savęs, ir likusią uždarą laužtę P,= AKEFA. Iš lygybės [fe dz= | Paz + [flas P P, P kurioje paskutinis integralas lygus nuliui (ką tik įrodėme), gauname [f04= [ f) dz. P P, Jei …
Excerpt
Imkime d=min fe, 1| ir taškais Z90> Z15 Z9, (TT ŽE 5 Zy5 "7 Z„=Zą kreivę L padalykime į lankus E la, Žies lasss IE kurių ilgiai mažesni už d. Styga p,, jungianti taškus z, , ir z,, bus srityje D, nes jos galų atstumai iki srities D kontūro nemažesni už p, …