Excerpt
sal Oni (z—z)k*1 (k — natūrinis skaičius) ir suintegruokime panariui išilgai apskritimo C. Sio apskritimo taškų aibėje (4) eilutė tolygiai konverguoja, todėl Įrodysime šią savybę. Padauginkime (4) eilutę iš +0 P) - Bei "2 (GB | (25-42 (9) 2ri J (z—z,)7*1 …
Excerpt
$ 52. Analizinės funkcijos skleidimas Lorano eilute Kiekvieną analizinę skritulyje funkciją, kaip žinome, galima išskleis- ti laipsnine eilute su teigiamais rodikliais. Panašų teiginį galima įrodyti ir apie analizines žiede funkcijas. Lorano teorema. …
Excerpt
(1) formulės antrojo integralo pointegralinėje funkcijoje |€—z4|="“, todėl 00 1 | 1 Ša (G==20A6 4 tk RM EE Ž 1 E-z4 Ž. (22) Lai (A “ z=2 ai |LiG5=Z04 || (G =ž0l le dr EET S todėl (4) eilutė tolygiai konverguoja apskritime y. Padauginę, kaip ir anksčiau, …
Excerpt
Nagrinėsime vienareikšmės analizinės funkcijos f(z) kitimą, kai z ar- tėja į izoliuotą ypatingą tašką z,. Galimi 3 atvejai: 1) egzistuoja baigtinė riba lim f(z)= 400; 2) lim f(z)= 00; 3) funkcija f(z) neturi ribos, kai z—z,. Pirmuoju atveju tašką z4 …
Excerpt
ius ypatingas taškas, tai Lorano eilutės pagrindinė dalis turi be galo daug nelygių nuliui koeficientų. į Kid: Įrodymas. Pataisomo ypatingo taško atveju funkcija /(z) turi baig- tinę ribą, kai z—z4, ir todėl yra aprėžta tam tikroje taško Zą aplinkoje. Iš …
Excerpt
Lengva matyti, kad abu apibrėžimai yra ekvivalentiški: jei f(z) Lorano eilutė yra (2) pavidalo, tai sedi a (z— 2)" f(z) c ATC nn 1(Z—Z)T 2 t.y. funkcija taške z, turi n-tos eilės nulį; ir atvirkščiai, jei funkcija f) B ) taške z, turi 1-tos eilės nulį, …
Excerpt
skleidimas Lorano eilute turi tik vieną narį su neigiamu z š i š. 1 Kaip matyti, funkcijos S 1 laipsniu: == ec M 0 y taškas = 0 yra funkcijos S 7 pirmos eilės polius. 1 3. Funkcijai f(z)=e“ taškas z=0 yra esminis ypatingas taškas. Iš tikrųjų, jeigu pa- 1 …
Excerpt
su teigiamais z laipsniais. Analogiškai, jei z,= co yra funkcijos /(z) esmi- nis ypatingas taškas, tai (6) eilutėje yra be galo daug nenulinių narių su teigiamais z laipsniais. Taigi, ypatingo be galo nuotolusio taško rūšį nusako Lorano eilutės …
Excerpt
būti tik nulis. Kadangi BEI A Z i 7 =(, tai Ian O) Al= 0 ir AunjAS = 00, t.y. gauname, ad "taškas a yra funkcijos (=) polius, o tai prieš- tarauja teoremos sąlygai. Teorema įrodyta. Teisingas ir „,stipresnis“ teiginys, vadinamas didžiąja Pikaro teo- rema: …
Excerpt
čia C yra apskritimas | z|=p su tokiu spinduliu, kad funkcija f(z) būtų analizinė, kai p , ..., Z, ir be galo nutolusiame taške suma yra lygi nuliui, t.y. ba Res LEA BS T(2)20! (6) ss 74 Iš tikrųjų, paimkime apskritimą T su centru nuliniame taške ir tokiu …
Excerpt
jos integravimą galima suvesti į rezidiumų skaičiavimą. Ypač paprastai rezidiumai skaičiuojami funkcijos poliuose. 1 atvejis: taškas z4 (Zz, 00) yra funkcijos f(z) pirmos eilės polius. Tuomet f= +00+ 4 (Z—Z)+--., (z—20) f(2)=c-1+c0(Z—2) +01(Z—29)1--. ir …
Excerpt
1 Pavyzdžiai. 1. Rasime funkcijos f(z)=e* rezidiumą taške z=0. 1 Tuo tikslu išskleisime nulinio taško aplinkoje e= Lorano eilute, naudoda- miesi žinomu elementarios funkcijos ež skleidimu ($ 53,3 pavyzdys): = 1 ez=11+— Z + 1 2! 22 E Koeficientas prie z—1 …
Excerpt
Įvertinsime paskutinį integralą, kai R—-c0: dz | ds TR " | | (141727 < J (R2- 1) m TRTSA —0, | CR CR todėl d P d. (2n—2)! K ; Ix T ! EE = Am | (1+x2)2 S I1— 19192 - 2an=s > 2 pavyzdyje panaudotą netiesioginių integralų apskaičiavimo me- todą galima …
Excerpt
Iš čia "|| rae| < f rd as L) aRSO, CR į CR kai R-—-00. Pereidami dabar (10) lygybėje prie ribos, kai R-> c0, gausime (9) lygybę. $ 56. Argumento principas Tarkime, kad, taškas a yra uždaro kontūro T' viduje. Pagnarinėsime funkcijos Arg (z—a) kitimą, kai z …
Excerpt
arba = Ar Arg R(z)= N- 2; (1) čia N yra racionalios funkcijos sy. (z-a)).--(z—ay) RO > TJ Eh) nulių skaičius, o P— jos polių skaičius kontūro T' viduje. Kyla klausimas, ar (1) formulė liks teisinga, jei vietoj racionalios funk- cijos R (z) bus bet kokia …
Excerpt
Kituose taškuose, kuriuose funkcija f (z) nelygi nuliui ir kurie nėra šios LE yra analizinė, todėl, remiantis rezidiumų teorema, (2) integralas yra lygus funkcijos LE rezidiumų sumai, t.y. N-—P. Teorema įrodyta. Pastebėsime, kad (2) lygybę galima užrašyti …
Excerpt
$ 57. Ruše ir Hurvico teoremos Argumento principas dažnai taikomas kompleksinio kintamojo funk- cijų teorijoje. Sekanti svarbi teorema taip pat yra įrodoma, remiantis ar- gumento principu. Ruše teorema. Jeigu funkcijos f (z) ir g (z) yra analizinės uždaro …
Excerpt
bus teisinga visuose kontūro I taškuose z. Kadangi | f (2) | > m, tai |/2 ()-/ (2) | …
Excerpt
R | | 3. | | ABS, | -R =“ € R 61 brėž. 6. Suintegruokite f E čia C — apskritimas S UA—2A Ti š A V= š ę 7. Naudodamiesi rezidiumų teorema, raskite integralą Ats. -0 x* dx | (2 La3 (a> 0). z2 Nurodymas. Integruokite funkcija S Gapgajai kontūru, nurodytu 80 …
Excerpt
VIII 5 K MA R 1 U Ss SVEIKOS IR MEROMORFINĖS FUNKCIJOS $ 58. Sveikų funkcijų klasifikavimas Vienareikšmė ir analizinė visuose baigtiniuose kompleksinės plokštu- mos taškuose funkcija yra vadinama sveika funkcija. Tokią funkciją ga- lima išskleisti …
Excerpt
aro G, 4) 9, - Z al | 4 0 Ž === Al p (2 ZTYio TT AT R G, E ; G, J m, 60 brėž. Pasirodo, kad atvirkštinės trigonometrines funkcijas lengva išreikšti logaritmine funkcija. Iš tikrųjų, turėdami lygtį cos w=z, arba gauname e" =z+Vz2-1 (šaknis dvireikšmė!), o …
Excerpt
Uždaviniai 1. Ar egzistuoja tiesinė funkcija, kuri trikampį, turintį viršūnes 1, 2i ir — 1, atvaiz- duoja a) į trikampį su viršūnėmis 0, | ir i? b) į trikampį su viršūnėmis, 0, 2—i, 2i2 2. Raskite bendrąjį tiesinės funkcijos pavidalą, jeigu ji viršutinę …
Excerpt
22. Pusplokštumę Re z> 0, iš kurios išpiauta atkarpa [0, A] (h> 0), konformiškai at- vaizduokite į pusplokštumę Im w> 0. 23. Sritį, kurią gauname, iš plokštumos išmetę skritulį | z—1 | 0. 24. Apskaičiuokite: , : | 1+i V š į ks ED L > ): e) (LEg 2 21 25. Į …
Excerpt
IV S K A SMS šlanisiious (5 EILUTĖS $ 26. Kompleksinių skaičių eilutė Turėdami kompleksinių skaičių seką Z4, Z> , ..., Z,, ..., sudarome sim- bolį 221 Op (Z) o kurį trumpai žymėsime 2.2 ir vadinsime skaitinė eilute. Skaičiai, k=1 iš kurių sudaryta eilutė, …
Excerpt
Jei 14|> 1, tai lim |g" |= im |g|"= + 00, todėl n—-> 0G n0 lim g"=00 ir lim O„= 0. n> 0 n> 0 Pagaliau tarkime, kad |4|=1, bet 4+1. Tada g=cosx+isin« (++2m7, m — sveikas skaičius), o ą"=cos na +isin n a. Kadangi lim cos 7 x ir lim sin 2 x neegzistuoja, tai …
Excerpt
$ 5 buvo įrodyta, kad „LE E = (X, +iY,) egzistuoja tada ir tik ta- da, kai egzistuoja dvi ribos: li ZaĖ ŽXi ir lim Y,= Y. Todėl eilutė (Z) kon- verguoja tada ir tik tada, kai Lasa eilutės (X) ir (Y). Be to, jei eilu- čių (X) ir (Y) sumos yra atitinkamai X …
Excerpt
todėl, remiantis teigiamųjų eilučių palyginimo požymiu, turi konverguoti eilutės Ix, |+|x5|+ --- +|xp |+ «.. (X*) ir BAE [EF PSP P [EEE t) sudarytos iš eilučių (X) ir (Y) narių absoliutinių didumų. Tokiu atveju eilutės (X) ir (Y) konverguoja …
Excerpt
todėl pagal teigiamųjų eilučių požymį turi konverguoti ir eilutė (Z*). Tai ir reiškia, kad eilutė (Z) konverguoja absoliučiai. Iš čia aišku, kad eilutė (Z) konverguoja absoliučiai tada ir tik tada, kai eilutės (X) ir (Y) konverguoja absoliučiai. …
Excerpt
Pavyzdys. |. Funkcinė eilutė 1+2+221+ ... +25—11.., konverguoja skritulyje | z| …
Excerpt
Todėl "24 IF(2)-F()IS1Zr» imant bet kurį z iš skritulio | z | 20 Dabar (1) nelygybėje skaičių 1 laikykime fiksuotu, o p neaprėžtai didinkime. Kadangi lim F,,„(z)=F (2), tai iš (1) nelygybės, imdami bet kurį z€g, gauname ks | IMG (z) Į N. Vadinasi, eilutė …