Excerpt
Pažymėkime G, ir G, sritis, apibrėžtas 1 pavyzdyje. Srityje G, funkcija fa. (z)=1n z=In |z |+arg z (5) yra vienareikšmė ir analizinė. Srityje G, funkcijos A(z)=1n|z|+i40, | (6) f-,(2)=1In|z|+ixC0, Čia 0 yra Arg z reikšmė iš intervalo (0, 27), o «D — Arg z …
Excerpt
Sakykime, F(z) — daugiareikšmė pilna analizinė funkcija. Jeigu, analiziškai pratęsdami išilgai bet kokio pakankamai mažo apskritimo y su centru taške z, kokią nors funkcijos F (z) vienareikšmę šaką /(z), grįž- tame prie pradinio taško z, (z, sy) ir gautas …
Excerpt
ju, kai yra be galo daug nelygių nuliui koeficientų c, su neigiamais indek- sais m, taškas z4 yra transcendentinis išsišakojimo taškas. Paprasčiausiu atveju, kai z;=0, c;=1, o visi kiti c,=0 (11), gau- | k name F(z)= |/ = su algebriniu išsišakojimo tašku …
Excerpt
88 brėž. vienoje vaizduojame taškus z=re'9, kai (4k—1)z …
Excerpt
90 brėž. Norėdami panašiu būdu sudaryti Rymano paviršių funkcijai w= =Ln z, galėtume imti be galo daug kompleksinių plokštumų, sudėtų vie- na ant kitos, perpiautų išilgai neigiamos realiosios ašies dalies ir sukli- juotų taip, kad kiekvienos plokštumos …
Excerpt
X S K Y R 1 U s KONFORMINIS ATVAIZDAVIMAS $ 69. Vaizdavimas analizinėmis funkcijomis Sakykime, funkcija w=/(z) yra apibrėžta kompleksinės plokštumos („„z plokštumos“) srityje G. Kiekvienam taškui z ) susikirtimo taške w4=/ (z9). Įsitikinkime, kad …
Excerpt
Konstantos c, argumentas yra pastovus, todėl A; Arg €1= 0, taigi, Apu) Arg (w—w4)=n- A; Arg(z—2,) + + A; Arg [+ 22 (Z—2Z)-1--. a) (2) [4 Kadangi A; Arg (z—z,) yra lygus kampui tarp kreivių y; ir y, kirstinių, tai lim A; Arg (z— z,), kai z, ir z, artėja į …
Excerpt
Pastaba. Teoremos teiginys lieka teisingas ir tuomet, kai funkcija f(z) taške z, turi k-tos eilės polių. Iš tikrųjų, tuo atveju galima taikyti įrodytą teoremą funkcijai E=g (z)=[f(z)] ?, kuri taške z, turi k-tos eilės nulį. Po to, pakeitimu w= —, gauname …
Excerpt
Jeigu funkcija /(z) yra vienalapė srityje G, tai f“ (z)*0 srityje G, taigi, atvaizdavimas w=/(z) yra konforminis srityje G. Iš tikrųjų, remiantis $ 69 pirma teorema, jei f“ (z4)=0, z4 €G, tai bet kokioje pakankami mažo- je taško z, aplinkoje atsiras ne …
Excerpt
nuo tam tikro numerio, z„£U. Todėl taškai w,=/ (z„) nepriklauso skritu- liui |w—w4| p ir lim f(z,)žw). Taigi, neegzistuoja tokia seka (z,|, z,—> 00, kuriai lim f (z,)= wo, todėl pagal Sochockio teore- mą ($ 54) be galo nutolęs taškas negali būti esminiu …
Excerpt
w iš pakankamai mažos taško Ww; ( Wo=f (eo) aplinkos ($ 69, 1 teorema), t.y. lim/z=zų, kur zS75(0)Y Funkcija z=/7! (w) yra meromorfinė srityje G. Iš tikrųjų, 7“ (z) £0 visoje srityje G, išskyrus, gal būt, vieną tašką z,, kuriame f(z) gali turėti polių, ir …
Excerpt
atvaizduoja skritulį |C| …
Excerpt
bet kokiam |z| < R. Nuliniame taške (1) nelygybę patikriname tiesiog įstatydami vietoj z nulį. (2) nelygybę gauname iš (4) nelygybės, pastebėję, kad z—0 2 z—> 0 Jeigu kokiame nors taške z4, O Ei AVA J0= > B= Jeigu Pin „M tai funkcija |o (z) | įgyja …
Excerpt
bus vienalapė ($$ 70, 71) skritulyje | w | …
Excerpt
$ 73. Konforminio atvaizdavimo egzistavimas Nagrinėdami konforminį vaizdavimą iki šiol nelietėme klausimo, ar visuomet galima surasti vienalapę funkciją, kuri vieną duotą sritį konfor- miškai atvaizduotų į kitą duotą sritį. Pasirodo, kad labai plačiai …
Excerpt
atvaizduoja y į d, tai, apeinant taškui z vieną kartą kontūrą y, taškas w=/ (=) apeis vieną kartą kontūrą 0. Vadinasi, 1 į , N=5- A,Arg[/f(z)—wl= 5> A5 Arg(w—w)= *1, jei w, yra kontūro y viduje D, ir N=0, jei w, yra kontūro 6 išorėje. Funk- cijos f(z) — …
Excerpt
2 teorema. Sakykime, vienkartsusijusios sritys G ir D yra apribotos uždaromis išplės- tinės plokštumos Žordano kreivėmis y ir Š. Tuomet vienalapė funkcija, konformiškai at- vaizduojanti G į D, yra tolydinė (plačiąja prasme) aibėje G ir atvaizduoja abipus …
Excerpt
91 brėž. ir išveskime apskritimo |1—z|= ę lanką y, viršutinėje pusplokštumėje nuo taško z, iki realiosios ašies dalies, esančios tarp O ir 1 (91 brėž.). Funkcijos w=/ (z) reikšmę taške z, skaičiuosime, integruodami (1) integralą nuo 0 iki I —pišilgai …
Excerpt
Kai z juda realiąja ašimi nuo O iki 1, pointegrinė funkcija f“ (z) įgyja teigiamas reikšmes ir funkcija f(z) monotoniškai didėja nuo O iki skai- čiaus K: 1 dt Aaa MOEDAS Eijų a Taigi, z plokštumos realiosios ašies intervalo (0, 1) vaizdas yra w plokštu- …
Excerpt
o kiti nariai nepasikeis, vadinasi, arg f" (z) padidės nuo = iki z. Kai z judės La k tome iš (4) formulės, nepasikeis ir bus lygios x. Vadinasi, visiems realiems realiąja ašimi tarp — ir be galo nutolusio taško, arg f" (7) reikšmės, kaip ma- z, didesniems …
Excerpt
santykį 2. Galima įrodyti, kad viršutinę pusplokštumę galima konfor- miškai atvaizduoti į bet kokį iš anksto duotą stačiakampį, panaudojant funkciją w= C,/(z)+- Cs; čia f(z) yra funkcija, apibrėžiama (1) integralu su tinkamai parinkta parametro k reikšme. …
Excerpt
I 453 94 brėž. | kame I kraštinės atžvilgiu duotam stačiakampiui, analizinis tęsinys įgys visas reikšmes iš apatinės pusplokštumės. Pratęsimą žymėsime tuo pačiu simboliu sn w. 2 Toliau galime vėl pratęsti funkciją sn w iš naujo stačiakampio per kurią nors …
Excerpt
(«o — realus, «' — grynai menamas). Taškas w, buvo parinktas laisvai, todėl tokios pat lygybės galios ir bet kokiems taškams w, taigi, funkcija sn w turi du periodus: 20 (realus periodas) ir 20' (grynai menamas perio- das). Be to, funkcija sn w bet …
Excerpt
| | Apl | 96 brėž. | (1) lygybės dešinėje pusėje pasirinkime užrašytos daugiareikšmės funkcijos tą vienareikšmę viršutinėje pusplokštumėje šaką, kuriai Arg ag C+ (4 Iarg(z-a,)+ +(x5— LJarg(z—a,5)+-.. +(+,— 1)arg (z—a,). Jei z yra realiosios ašies taškas …
Excerpt
atvaizduoja realiąją ašį į daugiakampį su duotais kampais tarp kraštinių. Jei to daugiakampio kontūras yra Žordano kreivė (t.y. nekerta savęs), tai (2) funkcija yra vienalapė ir konformiškai atvaizduoja viršutinę pus- plokštumę į daugiakampį. (2) formulė, …
Excerpt
XI s K Y R 1 U 5 HARMONINĖS FUNKCIJOS $ 78. Vienareikšmės harmoninės funkcijos ir jų ryšys su analizinėmis funkcijomis Vienareikšme harmonine srityje G funkcija yra vadinama vienareikš- mė reali dviejų realių kintamųjų funkcija u (x, y), apibrėžta ir …
Excerpt
Kadangi analizinė funkcija /(z) turi bet kurios eilės tolydines išvestines, tai jos menamosios dalies v (x, y) antrosios išvestinės yra tolydinės, todėl Ša pas Ox Oy. "Oy Ox Sudėję (3) lygybių kaires ir dešines puses, gauname; 0žu Ožų "aka Oy* =04 t.y. …
Excerpt
97 brėž. ! ir 0v 2 7PU0 y), 0v 255700 V). ty. 00 22 Ou 0 ne Oy k Oy Ox Bet (6) lygybės yra Dalambero— Eulerio sąlygos, užrašytos funkcijai f(z)=u (x, y)+-iv (a, V), todėl f(z) — vienareikšmė ir analizinė srityje G. Tokiu būdu, kai sritis G yra …
Excerpt
remiantis jau įrodyta teoremos dalimi, bus vienareikšmė ir analizinė, jeigu keisime tik dalinei sričiai g priklausančią integravimo kelio dalį nuo taš- ko (34, »,) iki taško (x, y) (tuomet integralas nuo taško (x4, yg) iki taško (X Ji) bus konstanta). …
Excerpt
sinio sąvoką (panašiai, kaip $63 buvo apibrėžta tiesioginio analizinio tę- sinio ir analizinio pratęsimo sąvoka) ir, pagaliau, daugiareikšmės harmo- ninės funkcijos sąvoką. Galima ir kitu būdu apibrėžti daugiareikšmes harmonines funkcijas. Iš $ 78 teoremų …