Excerpt
352 XIV. Simetrinio pavidalo diferencialinių lygčių sistemos t. y. funkcija (11) yra lygties (8) sprendinys, priklausantis nuo lais- vų funkcijų +; (+= 1; 2, 0,1 yra lygties (8) sprendiniai, tai galioja tapatybės (13), kurias užrašome pavidalu XI4= 3, XV …
Excerpt
$ 38. Koši uždavinys 353 kur Xx; — duota pradinė reikšmė ir Ę(Xi,..., X.) — duota tolydiškai diferencijuojama pagal savo argumentus funkcija. Šis uždavinys yra vadinamas Koši uždaviniu, Palyginę lygties (8) bendrą sprendinį (11) su duota pradine są- lyga …
Excerpt
354 XIV. Simetrinio pavidalo diferencialinių lygčių sistemos Vadinasi, tolydiškai diferencijuojama funkcija u=9[ m Ghia (bo A] B) yra lygties (8) Koši uždavinio ieškomas sprendinys. Iš sprendinio (23) konstravimo nesunku pastebėti, kad jis pra- dine …
Excerpt
$ 38. Koši uždavinys | dia 355 Iš lygtį (25) atitinkančios simetrinio pavidalo lygčių sistemos dx; dxs S dx; gži isinias - COS 125 randame du pirmuosius nepriklausomus integralus: t =Z-e6"ttgx = Cs V = ctgx> + tg X5= Ga. Is ž T Iš čia, įstatę x,—= aaa …
Excerpt
356 XIV. Simetrinio pavidalo diferencialinių lygčių sistemos patenkinantį sąlygą E =f (7 »)=9 (y), (30) kur O(y) — duota tolydiškai diferencijuojama funkcija. Taigi Koši uždavinio geometriškoji prasmė yra šitokia: iš visų lygtimi (27) apibrėžiamų …
Excerpt
š 39. Tiesinė nehomogėninė pirmos eilės lygtis dalinėmis išvestinėmis 357 Jeigu Z=0Ū, o visi koeficientai X, prie išvestinių nepriklauso nuo z, tai lygtis (1) virsta tiesine homogenine lygtimi (žr. $ 38). Tegu nagrinėjamoje srityje funkcijos X, (v = 1, …
Excerpt
358 XIV. Simetrinio pavidalo diferencialinių lygčių sistemos Visas funkcijas u, kurios patenkina homogeninę lygtį (3), gali- me rasti žinomu metodu (žr. $ 38). Parašome lygties (3) charakte- ristikas apibrėžiančią lygčių sistemą, t. y. lygtį (3) …
Excerpt
š 39. Tiesinė nehomogeninė pirmos eilės lygtis dalinėmis išvestinėmis 359 Į lygybių (9) kairiąsias puses vietoje z įstatę funkciją (8), pažy- mėsime: dr (a ass aa )=U (k kasa AS O) (GE— 2 2 Iš čia turime: 0W, Ok, Ok 09 220 A SAP GB I a. (10) Funkcijos 154 …
Excerpt
360 XIV. Simetrinio pavidalo diferencialinių lygčių sistemos Taigi egzistuoja tokia funkcija (6), kuri, kai joje z pakeičiame į 9(Xi, X2... X), Virsta nuliu. Tokiu būdu, jei lygtyje (1) visi koe- ficientai X, ir Z patenkina aukščiau nurodytas sąlygas, tai …
Excerpt
$ 39. Tiesinė nehomogeninė pirmos eilės lygtis dalinėmis išvestinėmis 361 Leiskime, kad funkcija W yra V (bs x 5 V) = NV Ya VL) — P [m Ch 5, 43 („> a az Tai (Vas V2; 112 4.) Tada, atsižvelgę į formules (15) — (18), turime: UV (Vis Yas - > Už) K T (Vu 1» …
Excerpt
$ 39. Tiesinė nehomogeninė pirmos eilės lygtis dalinėmis išvestinėmis 363 o statmenumo sąlyga (26), išreikšta koordinatėmis, yra Ou 0u 0u P(x, V, 2) 27 106, > 25 R (x; y, 2)27=0. (28) Taigi, norėdami rasti krypčių paviršių išspręsto (21) arba neiš- …
Excerpt
364 XIV. Simetrinio pavidalo diferencialinių lygčių sistemos Tada paviršių (31) susikirtimo kreivės yra charakteristikos. Atvirkščiai, jeigu paviršiuje, kurio kiekviename taške egzistuoja tolydžiai kintanti liečiamoji plokštuma (22), per kiekvieną tašką …
Excerpt
$ 39. Tiesinė nehomogeninė pirmos eilės lygtis dalinėmis išvestinėmis 365 paviršius. Taigi charakteristikomis galime vadinti tokias kreives, kurioms Koši uždavinys yra neapibrėžtas. Sakykime, kad kreivė, per kurią vedame lygties (20) integralinį paviršių, …
Excerpt
366 XIV. Simetrinio pavidalo diferencialinių lygčių sistemos arba Odį 043 | Odų 045 Odų 04, 0z 0z ži 0x Ox 0x '0x D BM B | kb Oy 0y 0z 0z 0y Oy Gauta lygtis yra (20) pavidalo pirmos eilės tiesinė nehomoge- ninė diferencialinė lygtis dalinėmis …
Excerpt
368 XIV. Simetrinio pavidalo diferencialinių lygčių sistemos Charateristikas apibrėžiančios lygčių sistemos dx= —dy =dz=dt bendrasis sprendinys yra - xX=1tC, y=—-17C, => =1:4€C,. Panaudoję pradines sąlygas, randame laisvas konstantas ir galutinai gauname …
Excerpt
$ 40. Dviejų pirmos eilės lygčių dalinėmis išvestinėmis sistema 369 arba, atsižvelgę į antrąją lygtį, parašome: 02z 0P 0P "aa G a 2 (4) Analogiškai, iš sistemos antrosios lygties randame: 02 | 00 , 00 Oy Ox e 6) Gautos išvestinės (4) ir (5) yra tolydinės. …
Excerpt
370 XIV. Simetrinio pavidalo diferencialinių lygčių sistemos t. y. turime: EG) =9 (to > : žo C0))» 009 kur X; — duotas skaičius ir (y) — duota tolydiškai diferencijuoja- ma funkcija. £ i Pagal sąlygą egzistuoja funkcijos P(x, y, z) tolydinės išvestinės P. …
Excerpt
Šš 40. Dviejų pirmos eilės lygčių dalinėmis išvestinėmis sistema 371 Iš čia, atsižvelgę į formules (7), (8), (14), (15) ir pakeitę išvestines LKJS ęc, atitinkamai reiškiniais P, Ein Bo, P'ęc, galutinai gauname: o [0 x, 9) = 1 , , , ' , Ap TEST S 2 G …
Excerpt
$ 40. Dviejų pirmos eilės lygčių dalinėmis išvestinėmis sistema 373 vienu metu negalioja lygybės P=O=R=0, t. y. lygtis (22) neturi pavienių taškų. Minėtoje srityje kintamieji x, y, Z negali būti nepriklausomi, nes priešingu atveju dx, dy, dz būtų …
Excerpt
374 XIV. Simetrinio pavidalo diferencialinių lygčių sistemos arba FrotF-=0, (27) kur Ė ri F= (2-2?) į 1 (28 - )i1(22- k. (28) Vadinasi, jeigu kintamųjų x, y, z atžvilgiu sąlyga (26) yra tapa- tingai patenkinama, tai Piaio lygtis (22) yra pilnai …
Excerpt
š 40. Dviejų pirmos eilės dygčių dalinėmis išvestinėmis sistema 377 Taigi, bendriausioji Piafo lygties vieno matavimo integralinė daugdara priklauso nuo vienos laisvos funkcijos ir nuo vienos lais- vos konstantos. Laisva (32) pavidalo funkcija reiškia bet …
Excerpt
378 XIV. Simetrinio pavidalo diferencialįnių lygčių sistemos Taigi, įstatę rastą funkciją C(z) į formulę (38), gausime Pfafo lygties (38) pavidalo sprendinį. Pastebėsime, kad jeigu krypčių laukas (20) yra potencia- linis: io „ON Pauža Ž40N F=gradU, t.y. …
Excerpt
$ 40. Dviejų pirmos eilės lygčių dalinėmis išvestinėmis sistema 379 Šis reiškinys x, y ir z atžvilgiu tapatingai nelygus nuliui. Jį prilyginę nuliui, gauname: , kari z— 0211 5= EG Įstatę šias funkcijas į sistemą (40), įsitikiname, kad z=0 yra duotos …
Excerpt
320 XIV. Simetrinio pavidalo diferencialinių lygčių sistemos 4 pavyzdys. Išspręsti lygtį (yz —z?) dx — xzdy + xydz =0. (44) Integravimo sąlyga (28) yra patenkinta; "5 r B (Ž-5)- = 2x(yz— 22) —xz(—22)— 2xyz = 0. Laikydami x pastoviu, gauname: Pen: 0z ti iš …
Excerpt
381 RODYKLĖ! Archimedo spiralė 112 Atitinkama homogeninių lygčių siste- ma 208 Aukštesnės eilės d. 1. 5 Balnas (balno taškas) 105, 110, 111 Barometrinė formulė 26 Bendrasis integralas 16 — — diferencialais parašytos lygties 44 — — normalinės d. 1. …