Excerpt
20. Raskite pasukimo kampą ir ištempimo koeficientą, kai atvaizduojama šio- mis funkcijomis: a) w=z* taškuose z=i, z=—l1, z=—-l+i; b) w= ais taškuose z=i, z=—1, z=1-—i; z+i 1 c) 2 taškuose z=1, z=i, z=1+i. 21. Kuri plokštumos dalis ištempiama ir kuri …
Excerpt
Uli S K V. R 1 U S ELEMENTARINĖS FUNKCIJOS $ 17. Tiesinė funkcija Funkciją w=az+b, kurios koeficientai a ir b — kompleksiniai skai- čiai (a+0), vadiname riesine. Ši funkcija bus apibrėžta išplėstinėje z plokštumoje, jei tarsime, kad w=o0, kai z= 00. …
Excerpt
įsitikinti, kad tuo atveju, kai 11, vienas baigtinis taškas z, irgi atvaiz- duojamas pats į save. Jį randame iš lygybės z,=az,4-b, būtent, Iš lygybės w=az4b panariui atėmę lygybę z,=az,-+-b, gauname Ww-—Zg4=a(Z— Zp), o iš čia — Arg (w—z,)= Arg …
Excerpt
Jei taškai z tenkina (2) lygtį, tai taškai C=az tenkina lygtį arba Att+(Eū)t+(Ea)E+ Daa=0. (3) Kadangi skaičiai Ed ir Ea yra vienas kitam jungtiniai, A ir Dad — realūs ir, be to, Zū - ž£a— A > Dad=|a|? - (EE- AD)> 0, tai gautoii lygtis reiškia € …
Excerpt
(W/ L, 0 š (Z) Įsitikinsime, kad taške z=0 atvaizdavimas w — k: irgi yra konformiš- kas. Tuo tikslu imkime bet kurias kreives /, ir /,, susikertančias taške z=0 kuriuo nors kampu «. Funkcija w=2 šias kreives atvaizduoja į kreives L, ir L,, susikertančias …
Excerpt
ir tiesių vaizdai turi eiti per tašką w= co. Tai aišku ir iš (2) bei (4) lygčių: kai apskritimas arba tiesė eina per tašką z=0, (2) lygtyje laisvas narys D lygus nuliui, o tokiu atveju (4) lygtis reiškia tiesę. Taip pat lengva įsitikinti, kad apskritimai …
Excerpt
Nagrinėjamosios funkcijos w=L (z) išvestinė TŽ ad-bc (cz+d)? kiekviename baigtinės plokštumos taške, išskyrus == -Ž „yra baigtinė ir nelygi nuliui (a4—bc0!). Vadinasi, atvaizdavimas funkcija w=L (z) visur yra konformiškas, išskyrus, gal būt, tašką z= -Ž. …
Excerpt
žimą kreivės L, ir L, taške w= oo irgi sudaro kampą «. Taigi, atvaizda- vimas funkcija w=L(z) taške z= — = Yra konformiškas. Panašiai įsitikinę, kad atvaizdavimas yra konformiškas ir taške z= oo, darome išvadą, jog funkcija w=L (z) išplėstinę z plokštumą …
Excerpt
w=l+i Zl A + 7 ae) = z1 Z=1 0 (w) m 42 (2) 37 brėž. | t Z> -1 | Ž į 0 (Z) 0 (4) Z; L] || 38 brėž. a z, ie? N [0] Zr 0 La Žž (Z) | W5 2 IZ Ausin BK 39 brėž. L/ z,=i lei | Z;-0 | ž (Z) w-0 7 „=-i S2 š w=l-i 40 …
Excerpt
a) kadangi taškas z=1, kurį duotoji funkcija atvaizduoja į tašką w= 00, nėra duotojo apskritimo taškas, tai šio apskritimo vaizdas yra apskritimas. Imkime tris taš- kus, esančius apskritime |z—1 |=1, pavyzdžiui, z,=2, z;=1+7, z,=0. Tų taškų vaiz- dai yra …
Excerpt
taškus w,, W> ir w4. Kadangi per taškus w;,, w5 ir w; galima nubrėžti tik vieną apskritimą (arba tiesę), tai kreivės y vaizdas yra T. Lengva matyti, kad tokių funkcijų yra be galo daug. Pavyzdys. 3. Reikia rasti trupmeninę tiesinę funkciją, kuri vienetinį …
Excerpt
OST (WJ 41 brėž. Jei taškai w, ir w, būtų vienoje kreivės I" pusėje, tai juos galėtume sujungti apskritimo lanku A, nekertančiu kreivės V (41 brėž.). Krei- vės A originalas būtų z plokštumos apskritimo lankas (arba tiesės atkar- pa) 9, jungiantis taškus …
Excerpt
| | | B 4ža (4) S | | Pastaba. Norėdami nustatyti, kuri iš dviejų sričių, apribotų kreive T, yra srities g, vaizdas, 1mame bet kurį srities g; tašką z,. Sritis, kuriai pri- klauso taško z, vaizdas w,, yra srities g, vaizdas. 2z =5S netinį apskritimą |z|=1 …
Excerpt
44 brėž. Imame srities g kontūro (realiosios ašies) tris taškus, sakysime, z,= —1, Z4=0, Zs=1. Einant z,z9z5 kryptimi, sritis g lieka kairėje pusėje. Analogiškai imame tris vie- netinio apskritimo taškus, sakysime, w;=1, w;=i, Ww;=—l. az+b si Ę Ža SS …
Excerpt
Jei OA < R, tai OB> R, t. y. simetriškieji taškai yra skirtingose apskriti- mo Cc pusėse. Įsitikinsime, kad per simeriškus taškus A ir B nubrėžtas apskritimas y“ yra ortogonalus pagrindiniam apskritimui c. Tuo tikslu iš taško O nubrėžkime apskritimo y“ …
Excerpt
Kadangi apskritimai y“ ir y“ yra ortogonalūs pagrindiniam apskri- timui c, tai dėl atvaizdavimo konformiškumo T“ ir V“ yra ortogonalūs apskritimui C. Vadinasi, I“ ir V“ susikirtimo taškai w, ir w5 yra simetriš- ki apskritimo (arba tiesės) C atžvilgiu. …
Excerpt
Dabar turime A Z-Zo a Zi Z—Zą Nė Up ES RASĖ RE A, 4 Žo Norėdami rasti skaičių = —22,, pastebėsime, kad apskritimo |z|= R taškas z= R atvaizduojamas į kurį nors apskritimo | w |=1 tašką. Todėl, imdami z= R, turime R-z,; |w|=1ų1- T RS =l; iš čia 1 R Za …
Excerpt
Kai taškas z apeina apskritimą |z|=r vieną kartą teigiamąja krypti- mi, t. y. parametras t didėja nuo O iki 2, jo vaizdas w apskritimą | w | = =r" apeina 1 kartų, nes tokiu atveju n/ didėja nuo O iki 2nr. Įsitikinsime, kad n-ji apskritimo y dalis — lankas …
Excerpt
išeinanti iš taško w=0 ir su realiąja ašimi sudaranti kampą nx4. Kai |z|=/ didėja nuo O iki 400, taškas z pustiese /, iš taško z=0 juda į begalybę. Jo vaizdas w, taip pat išėjęs iš taško w=0, pustiese L, juda į begalybę, nes |w|=77 didėja nuo 0 iki + 00. …
Excerpt
(w) fl 49 brėž. w=((-+-ic)?=12—c2?4+-2eti. Jei w=u-i0, tai iš pastarosios lygybės turime 4=/2—cž, v=2ct. Eliminuodami para- metrą /, gauname 72 = 2 u= 4e2' 7 C-2 arba 22=4c* (u4+-c?). Gautoji lygtis reiškia parabolę, kurios ašis sutampa su w plokštumos …
Excerpt
tai šią sritį galima suskaidyti į baigtinę arba suskaičiuojamą aibę sričių g; taip, kad kiekvienoje iš jų funkcija f(z) būtų vienalapė. Sritys g, tokiu atveju vadinamos funkcijos f(z) vienalapiškumo sritimis. Suformuluotąjį teiginį atitinka aukščiau gauti …
Excerpt
mes: F(w,)=F(w5). Jei sritis G funkcijos z=F (w) atvaizduojama į Z plokštumos sritį d, tai funkcija w=/(z), atvirkštinė funkcijai z= F (w), srityje d yra daugiareikšmė. Kaip minėjome praeito paragrafo pabaigoje, sritį G galima suskai- dyti į baigtinę arba …
Excerpt
Zo 2 50 brėž. | | | | | | | | Dabar kiekvienai z reikšmei, imamai iš srities g, priskirkime tik vieną n Ww= Vz reikšmę, būtent, tą, kuri priklauso sričiai G,. Tokiu būdu sudary- sime vienareikšmę funkciją, kuri sritį g abipus ieiaroE EEG atvaiz- duoja į …
Excerpt
Kadangi E k = 2(k-1)T 42] i 2k =— 1 -1-— “ apt, «+ > EO n tai šitaip gautos w= |/z reikšmės priklauso sričiai Gp, t. y. jos yra funk- n cijos W = (yz | reikšmės. Savaime aišku, kad pustiesė /, einanti iš taško z=0, gali būti nubrėž- ta laisvai. Jei vietoj …
Excerpt
Ši išvada tinka bet kuriam srities g taškui z. Vadinasi, jei bet kuris taš- kas apskritimu apeina centrą z=0, tai funkcijos w=|/z reikšmė, toly- diškai kisdama, nuo šakos (yz j pereina prie šakos (Vz J Dabar tarkime, kad taškas z apskritimu apeina centrą …
Excerpt
n Jei iš funkcijos w= VZ reikšmių, atitinkančių srities g“ tašką z, imsi- n me tik tą, kuris priklauso sričiai Gį, tai gausime funkcijos |/z vienareikš- mę šaką Į/ z. Tokiu būdu srityje g“ išskirsime n vienareikšmių (ir anali- k > "== Nt Ri zinių) šakų: …
Excerpt
apibrėžtą išplėstinėje z plokštumoje (jei z=0 arba z= 00, tai w= 0). J i vadinama Žukovskio funkcija, nes akademikas N. Žukovskis ją pri- taikė aerodinamikai. Pastebėsime, kad funkcija w=2A(z) išplėstinėje z plokštumoje yra daugialapė: taškuose zį ir = …
Excerpt
| bi | 0 a | 7' PE) | 148 | w „di 51 brėž. Lengva išsiaiškinti, kad apskritimo taškai, esantys ašyse, atvaizduoja- mi į elipsės viršūnes: taškas z=7 (/=0) atvaizduojamas į tašką w=a, taš- kas z=ir ( S 3) — į tašką w= —ib ir t. t. Vadinasi, apskritimo |z …
Excerpt
iš išplėstinės w plokštumos taškų, išskyrus atkarpą [—1, 1]. Srities G taš- kas w= oo, kaip nesunku matyti, yra taško z=0 vaizdas. Įsitikinkime, kad srities g kontūras — vienetinis apskritimas |z|=1 atvaizduojamas į dvigubą atkarpą [—1, 1] — srities G …
Excerpt
Vadinasi, viena iš ieškomųjų funkcijų yra , 1 1 z+1 sa i w= |/ 115 (-+> ) = V3 (===?) Kitos funkcijos sudaromos, viršutinę pusplokštumę tiesine funkcija atvaizduojant pa- čią į save. ž $ 23. Rodiklinė funkcija Išnagrinėsime funkciją w=/(z)=u (x, y)+-iv …