Excerpt
6 ravo matematikos pagrindai, Daugelis tyrinėtojų laikė, kad pa-- radoksų priežastis slypi logikoje. Buvo reikalinga visapusiš- k logikos pagrindų analizė. Logika nagrinėja žmogaus mąstymą, tiksliau - mąstymo for- mą. Žodis "logika" kilęs iš senosios …
Excerpt
1 to einančią formulę. Formulės visada turi vieną reikšnę, o samprotavimai dažnai būna įvairių netikslumų šaltinis. Ar galima rasti tokias samprotavimų (iogikos) taisykles, užra- šomas formulėmis, kurioniė naudijasi mątematikas, įrodinėda- mas teoramas. …
Excerpt
I SKYRIUS. TEIGINIŲ SKAIČIAVINAS Ė $1. Loginės operacijos rei gtinys £ pirminė matematinės logikos sąvoka. Dažnai jis paaiškinamas taip: teiginiu vadiname sakinį, ku- rio atžvilgiu prasmingas klausimas: "Teisingas jis ar klai- dingas?". 3 : Pateiksime …
Excerpt
9 Operacijos su teiginiais. Apibrėšime šias logines operacijas: neiginį, konjunkoi- ją, disjunkciją, implikaciją bei Šeferio funkciją. Pritaikę logines operacijas teiginiams, gausime sudėti- niua teiginius. ; ; o 1. Neiginys (inversija) žymimas clnbolių …
Excerpt
10 Kaip matome, į teiginius mer žiūrime kaip į kintamuo- sius, kurių kitimo sritis yra aibė [+, kį . kai kada bus patogiau teiginių kitimo sritimi laikyti aibę [1, 04, 4.3. + keisime 1, o k - 0, "Dažnai muns bus net neavarbu, kokis tai aibė, 6 …
Excerpt
Nų Sudėtinis teiginys pMą teisingas tada ir tik tada, kai teisingas lygiai vienas iš teiginių p ir 4. Ss Mm pl t kan Cl joo žymima simbolių > (-—> į; > ). p= 4 perskaitomas: "jei p, tai 4", "iš p išplaukia ą". Ter- minas "iš p seka 4" irgi vartotinas, …
Excerpt
oe e t t ik k t k k Tokia loginė jungtis šnekamojoje kalboje nenaudojama. Teiginių; loginių konstantų t, k, loginių operacijų bei skliaustų pagalba sudažyšime ' reiškinius, kuriuos vadin- sime formulėmis (teiginių logikos formulėmis). Tiksliau: - a) …
Excerpt
270 . Sudarysime formulės TP 2 (pt (ąV 12)) teisingumo lentelę (apskaičiuosime formulės reikšmes visoms galimoms loginių kintamųjų reikšnėms). ar į gVir| pėl(gVir) | Ip > (pė(gVIr)) P, G, F|7P + PR "ki E + + tt t|k|i t t i sk. k) k k t t kk|k| t t t . i r …
Excerpt
14 PĖP P (5) PVP P o (6) TP — P 0 (1) PVa- 0234 š (8) P> 23— 0P Vą 29) P24 —134A0P | (10) pPVą=—1(0p 414) (11) pką-—Aū(ūpvia) (12) (p£ ą)vr- (PVr) £ (ąvr) (13) (Va) k r — (pžr)vią Ę£ 7) (14) "Teva P k14 (15) Meka) ūpvaą (16) ARS ekvivalentiškumo sąvoką …
Excerpt
„5 P, G, Ti. PV (4 £ 74) 11P V (rAI1r) Neo me p las et šok m WNoeėe t mm mue mo e Koa KO m wNoOoX- + + m NONėe +- + k. " Jeigu Formulės Apps Pagii gs) ir BlPi- Pa) yra ekvivalečios, tai. Šis 45 | vadinami fiktyviaia formulšje. A.- Pašeiksiūt | dar vieną …
Excerpt
= m p. ar R - + "L „7 3. P > (P Va) 4. G > 9) > (14232) 5 P > (> D). Tapačiai teisinga formulė vadinama taip pat logikos dėsniu. Logikos dėsniu vadinama ir pora ekvivalenčių for- milių AB. Formulė vadinama is aliiass jeigu, esant bet kokioms ją sudarančių …
Excerpt
yi Norint patikrinti ar formulė A (p4,---„Pa) yra tapa- čiai teisinga,pakanka sudaryti jos teisingumo lentelę ir pažiūrėti,ar paskutiniame stulpelyje vien tik reikšmės +. "Bet sudarant teisingumo lentelę reikia apskaičiuoti Zoxmu- lės A reikšmę 22 …
Excerpt
18 „Tarkime, A,, A, B - bet kurios formulės, ir A yra A, sudėty- je. Tada“ ALA> B] žymėsime formulę, kuri gauta iš A, , pakeitus joje kurią nors A formule B. Pavyzdys. A,“ (P> 41> (apž14)> 24); A: TPĖ74 B:4v1; Ą,LA> B)1: (p> 24)> (124): 7 TEOREMA. Tarkime …
Excerpt
19 (kontaktai sujungti arba išjungti). Apskritai neapsiribosime tik tokiomis grandinėmis, o nagrinėsime elektros grandines, žrtai iš bet kokių Keds Irenos juos CO |), ku- rie gali būti vienos iš dviejų būsenų. Jei elementas yra pirmos būsenos, tai …
Excerpt
Aki 20 a tinkančią Zormulę. ; i „Teisingas ir atvirkščias tvirtinimas: jei turim formu- | lę, kurioje yra tik loginės operacijos V, £ s ir neigi- mai yra tik prieš elementarius teiginius, tai galima sudary- š +1 ją atitinkančią schemą. 1 „ Kontaktinės …
Excerpt
21 mentų kainas (skirtingiems jos gali būti nevienodos), Eni skaičiuojama schemos kaina ir gaunamas įdomus schemos mini- mizacijos: pagal kainą uždavinys: : Uždaviniai: 1. Sudaryti teisingumo lenteles šioms Žas ėiias a) (p> 9) V OP > 048PD, ») 7(p> 7(4VP) …
Excerpt
282 būti bet kokia, | i 3) jei B - tapačiai teisinga formulė, tai ji gali būti bet Lokis prielaidų išvada, 4) tegul formulės Ai „Ar,-.,Ą,B sudarytos iš elemen- tarių teiginių P.,Pa,---, Pa “|. Tada, jei esant kokioms nors teiginių P,,„Pa,---, Pę …
Excerpt
i kg Aiko ii 23 tada n> L=t,42n= k ir (24) 2 (27) =A. „V 85. Tapačiai teisingų formulių taikymas aibių teorijoje Šiame paragrafe nagrinėsime žormules, kuriose loginės operacijos yra tik iš sąrašo 1,V, + , o elementarūs teiginiai = tik 18 Pi ,Pa-Dš, 2 . …
Excerpt
ų 3 24 .1B,B,£B: ,BvB.kur B,,B., B '- tokios formulės, ku- Neigia O riose yra ne daugiau kaip n loginių operacijų ir, pagal in- dukcinę prielaidą, B(e) yra teisinga tada ir tik tada, kai i eeZ„, B,(e)l teisinga tada ir tik tada, kai €€ Zg,, BikEii“ tada …
Excerpt
25 4 išvada. Tarkime Ą“/B . Tada ZĄ=Zą. Uždaci niais | 1. Šioms formulėms rasti lygiaverčias, kuriose yra tik loginės operacijos 7,V : Ž a) (p23) 2P. ») p/4, e) p4(3=2P). "d) (Pp241> 0R28? . 2. Formulei pvą žūkti lygiaverčią, kurioje yra tik Šeferio …
Excerpt
26 (PAP P (p= MPP (pvg)* = 10Pv141+ p4$ (p24Y7* = Vap414) = pvą tt Tt Sk KrMk-Ė Nesunku rasti dualią formulę A" ir tuo atveju, kai Ą “ Ž 4 ž - nusakyta lentele. Pavyzdžiui, 1 L Ps G "A(p,ą) t Ė k k t Tuomet A*(P.ą) bus nusakyta tokia lentele ą A“ (p,ą) BE …
Excerpt
21 Įrodymas. Kadangi TA“TIB tada ir tiktai tada, | kai A=B , tai lieka įrodyti, kad AlPi, Ip) > Blaps Pa), kai Alpig:--, pa) B Pa.-- Pa). Kadangi A(1P4,.--,1Pn) įgyja tas pačias reikšmes kaip ix BP ,--.,0Pn) „esant bet kokioms teiginių "A + reikšmėms, tai …
Excerpt
28 AGA, TOS mis Pot TA UTO (Pu, Pie), T (pa, pt) m GT (A (Ps, Pie, Karo 1 (Pms,---, Pmtoa)) = Teorema įrodyta. 2 Kadangi disjunkcija ir konjunkcija yra vie:a kitai dua- lios operacijos, tai teisingas toks tvirtinimas: jei = 2 kurioje yra tik loginės …
Excerpt
a 2 25 GL Aa ]= koke vl * Pažymėsime BS B kintamąjį p 4 dei Ž = t JrKIP jai £= = R. ž aks 328 Pažymėkime BLS i ( p Žpra 5 p“ Tuomet Į (f) = (ą (4 : + 2 9(1L segi 2 S V = al), maigi | (R) = Ę(ė) “0 tai ir reiškia, kad for- mulė (p) yra konstanta. Teorema …
Excerpt
30 sudėtinį teiginį (Zormulę), kur N, (1*" …
Excerpt
ai 9 TEOREMA, Kiekvieną Kiėų galima perdirbti į dia- „Junktyvią normalinę formą. ; , . Įrodymas. Tarkime, A - bet kuri formulė. Nurodysime : algoritmą, kuriuo Ą galima perdirbti + disjunktyvią nor- malinę formą. 1 žingsnis. Randamė A,“A |, kurioje yra tik …
Excerpt
32 1 pavyzdys. Perdirbti T(P249)Vt į konjunkty- vią normalinę formą. “1 žingsnis. Eliminuojam implikaciją pagal (9):U1pvą]V2 2 žingsnis, Įkeliame neiginį į skliaustus pagal (15): (pkaę]v1 3 žingsnis. Naudojemės Sia dėsniu (13): (pvs) Ava) 2 pavyzdys. …
Excerpt
r Ra ADP as rb š Ž ye mrakpa 27 „a 33 H P, 35 O(p,ą,r) KK MK ek Bi rek d R A rd +“ K KOR R Roe A PRLĖL yra Lelsinpa tik reikšmių rinkiniui < k, Ė,t5 P £4 “M yra teisinga tik reikšmių rinkiniui < 1 k> ir IpR1g 41 yra teisinga tik rinkiniui < K. K kD, Todėl …
Excerpt
34 jei Pi =, n) arba jo neigi: ys įeina į kiekvieną. elementarią disjunkciją D. (16) Kiekvieną disjunktyvią normalinę formą bei konjunktyvią normalinę formą galima perdirbti į tobulą, naudojantis šio- mis taisyklėmis: K— (Kžplv(K šIp), D - (Ap) L (Dv1pP), …
Excerpt
235 "1 "(PAM k... RM) V p RM AMV Mžus VMS (17) 3 daridiė, A yra tapačiai teisinga. Tada, esant bet ko- | kioms elementarių teiginių reikšmėms, D įgyja Ė „t.y. kiek- ; vieną kartą bent. viena. iš elementarių disjunkcijų M. lygič. Ė Jei Mę=t „kur R?1 , tai …