Excerpt
Baigtinės variacijos Iunkcijos 139 4. Kaip ir 3 atveju, turime: | D eZ 2 LC) 8 (sea) a) 8 (| < Si = S UE) SEO k=l! + Uk) 8-1) — 0-1) 8 5) 11 S Ž3 | (ek) 7 (Xk-1) ži Ig (x) -g (Xx-1)| < k=l < ŽV+Ž VB JE vi E 2 4 teorema. Jei funkcija f (x) apibrėžta …
Excerpt
140 Funkcijos Imkime dabar bet kokį segmento [a, 6] suskaidymą taškais a=Yy …
Excerpt
Baigtinės variacijos iunkcijos 141 Iš pilnos variacijos apibrėžimo turime, kad If0)-— 0) < VžV, todėl u(y)—u (X) =0. Teorema įrodyta. Išvada. Baigtinės variacijos funkcija turi tik baigtinę arba suskaičiuojamą aibę trūkio taškų, kurie visi yra pirmosios …
Excerpt
Baigtinės variacijos iunkcijos 143 v()=5, 6) FA, O), u (X)=5, (X) +, 0); čia A, (x) ir A, (x) yra nemažėjančios tolydinės funkcijos. Todėl J0O)= |š; 6), (x) E [A, (x) -h, (2). Pastebėję, kad 5 ()—s, )=s (X), tuo pačiu įrodome teoremą. Viena iš …
Excerpt
144 Funkcijos 8. Absoliučiai tolydinės iunkcijos Integralo teorijoje prireiks dar vienos funkcijų klasės — absoliučiai toly- dinių funkcijų. Sakysime, kad funkcija f(x), apibrėžta segmente [a, b], yra absoliučiai tolydinė tame segmente, jei kiekvienam < > …
Excerpt
Atsoliučiai tolydinės funkcijos 145 Kadangi pirmosios nelygybės kairė pusė lygi “o UV6)-/a)), (aps b,)eK; o antrosios > UbI-/(0I, (aj, bp)EKS tai > . 6-0 +57—> - k=! Vietoj funkcijos absoliutinių pokyčių, apibrėždami jos absoliutinį tolydu- mą, galime …
Excerpt
146 Funkcijos 3 teorema. Jei f(x) ir g (X) yra absoliučiai tolydinės segmente [a, b], tai absoliučiai tolydinės yra ir funkcijos f(x)+ £ (0), f0)—-g 6), J (X) g (A). Jei £(x)*0, tai ir 19 yra absoliučiai tolydinė. Įrodymas. Sumos ir skirtumo absoliutus …
Excerpt
Rymano ir Lebego integravimo būdai 197 yra apibrėžiamas tik funkcijoms, apibrėžtoms intervale. Tuo tarpu naudinga turėti integralo sąvoką funkcijoms, nusakytoms platesnėje aibių klasėje. Tai tik keletas priežasčių, kurios vertė ieškoti būdų integralo …
Excerpt
198 Lebego integralas TL ASS 23 brėž. tai sumos s ir S konverguoja į Lebego integralą (2). Taigi išmatuojamos aprėž- tos funkcijos yra integruojamos Lebego prasme. Gana paprastai Lebego inte- gralo apibrėžimas praplečiamas neaprėžtoms funkcijoms ir …
Excerpt
Paprastųjų funkcijų Lebego integralas 199 dami išmatuojamas funkcijas ir jų integralus — paprastųjų funkcijų integra- lais. Iš esmės tai bus tas pats integravimo procesas, kaip ir anksčiau išdėsty- tieji. 3. Paprastųjų funkcijų Lebego integralas …
Excerpt
200 Lebego integralas Ateičiai mums bus reikalingos kelios neneigiamų paprastųjų funkcijų in- tegralų savybės. Jas nusako 1—4 teoremos. 1 teorema. Jei c> 0 — baigtinė konstanta, o A — išmatuojama aibė, tai [ cdx=cmA. 4 Įrodymas tiesiogiai išplaukia iš …
Excerpt
Paprastųjų funkcijų Lebego integralas > 901 "ir, analogiškai, P mB,= M m A, B; š k=l tai [fo d+ Ja a AS gimBj= A k=l 2 l r r PD Ji > ) mA, B+) gi 3 m A, B= 1 (| I=1 k=l! E k = || D5 (/x+- 81) m A, B, = | (/6)+8 6) ) dx 12 A > || 1 išvada. Jei f(x) ir g …
Excerpt
202 Lebego integralas Įrodymas. Pažymėkime: E jei xEA,, jei XEA;, f(x)= [ 0, el EA; AB) f(x), jei XeA3. Funkcijos 7; (x) ir f; (x) yra neneigiamos paprastosios funkcijos, jų suma Ji 60-75 6)=/ G). Remiantis 3 teorema, [ro4x= | AOA4+| Aax. A S a Funkcija …
Excerpt
Bendras Lebego integralo apibrėžimas 203 funkcijų seka /, (x) (2=1, 2, ...), konverguojanti į f (x). Pagal 3.3 teoremos 1 išvadą | Allde < | Al)ax < | …
Excerpt
204 Lebego integralas Todėl, remiantis III sk. 6.8 teorema bei jos apibendrinimais, gauname: mA,-> mA, (5) kai n-> 00. Naudojantis (4) ir 3.1, 3,4 teoremomis bei 3.3 teoremos 2 išvada, gaunama: [Aod> [stdd=|- sla)ds-=m4,> A A A-A, Z | g(x)dx= Hm(A-— A, …
Excerpt
" Bendras Lebego integralo apibrėžimas 205 Todėl pagal pirmąją įrodymo dalį lim 1 f(x) dx > | g (x) dx. (7) A* "Aibėje 4— A* funkcija g (x)=0, vadinasi, [ e (x)dx=0. A-A* Iš (6), (7) ir pastarosios lygybės gauname (3). Lema pilnai įrodyta. Grįžkime prie …
Excerpt
Paprasčiausios integralo savybės 207 tai natūralu funkcijos / (x) integralu pavadinti integralų skirtumą [f c)dx- | £ G)dx, (8) A A o jei tik jis turi prasmę. O jis neturi prasmės tik vienu atveju, kai abu integralai yra begaliniai. Todėl funkcijos / (x) …
Excerpt
210 Lebego integralas Jei, pagaliau, c yra bet kuri neigiama konstanta, tai [ efoddx= - [ (-)f6)dx= (0) | F)dx= A A A =c | f(k)dx. Teorema įrodyta. 7 teorema (Cebyševo! nelygybė). Jei neneigiama funkcija f(x) yra in- tegruojama aibėje A, tai kiekvienai …
Excerpt
212 Lebego integralas - 9 teoremoje teigiama, kad kiekviena integruojama funkcija yra beveik visur baigtinė. Vadinasi, prireikus galime integruojamas funkcijas, įgyjančias begalines reikšmes, pakeisti baigtinėmis, nepakeisdami atitinkamų integralų. …
Excerpt
Paprasčiausios integralo savybės 213 Kadangi f; (x), f (6) ir —A(0) yra aibėje 4; neneigiamos funkcijos, tai pagal 4.1 teoremą | Addx= | fo) dr+ | (-A (3) dx. 4, 45 4; Remiantis 6 teorema, iš čia | fo)dx= | A) dx+ | A) dx. 4, 4, A, 12 teorema. Jei f (x) …
Excerpt
214 Lebego integralas Sakykime E — bet kuris išmatuojamas aibės A poaibis, kurio matas E mE …
Excerpt
216 Lebego integralas Antrasis integralas pagal 5.12 teoremos išvadą ir (3) …
Excerpt
Perėjimas prie ribos po integralo ženklu 217 konverguojančią į /, (2). Paprastųjų funkcijų Sn (x) == AS 2 (x) seka yra taip pat nemažėjanti, be to, IN (x) < Sn (x) 00, gauname as gn …
